四川省达州市第一中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

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满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知集合..若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合中交集的运算法则求解即可.
【详解】集合..
，
.
故选：C
2. 命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式恒成立进行求解．
【详解】因为“，”为真命题，即恒成立，
则，即，解得，
故选：C.
3. 已知，则（ ）
A. 50B. 48C. 26D. 29
【答案】A
【解析】
【分析】利用赋值法，令即可求解.
详解】解：令，则．
故选：A.
4. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，且，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
5. 已知函数，，则的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算出时，，可排除A、B、D．
【详解】令，则，所以，
，故可排除A、B、D．
故选：C．
6. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式和可得．
【详解】由题意得：，解得：，
由，解得：，
故函数的定义域是，
故选：C.
7. 已知定义域为的函数单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次函数和反比例函数的单调性，列出不等式求解即可.
【详解】由题意在上单调递增，则解得．
故选：D．
8. 已知实数a，b满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式，对数的运算法则及指数函数与对数函数的单调性判定即可.
【详解】易知在上单调递增，且，
故，
即 ，
又在R上单调递增，且时有，
所以时有，
故，可排除C、D.
令 ，
故 ，
即有，所以，
即，即，故 ，故.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 命题“”的否定是“”
B. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
C. 若，则“”充分不必要条件是“”
D. “”是“”的充分不必要条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据命题的否定即可判断A；利用根的判别式即可判断B；根据充分条件和必要条件的概念及不等式的性质可判断CD
【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故A正确；
对于B，∵命题“，”为假命题，
则关于x的方程无实数根，
故，解得，故B正确；
对于C，∵可得；但当，时，有；
∴“若，则是的必要不充分条件，故C错误；
对于D，当“”时，则“”成立；但当“”时，“或”；
故“”是“”的充分不必要条件，故D正确．
故选：ABD.
10. 已知函数，且，则（ ）
A. b＝1B. 是减函数
C. 函数的值域为D. 不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由求出可判断A；利用可判断B；利用分离常数法求值域可判断C；利用单调性和奇偶性可判断D．
【详解】，解得，A正确；
，是上的单调递增函数，B错误；
∵，∴，，，
∴，∴的值域为，C正确；
的定义域为，∵，∴为奇函数，
∵，
∴，即，
解集为，D正确．
故选：ACD．
11. 用表示不小于的最小整数，例如，，．已知，则（ ）
A. B. 为奇函数
C. 的值域为D. 方程所有根的和为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用新函数的定义直接计算可判定A，利用特殊值可判定B，分区间结合定义可判定C，分类讨论解方程可判定D.
【详解】对于A，易知，故A正确；
对于B，因为，且，
即，所以函数不是奇函数，故B错误；
对于C，由定义不妨设时，则，
可得，所以的值域为，故C错误；
对于D，，因为，即，解得，
当时，满足方程，即是方程的根；
当时，，故，解得，
故方程所有根的和为，故D正确.
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知：关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法，得到，且，从而得所求不等式等价于，即可求解.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
则方程的两根为和，且，
所以，得到，且，
由，得到，即，
即，解得，所以不等式的解集为，
故答案为：.
13. 函数（且）图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则_________．
【答案】27
【解析】
【分析】根据对数函数的性质求得定点A的坐标，再据此求出的表达式，最后再求的值即可．
【详解】由题意，，则，函数恒过的定点A为，
设，∵过A点，∴，解得，
∴，∴．
故答案为：27．
14. 当时，函数（，且）的图象恒在函数的图象下方，则a的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意，得当时不等式恒成立，即，令，，分类讨论和两种情况，并在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，由图像得到关于a的不等式，解不等式得解
【详解】由题意，得当时不等式恒成立，即，
令，，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，
当时，如图所示，

由图可知，，恒成立，故不满足题意；
当时，如图所示，
由图可知，要，恒成立， 需，即，解得，故
综上可知： a的取值范围是.
【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值或恒成立
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15. 令，.
（1）分别求和；
（2）若，且，求.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数与对数运算性质可得P，Q.
（2），且，利用对数换底公式可得，，代入解出即可得出.
【小问1详解】
解： .
.
【小问2详解】
解：，且，
∴，，
∴，可得，
∴.
16. 已知函数，，.
（1）当时，解不等式；
（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
（3）若对任意，任意，使得不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）把代入解析式，解一元二次不等式即可；（2）把问题转化为求在恒成立，令，，当，成立；当，只需，求解即可得解；（3）把问题转化，，对于，对称轴，
；对于，对称轴，对称轴与区间端点值的大小进行讨论即可得出结论.
【详解】解：（1）时，，
令，
得：，
解得：，
所以的解集为：；
（2）若对任意，都有成立，
即在恒成立，
令，，
，
即时，
和轴无交点，开口向上，符合题意，
时，解得：或，
只需，
解得：，
又或，
得；
综上：实数的取值范围是；
（3）若对任意，任意，使得不等式成立，
即只需满足，，
，对称轴，
在递减，在递增，
∴，
，
对称轴，
① ，
即时，在递增，
恒成立；
② ，
即时，
在递减，在递增，
，，
∴ ，
故：；
③ ，
即时，在递减，
，，
∴，
解得：，
综上：实数的取值范围为：.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
17. 某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）．
（1）求利润的函数解析式；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元
【解析】
【分析】（1）结合题意，利用分段函数模型求出解析式即可；
（2）当时，由基本不等式求解；当时，由二次函数的性质求解，综合可得答案.
【小问1详解】
由题意，，
即；
【小问2详解】
当时，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最大值52；
当时，，
所以当时，取得最大值，最大值为，
所以当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元．
18. 已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求的值；
（2）解不等式；
（3）若在区间上的最小值为，求的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解；
（2）结合函数的单调性及奇偶性即可求解；
（3）令，可得，求出t的范围进一步再对m分类讨论，即可求得的最小值，结合题意即可得m的值．
【小问1详解】
是定义域为上的奇函数，
，，，，
此时，，
经检验，符合题意．
【小问2详解】
，为增函数，为减函数，
是在上单调递增的奇函数，
由可得，
，即，
或，
不等式的解集为或．
【小问3详解】
，，
，
令，，，
，
当时，当时，，则（舍去）；
当时，当时，，解得，符合要求；
综上所述，或．
19. 已知函数，其中且.
（1）若的图象过点，求实数的值；
（2）若方程有两个实数根，且，求实数的取值范围；
（3）若，，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）代入点的坐标，即可求出参数的值；
（2）利用换底公式化方程为，利用换元法及韦达定理得，根据解出的范围；
（3）根据指数与对数的关系得到、，从而得到，再设，，即可得到，再求出的取值范围，即可求出的最小值，从而得解.
【小问1详解】
因图象过点，
所以，即，
所以，即，解得.
【小问2详解】
因为，则，
因为且，所以，
可化为，整理得，
所以原式可化为，
令，则有，
所以，
所以方程有两个根，
设为、，且，，
所以，，
则，
又因为，
所以，
因为，所以，
所以，即，
，，，
，，
又因为，所以.
【小问3详解】
因为，所以，
又，得到，
所以，
设，，所以，
又，当且仅当取等号，
所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，
所以，又在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，
所以当时取得最大值，即，即，
所以.