甘肃省武威市第七中学2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份甘肃省武威市第七中学2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数，则的虚部是（ ）
A．B．C．2D．
2．设向量，若，则（ ）
A．5B．2C．1D．0
3．天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A．B．C．D．
4．正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
5．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知三棱锥中，，，，E，F分别是PA，BC的中点，则EF与AB所成的角大小为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点，，测得，，，并在处测得塔顶的仰角为45°，则塔高（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A．如果，那么
B．如果A与B互斥，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A，B与C两两互斥，那么
10．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）．
A．若平面α，β垂直同一个平面，则
B．若且，则
C．若平面α，β不平行，则在平面α内不存在平行于平面β的直线
D．若，且，则l与α所成的角和m与β所成的角相等
11．下列式子化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．从1，2，3，4，5这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为 ．
13．某圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积为，则该圆锥的全面积为 ．
14．如图，已知正方体的棱长为1，点在棱上运动，过三点作正方体的截面，若为棱的中点，则截面的面积为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设，复数是纯虚数.
(1)求m的值；
(2)若是方程的一个根，求实数p，q的值.
16．已知，，与的夹角为45°.
(1)求在方向上的投影向量；
(2)求的值；
(3)若向量与平行且方向相同，求实数.
17．某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立.根据甲､乙､丙三人现有的水平，第一次选拔，甲､乙､丙三人合格的概率依次为；第二次选拔，甲､乙､丙三人合格的概率依次为.
(1)求第一次选拔后甲､乙两人中只有甲合格的概率；
(2)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率.
18．已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围.
19．如图，已知为圆O的直径，D为线段上一点，且，为圆O上一点，且，平面，．
(1)求；
(2)求证：；
(3)求三棱锥的体积．
参考答案
1．【答案】C
【分析】利用复数的除法求出复数，可得复数的虚部.
【详解】复数，
则的虚部是2.
故选C.
2．【答案】A
【分析】利用向量垂直的性质直接求解．
【详解】向量，，，
，可得，
．
故选．
3．【答案】B
【分析】根据题意，计算随机数中每组数中有2个数字在集合中判断即可
【详解】由题意，随机数中417，386，196，206表示这三天中恰有两天下雨，故估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为.
故选：B.
4．【答案】B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选B.
5．【答案】C
【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.
【详解】，
，
两式相加得，
所以.
故选C.
6．【答案】A
【分析】设为的中点，在中，为与所成的角，代入数据求值即可.
【详解】取的中点，连接，，如图，
又为的中点，所以，，
同理可得，，
则为与所成的角，因为，所以，
在中，，所以与所成的角为.
故选A.
7．【答案】D
【分析】由已知在中，利用正弦定理可求的值，在中，由，可求塔高的值.
【详解】在中，，，，
由正弦定理，可得，
可得，
在中，，
所以塔高.
故选D.
8．【答案】D
【分析】设，分别得到和，联立方程组，求得，进而求得的值，即可求解.
【详解】设，
由，
又由，
所以，解得，可得，
因为，所以，所以.
故选D.
9．【答案】ABD
【分析】由互斥事件与独立事件的概率公式求解即可.
【详解】对于A：如果，那么，，故A正确；
对于B：如果A与B互斥，那么，，故B正确；
对于C：如果A与B相互独立，那么，故C错误；
对于D：如果A，B与C两两互斥，那么，故D正确.
故选ABD.
10．【答案】BD
【详解】对于A：若平面α，β垂直同一个平面，与可能相交，故A错误；
对于B：由线面的位置关系可知，若且，则，故B正确；
对于C：当平面相交时，在平面内平行于交线的直线与平行，故C错误；
对于D：因为两条平行直线与同一平面所成角相等，若两平面平行，
则两条平行直线与两个平行平面所成角相等，故D正确；
故选BD.
11．【答案】BC
【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式的逆用可判断选项A；利用辅助角公式可判断选项B；利用诱导公式及二倍角正弦公式可判断选项C；利用及两角差的正切公式可判断选项D.
【详解】对于A：因为
，故A错误；
对于B：
，故B正确；
对于C：因为，故C正确；
对于D：因为，故D错误.
故选BC.
12．【答案】
【分析】利用列举法求解，先列出从5个数任取2个数的所有情况，再列出这2个数之积大于5的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】从这5个数中任取2个数的所有情况有：
，共10种情况，
其中两个数的之积大于5 的有，共6种情况，
所以所求概率为.
13．【答案】12π
【分析】根据题意，由圆锥侧面展开图面积可得，再由圆锥的体积公式可得底面圆的半径，再由圆锥的表面积公式，即可得到结果.
【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，
由圆锥侧面展开图为半圆可得，即，
又圆锥的体积为，即，
又，则，
所以，
所以，解得，
则，
所以圆锥的全面积为．
14．【答案】
【分析】取的中点，连接，则平面为所求截面，易知其为等腰梯形，利用面积公式计算即得.
【详解】
如图，取的中点，连接，易证四边形为等腰梯形，上底，下底，腰长，则其高为，所以计算可得其面积为.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由纯虚数的概念列不等式组，求参数m；
（2）根据复数范围内根的性质及根与系数的关系求p，q的值.
【详解】（1）由题设有，可得；
（2）由（1）及题设可知，，是方程的两个根，
所以.
故.
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据投影向量求解公式求出答案；
（2）平方后求出，得到模长；
（3）根据两向量平行得到方程，求出的两个解，检验是否方向相同，得到答案.
【详解】（1），，与的夹角为45°，
，
在方向上的投影向量为；
（2），
；
（3）与平行，
，
，解得或.
当时，，此时方向相同；
当时，，此时方向相反，故舍去.
.
17．【答案】(1)0.2
(2)
【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式可得；
（2）由互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式可得.
【详解】（1）分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件，
设表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，
则；
（2）分别设甲、乙、丙经过前后两次选拔后合格为事件A，B，C，事件表示经过前后两次选拔后，恰有一人合格，则
，
所以
.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由三角恒等变换化简，利用正弦型函数的单调性求解；
（2）分离参数转化为恒成立，求出的最大值即可得解；
（3）先写出函数的解析式，然后根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解.
【详解】（1）
，
由，
所以函数的单调递减区间为；
（2）因为不等式在上恒成立，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，即；
（3），
由，得，
因为函数在上恰有3个零点，
所以，解得，
所以的取值范围为.
【方法总结】求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
19．【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）根据题意，得到，求得，在中，利用余弦定理，即可求解；
（2）由，得到，再由平面，得到，证得平面，进而证得；
（3）连接，求得，根据平面，利用，即可求解.
【详解】（1）由已知为圆O的直径，为圆上一点，可得，
又由D为线段上一点，且，可得，则，
因为，可得，即，解得，
在直角中，可得，
由余弦定理得，
所以；
（2）证明：由（1）知，可得，所以，
因为平面，且平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以；
（3）连接，在中，，
可得，可得，
所以，
又由平面，且，
所以三棱锥的体积.