四川省达州市第一中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷（Word版含解析）

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总分：150 分 考试时间：120 分钟 命题人：罗立 审题人：黄焱琳
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1. 直线 倾斜角为 135°，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据斜率与倾斜角的关系求解.
【详解】由已知得直线的斜率 ，∴ ，
故选：B.
2. 圆心为 ，半径为 5 的圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用圆的标准方程即可求的答案.
【详解】解： 该圆圆心为 ，半径为 5
所求圆的标准方程为
故选：B
3. 在四面体 中，空间一点 满足 ，若四点共面，则 的值为 （
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】根据空间向量基本定理列出方程，解之即得.
【详解】因 四点共面，且 ，
由空间向量基本定理的推论可得 ，解得 .
故选：D.
4. 若椭圆 的焦距为 ，则实数 的值为（ ）
A. 24 B. 9 C. 1 D. 9 或 1
【答案】B
【解析】
【分析】由椭圆定义可得 范围，再利用焦距定义分类讨论即可得.
【详解】由题意可得 ，即 或 ；
当 时，有 ，解得 ；
当 时，有 ，解得 ，不符，故舍去，
综上可得 .
故选：B.
5. 已知平面向量 ， ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设向量 ，根据题意，取得 ，得到 ，结合向量的数量积的坐标运
算公式和投影向量的计算公式，即可求解.
【详解】设向量 ，因为 ，且 ，可得 ，
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解得 ，即 ，则 ，
又因为 ，所以 在 方向上的投影向量为 ．
故选：A．
6. 在直三棱柱 中， ， ， ， ， 分别是 ， 的
中点，则直线 与直线 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】由题意可知 ， ， 两两垂直，
故分别以直线 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
设直线 与直线 所成角为 ，
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则 ，
所以直线 与直线 所成角的余弦值为 .
故选：A.
7. 若点 在圆 上，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】 的几何意义是点 与 两点连线的斜率，利用直线与圆相切，列出方程，即可求解．
【详解】由题意，圆 ，可得圆心 ，半径为 1，
因为 的几何意义是点 与 两点连线的斜率，设 ，即 ，
当直线 与圆相切时，
则满足圆心到切线的距离等于半径，即 ，解得 ，
又由点 在圆 上，
所以 .
故选：B.
8. 已知椭圆 上两点 关于原点对称， 为椭圆的右焦点， 交椭圆 于
点 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】设椭圆 左焦点为 ，连接 ，由椭圆的定义，结合 ，求得
，即可求解.
【详解】设椭圆 的左焦点为 ，连接 ，
不妨设 ，则 ，
因为 ，且 ，可知 为矩形，
则 ，
又因为 ，
即 ，
可得 ，则 ，
在 中， ，
即 ，解得 ，
所以 ，则 ，
所以 ，解得 ，
故椭圆 的离心率为 ．
故选：D
二、多选题（本题共 3 小题，共 18 分）
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9. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为椭圆 上不同于左、右顶点的任意一点，
则下列说法正确的是（ ）
A. 的周长为 16 B. 面积的最大值为 12
C. 存在点 P，使得∠ D. 取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出给定椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及几何性质逐项判断即可.
【详解】椭圆 的长半轴长 ，短半轴长 ，半焦距 ，
对于 A： 的周长为 ，A 错误；
对于 B：设 ， ，则 ，B 正确；
对于 C：由 ，得以原点 为圆心，半焦距 为半径的圆与椭圆相交，
当 P 为此交点时， ，因此存在点 P，使得∠ ，C 正确；
对于 D： ，
，D 正确.
故选：BCD
10. 如图，在三棱锥 中， ， ， ， 分别是
中点，则（ ）
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A. B. 的长为
C. 三棱锥 外接球的半径为 D. 异面直线 所成角的余弦值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】将三棱锥补形为长方体，向量法求证线线垂直判断 A；根据坐标求解线段长度即可判断 B；根据补
形可确定三棱锥的外接球的半径即可判断 C；利用线线夹角与空间向量坐标运算得关系即可判断 D．
【详解】三棱锥 中， ， ，
将三棱锥补形为长方体 ，如图所示：
则有 ，解得 ，
以 为原点， 的方向为 轴， 轴， 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系：
点 ， 分别是 的中点，
则有 ， ，
对于 A， ，所以 ，故 A 正确；
对于 B， ，故 B 正确；
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对于 C，因为三棱锥 的外接球的直径 即为长方体的体对角线长，
所以 ，则三棱锥的外接球的半径为 ，故 C 不正确；
对于 D，因为 ，
所以 ，
故异面直线 ， 所成的角的余弦值是 ，故 D 正确.
故选：ABD．
11. 数学之美，古来共谈．如图甲，在平面直角坐标系 中有⊙O： 与 x 轴分别交于 、 两
点， 为⊙O 上的动点，以 为直径的⊙E 的位置随 点位置的变化而变化，当 点逆时针转过一周时，
⊙E 扫过的区域是图乙所示美丽的“心形”（记作 ），则下列说法正确的是：（ ）．
A. 若 ，则⊙E 与 轴公共点坐标为 和
B. 图乙中 内的点到 轴距离的最大值为 1.25
C. 若以 为圆心的圆可以完全覆盖区域 ，则该圆的半径最小为
D. 图乙中 与 轴的公共部分上的点到 x 轴距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A 选项利用直径的性质进行计算；B 选项设 ，将 用 表示，再利用二次函数即可求
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出最大值；C 选项用 表示 ，再利用三角函数求最值即可；D 选项利用点到直线的距离即可求解.
【详解】对于 A 选项，设⊙E 与 轴交于 、 ，连接 ， ，
为⊙E 的直径， 轴，
由题意可知 ， ， ，
，所以公共点的坐标为 和 ，故 A 正确；
对于 B 选项，设 ， ，
如图：过 作 轴于 ，另交⊙E 于 ，过 作 轴于 ，
， ， ，
， ，
，
，令 ，
， ，
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即 内的点到 轴距离的最大值为 1.25，故 B 正确；
对于 C 选项，如图：
连接 并延长交⊙E 与 ，
由垂径定理： ， 就是⊙E 上到原点 距离最远的点，
下面我们求 的最大值：
， ，
，
当 时， 取得最大值 ，即该圆的半径最小为 ，故 C 错误；
对于 D 选项，如图：
设⊙E 与 轴交于 点（图中为上方的点），则 ，
反面想，对于 轴正半轴上一点 作 ，若 与⊙O 有公共点即为 点，
当 离 轴最远时， 与⊙O 有且仅有一个公共点 ．
设 ，则 ， ，
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原点到 的距离： ，解得 ，
即 M 与 y 轴的公共部分上的点到 x 轴距离的最大值为 ，故 D 正确．
故选：ABD.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 圆 ： 关于直线 ： 对称后的方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】求出圆心 和半径，设圆心 关于直线 ： 的对称点为 ，则直线
与直线 垂直，利用 ，得到 的一个等式，又 和 的中点在直线 ： 上，
将中点代入此直线方程得到 的另一个等式，这 的等式联立，解得 的值，得到 的坐标，即为
所求圆的圆心，半径不变，从而得到所求圆的方程.
【详解】 圆 ： ， 圆心 ，半径 ，
设圆心 关于直线 ： 的对称点为 ，
则直线 与直线 垂直，
， ， ， ，
又 和 的中点为 ，且中点在直线 ： 上，
，联立 ，解得 ，
为所求圆的圆心，半径为 ，
所求圆的方程为 .
故答案为： .
13. 在棱长为 2 的正方体 中，点 分别是棱 的中点，动点 是侧面
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内一点，若 平面 ，则点 的轨迹长度为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分别取棱 的中点 ，连接 ，证明平面 平面 ，则点 必在
线段 上，即可得出答案.
【详解】如下图所示，分别取棱 的中点 ，连接 ，
∵ 分别为所在棱的中点，则
∴ ，又 不在平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又 不在平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 ， 平面 ，
∴平面 平面 ．
∵ 是侧面 内一点，且 平面 ，
∴点 必在线段 上．
所以点 的轨迹长度为 ，
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故答案为： .
14. 在平面中， 和 是互相垂直的单位向量，向量 满足 ，向量 满足
，则 的最大值为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】先求出两个轨迹方程，可设 ， ，则
，由辅助角公式表示出 的最大值，再由二次函数的
性质求出答案.
【详解】因为 和 是互相垂直的单位向量，所以设 ， ，
设 ，由 可得：
，
表示动点 到两点 的距离之和为 ，
则 ，
所以 点的轨迹是以 为焦点的椭圆，且 ， ，
则 点的轨迹方程为： ，
设 ，由 可得： ，
表示动点 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
所以动点 的轨迹方程为 ，
所以可设 ， ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ，
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所以当 时， 的最大值为 ，
，
当 时， 的最大值为 .
故答案为：
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分）
15. 已知 为实数，设直线 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 与 的距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由两直线垂直关系求解即可.
（2）由两直线平行关系求出 ，结合两平行线间距离公式即可求解.
【小问 1 详解】
，解得 .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，解得 ，
此时 ，即 ，
所以 与 的距离
16. 已知椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，且椭圆 的焦距为 4.
（1）求椭圆 的方程；
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（2）设点 ，直线 过 且与椭圆 相交于 ， 两点，若 是线段 的中点，求直线 的方程
.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得 ， ，利用 求得 即可求解方程；
（2）设 ， ，代入椭圆方程作差求得直线 的斜率，代入点斜式直线方程即可求解.
【小问 1 详解】
设 的焦距为 ，因为 的长轴长是短轴长的 倍，所以 .
因为 焦距为 4，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，则 的方程为 .
【小问 2 详解】
设 ， ，因为点 ， 在 上，所以
两方程相减得 ，所以 .
因为 是线段 的中点，所以 ，
即直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，即 .
17. 已知圆 的方程为 ，其中 .
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（1）若圆 和圆 的公共弦长为 ，求 的值；
（2）若过点 的圆 与圆 相切，切点为 ，求圆 的标准方程.
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）将两圆方程作差可得相交弦所在直线的方程，求出圆心 到相交弦所在直线的距离，再利用
勾股定理可得出关于 的等式，解之即可；
（2）记点 、 ，分析可知圆心 为直线 和线段 垂直平分线的交点，联立这两条直线
的方程，可得出圆心 的坐标，进而可得出圆 的半径，即可得出圆 的方程.
【小问 1 详解】
因为圆 的方程为 ，则 ，解得 ，
将两圆方程作差可得 ，即为两圆相交弦所在直线的方程，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
由勾股定理可知，圆心 到直线 的距离为 ，
由点到直线的距离公式可得 ，解得 或 .
【小问 2 详解】
由题意可知，点 在圆 上，则 ，解得 ，
故圆 的方程为 ，其标准方程为 ，
记点 、 ，
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由圆的几何性质可知，圆心 在直线 上，
且 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
因为圆 过点 、 两点，所以圆心 在线段 的垂直平分线上，
线段 的中点为 ， ，
故线段 的垂直平分线的方程为 ，即 ，
联立 ，解得 ，即圆心 ，
所以，圆 的半径为 ，
故圆 的方程为 .
18. 如图（1），在直角梯形 中， ， ，过 的中点 作 交 于点 ，
，现将四边形 沿着 翻折至 位置，使得 ，如图（2）
所示．
（1）证明： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，若存在，确定
点 的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，点 位于线段 靠近点 的三等分点
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理可分别证得 ， ，根据线面垂直的判定可证得结论；
（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 ，根据面面角的向量求法可构造方
程求得 的值，进而得到结果.
【小问 1 详解】
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证明： ， ， ， ，
又 ， ， ， ；
， ， 四边形 为平行四边形， ，
即图（2）中， ，又 ， ， ，
， ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ，
， 平面 ， 平面 .
【小问 2 详解】
解：由（1）得： 平面 ，又 ， 两两互相垂直，
以 为坐标原点， 正方向为 轴正方向可建立如图空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ， ，
设在线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，且
， ，
，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ，
；
轴 平面 ， 平面 的一个法向量 ，
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，
解得： （舍）或 ， ，
当点 位于线段 靠近点 的三等分点时，平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
19. 椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，点 ， 为椭圆 上
的两个不同的动点，线段 的最小值为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ．
（i）若 ， 在 轴上方，且 ，求证：直线 过定点；
（ii）点 ， 在运动过程中，是否存在某些位置使得 且 ？若存在，求出此时点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；
（ 2） （ i） 证 明 见 解 析 ； （ ii） 存 在 ， 为
.
【解析】
【分析】（1）由离心率及 的最小值为 列出方程求 ，即可求；
（2）（i）设直线 方程为： ，联立椭圆方程，由韦达定理结合
，求得 即可求证；（ii）设 ，由 ，得到直线 的方
程为： ，直线 的方程为： ，联立求得 ，结合点
，点 在椭圆上，列出等式求解即可.
【小问 1 详解】
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由题意 ，即 ，线段 的最小值为 ，
所以 ，又 ，则 ，故椭圆的标准方程为 ；
【小问 2 详解】
（i）设直线 方程为： ，
由 得： ，
，
因为 ，所以 ，即
所以 ，整理 ，
代入韦达定理 ，化简得 ，
所以直线 方程为： ，恒过定点 ；经检验
（ii）设 ，显然 ，则直线 斜率为 ，直线 的斜率为 .
因为 ，所以直线 斜率为 ，直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
第 20页/共 21页
两方程联立解得： ，即 ，
因为点 在椭圆上，且 四点共圆，结合对称性，
所以 ，即 或 ，
又点 在椭圆上， ，联立 无解，
联立 ，解得 ，
所以符合条件的点 得坐标为 .
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