安徽省合肥市2025_2026学年高一数学上学期12月月考试题含解析

这是一份安徽省合肥市2025_2026学年高一数学上学期12月月考试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据并集运算求集合.
【详解】，则.
故选：C.
2. 已知扇形的圆心角为150°，其弧长为，则这个扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据弧长求出半径，再由扇形的面积公式求出答案.
【详解】设扇形的半径为，扇形的圆心角为150°，即
所以弧长为，则
这个扇形的面积为
故选：B
3. 已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用必要不充分条件判断即可.
【详解】若，取，，但是无意义，
所以由“”推不出“”，
若“”，则，所以可得，
所以由“”可推出“ “，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B．
4. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式进行化简计算即可得解.
【详解】
.
故选：C.
5. 已知、、，则下列结论中正确的有（ ）
A. 若且，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】利用作差法可判断ABC选项；利用特殊值法可判断D选项.
【详解】对于A选项，若且，则，可得，A错；
对于B选项，因为，则，，，
则，即，B对；
对于C选项，因为，则，
则，即，C错；
对于D选项，因为，当时，，D错.
故选：B.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指对数的运算，结合指数、对数的性质即可判断大小关系.
【详解】，，，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查了比较指对数的大小，应用了指对数运算及性质，属于简单题.
7. 若是奇函数，且在上是增函数，，则的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】将不等式转化为或，两种情况来分类讨论，而函数和时x的取值范围可根据为奇函数和单调性求出.
【详解】∵是R上的奇函数，且在内是增函数.∴在内也是增函数，又
，，.当时，；时，；或可解得或，∴不等式的解集是.
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，解不等式过程中运用了分类讨论的思想.题目难度较易.
8. 已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得在上递增，然后将化为，由单调性结合定义域可得答案.
【详解】由条件得，，，在上递增.
由得，
则或．
故选：B．
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 函数与函数是同一个函数
C. 若幂函数在区间上单调递减，则
D. 函数的零点是
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，直接写出命题“，”的否定，即可求解；对于B，利用相同函数的判断方法，即可求解；对于C，利用幂函数的定义及性质，即可求解；对于D，利用函数零点的定义，即可求解.
【详解】对于选项A，因为命题“，”的否定是“，”，所以选项A错误，
对于选项B，因为，所以与定义域相同，表达式相同，
故函数与函数是同一个函数，所以选项B正确，
对于选项C，因为幂函数在区间上单调递减，
所以，得到，故选项C正确，
对于选项D，令，得到，所以函数的零点是，故选项D错误，
故选：BC.
10. 已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用三角函数定义逐项求解判断.
【详解】由，得，解得（负值舍去），则正确.
由，得，则B，D正确.
由，得，解得，则错误
故选：ABD
11. 已知函数，若有四个解，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 0B.
C. 的最小值为D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】画出函数的图象，根据对称性和指数函数的图象和性质结合基本不等式即可求出．
【详解】
作出函数的图象，
因是方程的四个互不相等的解，则，A选项正确；
因为，
则有，是方程的两个根，必有，
因为，所以，所以，所以，B选项正确；
，
因，且，
所以，C选项错误；
，是方程的两个不等根，则，即，所以，
整理得，，即，
于是得，D选项正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数是奇函数，则实数的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】由奇函数的性质得出，求出实数的值，然后验证函数为奇函数即可.
【详解】对任意的，，则函数的定义域为，
由是奇函数，得，解得，即，
由于，即函数奇函数，所以．
故答案为：.
13. 已知正实数满足，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的乘“1”法即可求解.
【详解】由且，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故答案为：
14. 已知，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式和将原式变形为，代入即可．
【详解】由题意得
.
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知，
求的值；
若是第三象限角，求的值．
【答案】（1）8；（2）.
【解析】
【分析】利用同角三角函数关系化简结合即可得结果；由得，结合即可得结果.
【详解】因为，所以
由得，
又，故，即
因为是第三象限角，，所以．
【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.
16. 在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转后得到角，记角的终边与单位圆的交点为.
（1）若，求点的坐标；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
由条件可知，并且，，再根据诱导公式求，根据三角函数的定义求得点的坐标；（2）根据（1）的结果代入求得，并且，再根据同角三角函数关系式求.
【详解】解：因为角的终边与单位圆交于点，所以，．
因为角的终边顺时针旋转后得到角，所以，
.
（1）当时，因为角的终边与单位圆的交点为，
所以点的坐标为.
（2）因为，，所以，即．
因为，所以．
【点睛】本题考查三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数，重点考查转化，计算能力，属于基础题型.
17. 习总书记指出：“绿水青山就是金山银山．”某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：kg）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）．已知这种水果的市场售价大约为10元/kg，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为（单位：元）．
（1）求的函数关系式；
（2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）当肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，利润最大值为270元.
【解析】
【分析】(1)结合已知条件，表示出即可；(2)利用一元二次函数的单调性和基本不等式即可求解.
【小问1详解】
因为，，
所以.
【小问2详解】
当时，，
由一元二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
且
从而，
即在上的最大值为240；
当时，，
因为，
当且仅当，即时，不等式取等号，
从而，
即当时，有最大值270，
此时肥料费用.
综上所述，当肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，利润最大值为270元.
18. 已知函数， .
（1）证明：为偶函数；
（2）若函数的图象与直线没有公共点，求 a的取值范围；
（3）若函数，是否存在 m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存，.
【解析】
【分析】（1）证明函数的奇偶性，用定义证明；
（2）根据函数的图象与直线没有公共点，用分离参数法；
（3）复合函数问题，用换元法，令，讨论即可.
【详解】解：（1）证明：因为，又
，
即，
所以为偶函数.
（2）原题意等价于方程无解，
即方程无解.
令，
因为，
显然，
于是，即函数的值域是.
因此当时满足题意.
所以a的取值范围是.
（3）由题意，.
令，则.
则，.
①当时，，
，解得；
②当时，
，解得（舍去）；
③当时，
，解得（舍去）.
综上，存在，使得最小值为0.
【点睛】方法点睛：
（1）对函数奇偶性的证明用定义：或；
（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.
19. 已知函数，.
（1）若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围.
（2）若存在，对任意，总存在唯一，使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）或或；（2）或.
【解析】
【分析】（1）求出的最大值，可知恒成立，可得，，进而构造函数，只需，求解即可；
（2）可求得在上的值域为，可知，且对任意，总存在唯一，使得成立，进而分，和三种情况分别讨论，从而可求出的取值范围.
【详解】（1）因为，，所以，
所以，，故，
要使对任意，，不等式恒成立，只需，
所以，即.
记，因为，所以只需，即，
解得或或.
故的取值范围为或或.
（2）当时，；
当时，，因为，当且仅当时，等号成立，所以，
所以函数在上的值域为.
因为对任意，总存在唯一，使得成立.
故，且对任意，总存唯一，使得成立，
以下分三种情况讨论：
①当，即时，则，解得；
②当，即时，则，解得；
③当，即时，或，
所以，
综上，的取值范围为或.
【点睛】本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查不等式恒成立问题，考查方程存在解问题，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.