四川省阆中中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试卷（Word版附解析）

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（考试时间：120 分 满分：150 分）
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合 A，集合 B 中代表元素的取值范围，再根据交集的定义求出 ．
【详解】集合
故选：D
【点睛】本题考查集合的表示法，交集的求法，考查运算能力，属于基础题．
2. 已知命题 ： ， ，则命题 的否定为（ ）
A. ， B. ，
C ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定即可得到答案.
【详解】根据全称命题的否定得到命题 的否定为 ， .
故选：C.
3. 已知一个扇形的圆心角为 ，且所对应的弧长为 ，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
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【解析】
【分析】应用扇形的弧长及面积公式计算求解.
【详解】设扇形的半径为 ，
因为扇形的圆心角为 ，且所对应的弧长为 ，
则 ，所以
则该扇形的面积为 .
故选：B.
4. 已知函数 的图象恒过定点 ，且 点在直线 上，
则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出点 的坐标，代入直线方程可得到一个关于 的等式，利用“1”的代换，结合基本不
等式可得最小值.
【详解】由指数函数 的图象恒过定点 可知
函数 的图象恒过定点 .
又点 在直线 上，
所以 ，所以 .
则 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，
所以 的最小值为 .
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故选：D.
5. 函数 的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】 分析函数 的单调性，并根据零点存在定理可确定函数 的零点所在区间.
【详解】函数 的定义域为 .
因为函数 是增函数，且 在 和 上分别单调递增，
所以 在 和 上分别单调递增.
当 时， 恒成立，所以无零点；
当 时， ， ，所以函数 的零点所在区间为
.
故选：B.
6. 已知函数 ，若对任意 ，都有 成立，
则实数 取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定单调性，再利用分段函数单调性，结合一次函数、二次
函数单调性列式求出范围.
【详解】由对任意 ，都有 成立，可得函数 在 R 上单调递减，
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要使函数 在 R 上单调递减，
需使 ，
解得 ，即实数 的取值范围为 .
故选：D
7. 若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的性质进行判断即可.
【详解】因 ，
，
，
所以比较可得 .
故选：C.
8. 若定义在 的奇函数 f(x)在 单调递减，且 f(2)=0，则满足 的 x 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等
于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
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所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 已知函数 是定义在区间 上的偶函数，且它在区间 上的图象如图所示，则下列说法正
确的是（ ）
A. 有 2 个单调递增区间，2 个单调递减区间
B. 的图象有 3 条对称轴
C. 的图象有 1 个对称中心
D. 的最大值是 2，最小值是
【答案】AD
【解析】
【分析】由图形，结合偶函数的性质可逐一判断.
【详解】由图可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 在 上的最大值为 ，最小值为 ，
因函数 是定义在区间 上的偶函数，
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则 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 在 上的最大值为 ，最小值为 ，故 AD 正确；
因函数 是定义在区间 上的偶函数，若有对称轴，则对称轴条数必为偶数，故 B 错误；
由题意结合图形可知， 无对称中心，故 C 错误.
故选：AD
10. 已知正实数 a，b 满足 ，且 ，则 的值可以为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】CD
【解析】
【分析】指数式化为对数式得到 ，利用对数运算法则和换底公式得到 ，从而求出 可得
答案.
【详解】由 得到 ，则 ，即 ，
整理得 ，解得 或 ，
当 时， ， ，则 ；
当 时， ， ，则 ．
故选：CD．
11. 已知函数 ，方程 有 4 个不同实根 ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】作出给定函数的图象，利用图象并结合函数性质逐项分析得答案.
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【详解】当 时， ，当且仅当 时取等号，则 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
在同一坐标系内作出函数 的图象及直线 ，
对于 A，观察图象，当且仅当 时，方程 有 4 个不同实根，A 错误；
观察图象得 ，
对于 B，由 ，得 ，B 正确；
对于 C，由 ，得 ，C 正确；
对于 D， 是方程 的两个根，即方程 的两个根，
则 ，因此 ，
由 ，得 ，于是 ，D 正确.
故选：BCD
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 若幂函数 在区间 上单调递增，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可.
【详解】根据题意可得 ，解得 .
故答案为：
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13. 计算 的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用指数幂的运算性质、对数恒等式以及对数换底公式计算可得结果.
【详解】原式 .
故答案为： .
14. 设函数 ，若关于 的方程 有 7 个不同的实
数根，则实数 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由分段函数解析式画出函数图象，根据题设方程根的个数，结合函数图象可得 有三个根，
有四个实数根，即可确定 的取值范围．
【详解】由题设可得： ，且 ，
作 图象如图所示，
由 得： ，
∴ ，如上图， 有三个根，
∴ 有四个实数根，如上图可得： ．
故答案为：
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四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知集合 .
（1）求 ；
（2）已知集合 ，若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由指数函数、对数函数的性质确定集合 ，然后由集合的运算法则计算．
（2）由集合的包含关系得不等关系，求得参数范围．
【详解】解：（1） ， ， ，
.
（2）当 时， ，即 成立；
当 时， 成立.
综上所述， ．
【点睛】易错点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系示参数范围．在 中，要注意
的情形，空集是任何集合的子集．这是易错点．
16. 已知函数 是奇函数．
（1）求 的值；
（2）解不等式： .
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据奇函数满足 求出 ，再进行验证即可；
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（2）将 变形可得指数不等式，解不等式即可.
【小问 1 详解】
因为 的定义域为 ，
又函数 是奇函数，
所以 ，即 ，解得 ．
所以 ，
所以 ，满足题意，
所以 ．
【小问 2 详解】
，即 ，
不等式两边同乘以 得 ，
整理得 ，解得 ，
即不等式 的解集为 .
17. 已知函数 .
（1）当 时，求 的最小值；
（2）若 在 上单调递增，求 的取值范围.
（3）设 ，若对于任意 ，存在 ，使得不等式 成立，
求 的取值范围.
【答案】（1）1 （2）
（3）
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【解析】
【分析】（1）当 时，分析函数 的单调性，可求得函数 的最小值；
（2）利用复合函数的单调性可知，内层函数 在 上为增函数，且 ，可得出
关于实数 的不等式组，由此可解得实数 的取值范围；
（3）由题意可知， 对任意的 恒成立，可得出 对参变量分离可
得出 ，利用基本不等式可求得实数 的取值范围.
【小问 1 详解】
当 时， ，
对任意的 ， 恒成立，此时，函数 的定义域为 ，
因为内层函数 的减区间为 ，增区间为 ，
外层函数 为增函数，
由复合函数的单调性可知，函数 的减区间为 ，增区间为 ，
故 .
【小问 2 详解】
令 ，因为外层函数 在定义域上为增函数，且函数 在 上单调递增，
则内层函数 在 上 增函数，且 ，
即 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
【小问 3 详解】
对于任意 ，存在 ，使得不等式 成立，
则 对任意的 恒成立，
因为 ，
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当 时， ，故当 时，即当 时，函数 取最小值，
即 ，
所以， 对任意的 恒成立，
由 可得 ，
当 时，不等式成立，
当 时，
参变量分离得 ，
因为 ，由基本不等式可得 ，
当且仅当 时等号成立，则 ，
即 ，
综上可知，实数 取值范围是 .
18. 已知函数 的定义域为 ，对任意实数 x，y，都有 ，且当 时，
.
（1）求 的值；
（2）证明： 在 上单调递增；
（3）解不等式： .
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用赋值法代入求值即可.
（2）利用单调性的定义证明函数单调递增；
（3）将条件不等式按照函数关系转换成利用单调性求解自变量的范围不等式即可.
【小问 1 详解】
令 ， ，代入 中得， ，
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解得 ；
令 ，代入原式中得， ，取 ，则 ；
所以 .
【小问 2 详解】
设 ，且 ，则 .
当 时， ，所以 .
，
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增.
【小问 3 详解】
因为 ，
所以原不等式可化为 ，即 ，
又 ，所以 ，
又 在 上单调递增，所以 ，即 ，
解得 或 .
所以该不等式的解集为 .
19. 已知函数 在区间 上有最大值 4 和最小值 1．设 ．
（1）求 的值;
（2）若不等式 在 上有解,求实数 k 的取值范围;
（3）若 有三个不同的实数解,求实数 k 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
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（3）
【解析】
【分析】(1)根据 的函数性质,即可判断 在 上单调性,即有 ,解出 即可;
(2)根据(1)中结论,代入题中,先对式子全分离,再用换元求出其最值即可得出结果;
(3)将(1)中结论,代入题中式子,令 ,根据图像变换画出函数图象,根据
有三个不同的根及 图象性质可知,只需
有两个不同的实数解 、 ,且有 , ,或 , 成立即可,
根据二次函数根的分布问题,分别列出不等式解出即可.
【小问 1 详解】
解:由题知 ,
因为 ,所以 为开口向上的抛物线,
且有对称轴为 ,
所以 在区间 上是单调增函数,
则 ,
即 ,
解得 ;
【小问 2 详解】
由(1)得 ,
则 ,
因为 在 上有解,
即 ,使得 成立,
因为 ,
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所以有 成立,
令 ,因为 ,所以 ,
即 ,使得 成立,
只需 即可,
记 ,
因为 ,得 ,
所以 k 的取值范围是 ;
【小问 3 详解】
因为 有三个不同实数解,
即 有三个不同的根,
令 ,则 ,
则 图象是由 图象先向下平移一个单位,
再将 轴下方图像翻折到 轴上方,画出函数图象如下:
根据图像可知,一个 的函数值,最多对应两个 值,
要使 有三个不同的根,
则需 有两个不同的实数解 、 ,
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且有 , ,或 , ,
记 ,
当 , 时,
只需 ,
解得 ,
当 , ,
只需 ,
解得不存在,故舍去,
综上:实数 k 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛:本题考查函数与方程的综合问题,属于中难题,关于方程根的个数问题的思路有:
(1)对方程进行整体换元;
(2)根据换元的对象,由图像变换,画出其图象;
(3)根据方程根的个数,分析函数值的取值范围及二次方程根的个数;
(4)利用二次函数根的分布问题进行解决即可.
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