上海市奉贤中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题（含答案）

这是一份上海市奉贤中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了12，不等式的解集为______．，定义一种新运算等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知集合，，且，则______．
2.不等式的解集为______．
3.方程的实数解的个数为______．
4.已知函数，关于的不等式的解集为______．
5.不等式的解集为______．
6.已知函数满足，且，则______．
7.设在区间上的奇函数，对任意，都有，，______．
8.已知幂函数在上单调递减，若，则的取值范围为______．
9.定义一种新运算：，，若，则函数的值域为______．
10.已知，满足，，都有，则实数的取值范围为______．
11.已知函数，若，且，则关于的代数式的取值范围为______．
12.已知函数在区间是增函数，且，若，则的最大值为______．
二、选择题（共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分）
13.下列图形中，可以表示函数的是（ ）
A. B.
C. D.
14.是2的倍数，是6的倍数，则是的（ ）条件．
A.充分而不必要 B.必要而不充分
C.充分必要 D.既不充分不必要
15.已知，有，则实数的值有（ ）个．
A.2个B.3个C.4个D.无数个
16.已知函数有下列两个结论：
①的值域为；
②对任意的正有理数，存在奇数个零点，
则下列判断正确的是（ ）
A.①②均正确B.①②均错误C.①对②错D.①错②对
三、解答题（本大题共5题，共14＋14＋14＋18＋18＝78分，解答要有论证过程与运算步骤）
17.已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18.已知函数
（1）讨论的奇偶性，并说明理由；
（2）若是在的严格增函数，求的取值范围．
19.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中自驾时，自驾群体中的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）在什么范围时，自驾群体的人均通勤时间多于公交群体的人均通勤时间？
（2）若该地上班族共人，求该地上班族的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性．
20.已知函数．
（1）若不等式的解集是空集，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．
21.已知函数．
（1）作出的图像并写出的单调区间以及在每个单调区间上的单调性（无需证明）．
（2）解不等式．
（3）若满足，且，求证：．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.已知函数，若，且，则关于的代数式的取值范围为______．
【答案】
【解析】如图所示，要使，
则．
因为，
所以，即，于是有，所以，
所以，所以．故答案为：．
12.已知函数在区间是增函数，且，若，则的最大值为______．
【答案】
【解析】由题意函数在区间是增函数，且
可知
若；
若，
等号成立当且仅当，
若，则，矛盾，
若，则
等号成立当且仅当故答案为：2024．
二、选择题
13.B 14.B 15.D 16.D
15.已知，有，则实数的值有（ ）个．
A.2个B.3个C.4个D.无数个
【答案】D
【解析】已知，有则的定义域为，
又，所以可知为偶函数，
若，可得或，
解之可得或，则的值有4个，
当时，，若此时,化简求交集可得，
此时恒成立，故的值有无数个，综上，的值有无数个．故选：D．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）当或且时，非奇非偶函数；
当时，偶函数；当时，奇函数； （2）
19.（1）
（2）在上单调递减，在上单调递增．
20.已知函数．
（1）若不等式的解集是空集，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．
【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； （3）
【解析】（1）①当时，即时，，不合题意；
②当时，即时，满足
即，解得，即实数的取值范围是
（2）因为不等式，即，即，
①当时，即时，不等式的解集为；
②当时，即时，不等式可化为，
因为，所以不等式的解集为；
③当时，即时，不等式可化为
因为，可得，所以，所以不等式的解集为．
（3）不等式的解集为，若，即对任意的，
不等式恒成立，即恒成立，
因为恒成立，所以恒成立，
设则，
所以，
因为，当且仅当时，即时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以当时，的最大值为，
所以的取值范围是．
21.已知函数．
（1）作出的图像并写出的单调区间以及在每个单调区间上的单调性（无需证明）．
（2）解不等式．
（3）若满足，且，求证：．
【答案】（1）图略， （2） （3）证明见解析
【解析】（1）由，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴在上单调递增，在上单调递减；
（2）由，得，
①当时，由不等式
结合（1）可得：，可得；
②当时，由不等式，
结合（1）得：．
综上，；
（3）证明：由题意（1）及（2）得，的大致图像如图：
当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
若满足，则，
由图象知：
①若，则，
②若，要证明，则要证，
注意到，且在上递减，则可证明，
∵，则可证明，
构造函数，则，
对任意的
即在上单调递减，
时，，即，
从而得证.