安徽省蚌埠市2025_2026学年高一数学上学期1月月考试题含解析

这是一份安徽省蚌埠市2025_2026学年高一数学上学期1月月考试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟 试卷分值：150 分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合 ，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为 ，而 ，
所以 ．
故选：C．
方法二：因为 ，将 代入不等式 ，只有 使不等式成立，所
以 ．
故选：C．
2. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可.
【详解】若 ，则 ，充分性成立；
若 ，当 时，满足 ，而 不成立，必要性不成立.
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则“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
3. 已知函数 在 上单调递减，则实数 a 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据各段函数的单调性和分段点处的高低可得关于 的不等式组，故可得其取值范围.
【详解】因为 在 上单调递减，故 ，
故 .
故选：D.
4. 声音的等级 （单位： ）与声音强度 （单位： ）满足 .喷气式飞机
起飞时，声音的等级约为 140 .若喷气式飞机起飞时声音强度约为汽车穿梭在马路上声音强度的 倍，
则汽车穿梭在马路上声音的等级约为（ ）
A. 100 B. 80 C. 60 D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】由函数 的解析式，求出喷气式飞机起飞时声音强度, 根据喷气式飞机起飞时声音强度约为汽
车穿梭在马路上声音强度的 倍求出结果.
【详解】因为 ，
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所以穿梭在马路上声音强度为 ，
所以汽车穿梭在马路上声音的等级约为 .
故选：B .
5. 用二分法求函数 在区间 上的零点，要求精确度为 0.01 时，所需二分区间的
次数最少为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得经过 n 次操作后，区间的长度为 ，令 即可求解.
【详解】根据题意，原来区间 的长度等于 1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，
则经过 n 次操作后，区间的长度为 ，若 ，即 .
故选：B．
6. 某工厂利用随机数表对生产的 700 个零件进行抽样测试，先将 700 个零件进行编号 001，002，……，699
，700，从中抽取 70 个样本，下图提供随机数表的第 4 行到第 6 行，若从表中第 5 行第 6 列开始向右读取
数据，则得到的第 8 个样本编号是（ ）
33 21 18 34 29 78 64 56 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 32 25 30 07 32 85 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A. 623 B. 368 C. 253 D. 072
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用随机数表法按要求每 3 个数为一个编号，不在编号范围内或重复的排除掉，
读数即可.
【详解】从表中第 5 行第 6 列开始向右读取数据，得到的前 8 个编号分别是：253，313，457，860（舍），
732（舍），253（舍），
007，328，523，457（舍），889（舍），072，368，则得到的第 8 个样本编号是 368．
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故选:B．
7. 函数 的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据 时函数值的特征，利用排除法判断即可.
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除 A、B；
当 时 ，所以 ，故排除 C.
故选：D.
8. 已知 是定义在 上的奇函数， ，对 ，且 有 ，
则关于 x 的不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出函数 ，根据题意得出函数 的性质，从而解决问题.
【详解】解：因为 是定义在 上的奇函数，
所以
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所以函数 是定义在 上的偶函数，
因为对 ，且 有 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
当 时，则有 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增，
因为 是定义在 上的偶函数，
所以 在 上单调递减，
因为 ，
所以 即为 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知函数 ，下列说法正确的是（ ）．
A. 函数 的图象恒过定点
B. 函数 在区间 上单调递减
C. 函数 在区间 上的最小值为 0
D. 若对任意 恒成立，则实数 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】代入验证可判断 A，由复合函数的单调性判断 B，根据绝对值的意义及对数的运算可判断 C，由函
数单调性建立不等式求解可判断 D.
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【详解】 代入函数解析式 ，成立，故 A 正确；
当 时， ，又 ，所以 ，由复合函数单调性可
知， 时， 单调递增，故 B 错误；
当 时， ，所以 ，故 C 正确；
当 时， 恒成立，所以由函数为增函数知 即可，解
得 ，故 D 正确.
故选：ACD
10. 若 a，b 均为正数，且满足 ，则（ ）
A. 最大值为 2 B. 的最小值为 4
C. 的最小值是 6 D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据基本不等式、二次函数 性质对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A 选项， ，
当且仅当 时等号成立，A 选项正确.
B 选项，
，但由 解得 ，不满足 ，
所以等号不成立，所以 B 选项错误.
C 选项， ，
当且仅当 时等号成立，所以 C 选项错误.
D 选项， ，
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所以当 ， 时，
取得最小值 ，D 选项正确.
故选：AD
11. 享有“数学王子”称号的高斯是德国著名的数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家.以他的名字命名
的函数 为“高斯函数”，也叫做取整函数.它的函数值表示不超过 的最大整数.例如，
， ， .下列说法正确的是（ ）
A.
B. 不等式 的解集为
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据取整函数的定义判断 A 即可. 解不等式得 ，再根据高斯函数定义分 或
讨论即可判断 B；令 ，将其转化为 且 ，再解 的范
围即可判断 C；设 ，其中 ，进而对 分类讨论判断 D.
【详解】对于 A，根据高斯函数 得 ，故正确；
对于 B，不等式 等价于 ，即 ，
根据高斯函数的定义， 为整数，即 或 ，
所以，当 时， ；当 时， ，
所以，不等式 的解集为 ，故正确；
对于 C，令 ，
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由 得 且 ，
即 ，且 ，
所以， ，解不等式得 ，
所以， 或 ，
当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，
所以，若 ，则 或 ，故错误；
对于 D，设 ，其中 ，
则
，
当 时， 都是 ， 为 ，故和为 ；
当 时， 都是 ， ， 为 ，故和为
；
当 时， 都是 ， ， ， 为 ，故
和为 ；
以此类推，
当 时， 是 ， ， 均为 ，故和为
；
当 时， ， 均为 ，故和为 ；
所以，
，
所以，当 时， 矛盾，即 ， ，
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所以， ，其中 ， ，
所以 ，则 ，故 ，故正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ，用 表示 为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由指数与对数运算的关系可得 ，再由对数运算的运算法则及换底公式运算即可得解.
【详解】由题意， ，
利用换底公式得： ，
，
所以 .
故答案为： .
13. 已知采用分层抽样得到的高三男生、女生各 100 名学生的身高情况为：男生样本平均数为 172cm，方差
为 120，女生样本平均数 165cm，方差为 120，则总体样本方差是______.
【答案】132.25
【解析】
【分析】由已知求出总体平均数，然后根据分层抽样总体的方差公式，代入相关数据，求解即可得出答案.
【详解】设男生样本平均数为 ，方差为 ，女生样本平均数为 ，方差为 ，总体平均数为 ，总体方
差为 ，则由已知可得 ， ， ， ，
所以，总体平均数 .
根据分层抽样总体的方差公式可知，
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总体样本方差
.
故答案为： .
14. 函 数 ， 若 函 数 有 四 个 不 同 的 零 点 ， ， ，
，则 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先画出函数 的图象，把方程 有 4 个不同的实数根转化为函数 的图象与
有四个不同的交点，结合对勾函数的单调性即可求解.
【详解】因为 ，
当 时 ，可知其对称轴为 ，
令 ，解得 或
令 ，解得 或
当 时 ，令 ，解得 或 ，
作出函数 的图象，如图所示，
若方程 有四个不同的实根 ， ， ， ，
即 与 有四个不同的交点，
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交点横坐标依次为 ， ， ， ，
则 ，
对于 ， ，则 ，
可得 ，所以 ；
对于 ， ，则 ， ， ，可得
所以 ，
由对勾函数可知 在 上单调递增，
得 ，
所以 取值范围是
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知方程的根，函数有零点，函数图象的交点求参数取值范围常用的方法和思路，（1）
直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先
将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标
系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）计算 ；
（2）计算 .
【答案】（1）0；（2）1
【解析】
【分析】（1）利用指数幂与根式的运算法则求解即可；
（2）利用对数的运算法则即可得解.
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【详解】（1）
.
（2）
16. 已知集合 ．
（1）当 m＝2 时，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2） ．
【解析】
【分析】（1）直接代入求出两集合，再根据集合交并补即可得到答案；
（2）转化为集合 A 是集合 B 的真子集，从而得到不等式组，解出即可.
【小问 1 详解】
把 代入 B 得 ，解得 ，
故集合 ， 或
又集合 ，
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故 ，
【小问 2 详解】
，且 ，得集合 ，
因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，
所以 是 的充分不必要条件，故集合 A 是集合 B 的真子集，
则有 ，解得 ，故实数 m 的取值范围是 ．
17. 已知函数 ，其中 且 ．
（1）求 的值和函数 的定义域；
（2）判断并证明函数 的奇偶性；
（3）求不等式 的解集．
【答案】（1） ，定义域为 ；
（2） 为奇函数，证明见解析；
（3） .
【解析】
【分析】（1）由题设及对数运算性质可得 ，即可得参数值，进而求定义域；
（2）奇偶性定义求证函数奇偶性；
（3）根据解析式判断对数复合函数的单调性，再由单调性求解集.
【小问 1 详解】
由题设 ，可得 ，
又 ，故 ，则 ，
所以 ，即定义域为 .
【小问 2 详解】
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为奇函数，证明如下：
由（1）知：定义域关于原点对称，且 ，
所以 为奇函数.
【小问 3 详解】
由 ，而 在 上递减， 在定义域上递增，
所以 在 上递减，且 ，
故 ，有 ，结合定义域知：解集为 .
18. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一
台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 和 ．
（1）求 ， ， ， ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 ，则认为
新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【答案】（1） ；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显
著提高.
【解析】
【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.
（2）根据题目所给判断依据，结合（1） 结论进行判断.
【详解】（1） ，
，
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，
.
（2）依题意， ， ，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
19. 已知函数 ，函数 图象与 的图象关于 对称.
（1）若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
（2）不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)依题意可得 ，再根据复合函数 单调性可列出不等式，结合二次不等式恒成立求
解即可；
(2)把问题转化为 在 上恒成立，分离参数，转化为最值比较即可.
【小问 1 详解】
因为函数 图象与 的图象关于 对称.
所以 ，
在 上单调递减，
第 15页/共 16页
令 则 在 上单调递增，且 对 恒成立.
，且
当 时， 在 上单调递增，符合题意；
当 时， 的对称轴为 ， 在 上单调递增，符合题意.
故 t 的取值范围为 .
【小问 2 详解】
依题意有 且 不等式 在 上恒成立，
即 在 上恒成立， 在 上恒成立，
当 时不等式成立，所以必须 在 上恒成立.
令 而 在 上单调递增，
综上：a 的取值范围为 .