安徽省部分学校大联考2025_2026学年高二数学上学期12月月考试题含解析

这是一份安徽省部分学校大联考2025_2026学年高二数学上学期12月月考试题含解析，共21页。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线的斜率可求直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，
因为的斜率为，所以，所以.
故选：B
2. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得圆心和半径.
【详解】由题可知圆的标准方程为，所以圆心为，半径为．
故选：D.
3. 已知向量，且，则的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先求出和的坐标，由两向量垂直得其数量积为零，从而求出的值.
【详解】由已知得.
因为，
所以，解得．
故选：C.
4. 与等价的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，，利用两点间的距离公式化为，根据椭圆的定义可求得结果.
【详解】设，，
则化为，
因为，所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆，
并且，所以，所以，
所以椭圆方程为，
所以与等价的方程是.
故选：C
5. 已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A. 4B. C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线定义可得为等边三角形，设准线与轴交于点，在中求解即可.
【详解】因为，所以为等边三角形，
设准线与轴交于点，
在中，，
所以．
故选：D
6. 有一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面4米，水面宽16米，当水面上涨2米后，水面宽是（ ）
A. 12米B. 13米C. 14米D. 15米
【答案】A
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，根据题意求圆心和半径，即可得圆的方程，令运算求解即可.
【详解】建立平面直角坐标系如图，则，
可知圆心在y轴负半轴上，设为，
则，即，解得，
即圆心为，半径，
可得桥拱所在圆的方程为，
令，可得，解得，
所以水面宽是12米．
故选：A.
7. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点作斜率为1的直线与交于两点，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及弦长公式计算即可．
【详解】因为双曲线离心率，所以．
由，得，所以双曲线方程为，右焦点为．
由题意知，直线的方程为，设，
联立，得，
所以，
则
，所以．
故选：A.
8. 已知是椭圆上的两点，且线段的垂直平分线为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题可设直线方程为，与椭圆方程联立，用表示出线段中点的坐标，根据中点在直线上，求出的值，再利用求得的取值范围；或根据中点坐标公式，利用点差法求得直线的斜率，并根据中点在直线上求出线段的中点坐标，根据中点在椭圆内求得的取值范围.
【详解】由题意知，设直线.
，得.
则.
所以线段中点的横坐标为，纵坐标为.
因为线段的中点在直线上，，解得.
所以，解得．
方法二：由题意知，设．
∵线段的垂直平分线为.
设线段的中点为，则点在直线上，即.
因为是椭圆上的点，所以.
两式相减，得，即.
由中点坐标公式得，可得，
所以.代入，得.
因为是椭圆上点，所以线段的中点在椭圆内部，
所以，即，解得．
故选：C.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知双曲线与，则与（ ）
A. 焦点坐标相同B. 焦距相等
C. 离心率相等D. 渐近线相同
【答案】BC
【解析】
【分析】根据双曲线焦点坐标、焦距、离心率、渐近线的求法分别判断各选项.
【详解】由题意知的焦点在轴上，，，，
则焦点坐标为，离心率，渐近线方程为；
的焦点在轴上，，，，
则焦点坐标为，离心率，渐近线方程为，
所以与的焦距相等、离心率相等，
故选：BC.
10. 在平行六面体中，，则下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C. 直线与所成角的余弦值为
D. 二面角的余弦值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A：由结合数量积的运算求解出结果；B：根据结合数量积的运算求解出结果；C：先根据结合数量积的运算求解出，再由代入数据求解出结果；D：取的中点，通过几何关系可证即为所求二面角的平面角，结合线段长度以及余弦定理求解出结果.
【详解】对于A，令，则，
所以
，
所以，故A错误；
对于B：
，
故B正确；
对于C，因为，
所以
，
所以，故C正确；
对于D，因为，
所以，
因为，
所以，
取的中点，连接，因为，
所以，则即为所求二面角的平面角，
又因为，
所以，故D正确．
故选：BCD.
11. 已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 经过坐标原点
B. 关于轴对称
C. 上的点的纵坐标的取值范围是
D. 上的点到原点的距离的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据曲线方程逐项分析AB即可，设，代入原方程求出，分析r的取值范围即可求解判断C；由C即可求解判断D.
【详解】对于A：显然原点满足方程，故曲线经过坐标原点，故A正确；
对于B：设点为曲线上的点，即，
但该点关于轴对称的点代入曲线的方程为，
与原方程不同，所以点不一定在曲线上，故曲线C不关于轴对称，故B错误；
对于C：设，则原方程化
又，
当时，当时，
则C上的点的纵坐标的取值范围是，故C正确；
对于D：由C得曲线上的点到原点的距离，故D正确.
故选： ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在空间直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，则边上的高为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量中点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由题意得，边上的高即为点A到的距离，
所以边上的高为．
故答案为：
13. 已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上的点，若，，则椭圆的离心率等于______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据椭圆定义求出，由余弦定理求出方程，求出离心率.
【详解】由椭圆定义可得，又，
故，
由余弦定理得，
故，故，
解得，故离心率为
故答案为：
14. 某数学兴趣小组研究发现：奇函数的图象是双曲线，如图，该双曲线有两条渐近线．若以该双曲线的中心为原点，两个焦点所在直线为轴重新建立直角坐标系，则此时双曲线的标准方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求出两条渐近线的方程分别为和，从而焦点所在直线的方程为，求出实轴顶点坐标可得，再结合求解.
【详解】由题意，当趋于无穷大时，，
可得两条渐近线的方程分别为和，两条渐近线的夹角为，
依据题意重新建立直角坐标系，
以两渐近线的角平分线为轴，焦点所在直线为轴，
由解得或
记双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，
可得，又，所以，
故此时双曲线的标准方程为．
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 如图，在正方体中，分别是的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)通过建立直角坐标系，将线段转化为向量，利用 “向量点积为0则垂直” 的性质证明.
(2)先求平面的法向量，再计算直线的方向向量与平面法向量的夹角余弦值，取绝对值即得线面角的正弦值.
【小问1详解】
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则：．
因为，所以，所以．
【小问2详解】
．
设平面的法向量为，
则可取．
设直线与平面所成的角为，
则．
故直线与平面所成角的正弦值为．
16. 已知抛物线，直线与交于两点，为坐标原点．
（1）若轴，的面积为16，求的方程；
（2）若，直线过点，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，确定为等腰直角三角形，结合三角形面积进而可求解；
（2）设，联立抛物线方程，通过即可求证；
小问1详解】
不妨设，则，
因为轴，且，所以为等腰直角三角形，
则的斜率为1，即，由的面积为16，可得，
解得，
将点的坐标代入的方程，得，解得，
所以的方程为．
【小问2详解】
由题意知的方程为，直线的斜率必不为0，故设．
联立得消去，得，
，
设，则．
所以，
故，即．
17 已知圆，圆，直线经过点，且与圆交于两点，．
（1）求的方程；
（2）若动圆与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心到点的距离的最小值．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据点到直线的距离公式、圆的弦长公式等求出直线斜率，再利用斜截式方程计算即可.
（2）先求出动圆圆心的轨迹方程，根据两点间距离公式求出的表达式，结合二次函数即可求出最小值.
【小问1详解】
圆的圆心坐标为，半径为.
当斜率不存在时，直线为（即轴），此时圆心到直线的距离，
直线与圆无交点，舍去.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
此时圆心到直线的距离为，
又，所以，即，
两边同时平方得，
整理得，，即，解得或，
所以的方程为或，即或.
【小问2详解】
圆的圆心坐标为，半径为.
设动圆的半径为，由题意，得，.
若，则，而，不满足，舍去.
因此必有，则.
所以，
所以动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，此时，，
所以的轨迹方程为．
设，则有，所以，
所以，
由二次函数的图象与性质可知，当时，有最小值，最小值为5，
所以，此时．
18. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为正三角形．
（1）如图，若平面平面分别是的中点，
①求与所成角的余弦值；
②设平面与棱交于点，求．
（2）如图，若二面角为，求四棱锥的外接球的半径．
【答案】（1）① ；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据位置关系建立合适空间直角坐标系，然后根据向量法求解出夹角的余弦值，则结果可知；②根据条件设，由共面可设，根据向量的坐标列出对应方程组，由此可求解出结果；
（2）先判断出二面角的平面角为，然后建立合适空间直角坐标系并根据求解出球心的坐标，则外接球的半径可求.
【小问1详解】
取的中点的中点，连接．
因为侧面为正三角形，底面是边长为的正方形，所以，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，故两两互相垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
（i），
故，
故与所成角的余弦值为．
（ii）易知，
设，则，且，
因四点共面，所以共面，
故存在唯一的实数对，使得，
即，
所以，解得，
所以．
【小问2详解】
如图，取的中点，过点作，交于点，连接，
因为侧面为正三角形，底面是边长为的正方形，所以，
所以就是二面角的平面角，则．
设正方形的中心为，过点作平面的垂线，
设的中心为，过点作平面的垂线，则两条垂线的交点即为外接球的球心，
取的中点，连接，则两两互相垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，
所以，依题意设，则，
由，得，解得，
故外接球的半径．
19. “曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义如下：若是平面直角坐标系中的两点，则之间的曼哈顿距离为；若是空间直角坐标系中的两点，则之间的曼哈顿距离为．
（1）在平面直角坐标系中，为坐标原点，是线段上的动点，求；
（2）在空间直角坐标系中，为坐标原点，动点满足，求动点的轨迹围成的几何体的体积；
（3）已知不同的三点都在椭圆上，轴，点满足，若直线与的交点在轴上，求的最大值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据距离新定义计算求解；
（2）根据空间向量关系结合锥体体积公式计算求解；
（3）根据三点共线的向量关系方法一：结合三角函数值域计算求解方法二：应用二次函数值域求解.
【小问1详解】
由题意，得．
．
【小问2详解】
设，依题意，得，
当时，设，
则，
因此，点四点共面，
故点的轨迹围成的图形是边长为的正三角形及其内部．
由对称性知，点的轨迹围成的几何体是正八面体，每个面都是边长为的正三角形，
所以点的轨迹围成的几何体的体积．
【小问3详解】
如图，设，则．
因为，所以．
设，则，由三点共线，可得，整理得，
同理，由三点共线，可得，
所以，
化简可得，
因为，所以，
由椭圆的对称性可知．
所以．
方法一：因为点在椭圆上，所以，
不妨设点在第一象限，则可得，
则，其中，
所以当时，取得最大值，为．
方法二：不妨设点在第一象限，
，
当且仅当，即时取等号．