北京师范大学第二附属中学2026届高三第一学期期末模拟数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题
1. 已知集合，则（ ）
A.
B.
C.
D
2. 已知复数在复平面内对应点坐标为，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
4. 下列函数中，与函数的奇偶性和定义域都相同的函数为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
6. 双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. 3C. D.
7. 某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（ ）
（参考数据：，）
A. B. C. D.
8. 已知三角形，那么“”是“三角形为锐角三角形”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“阶准偶函数”，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 在棱长为1的正方体中，点在正方形内，且不在棱上，又，则下列结论中错误的是（ ）
A. 四棱锥的体积不变
B. 总有
C. 点在一条定线段（不含端点）上
D. 记直线分别与平面和平面所成角为，则可以为
二、填空题
11. 函数的定义域是__________.
12. 抛物线上的一点到轴的距离为12，则与焦点间的距离______．
13. 在的展开式中无常数项，则的一个取值为______．
14. 我国古代数学典籍九章算术中有一种名为“羡除”的几何体，它由古代的隧道形状抽象而来.如图所示，在五面体中，，四边形，，为等腰梯形，且平面平面.其中，，（），且到平面的距离为，和的距离为，若，，，，，则该“羡除”的体积为______.
15. 若无穷数列满足：，当，时．（其中表示，，…，中的最大项），有以下结论：
①若数列是常数列，则；
②若数列是公差的等差数列，则；
③若数列是公比为的等比数列，则；
④若存在正整数，对任意，都有，则是数列的最大项．
则其中正确的结论是_____（写出所有正确结论的序号）
三、解答题
16. 中，已知.边上的中线为.
（1）求；
（2）从以下三个条件中选择两个，使存在且唯一确定，并求和的长度.
条件①：；条件②；条件③.
17. 如图， 在三棱柱 中，为等边三角形，四边形 是边长为2的正方形， D为AB中点， 且
（1）求证: CD⊥平面；
（2）已知点 P 在线段上，且直线AP 与平面 所成角正弦值为 ，求 的值.
18. 某社区计划组织一次公益讲座向居民普及垃圾分类知识，为掌握居民对垃圾分类知识的了解情况并评估讲座的效果，主办方从全体居民中随机抽取10位参加试讲讲座活动，让他们在试讲讲座前后分别回答一份垃圾分类知识问卷．试讲讲座前后，这10位居民答卷的正确率如下表：
根据居民答卷的正确率可以将他们垃圾分类的知识水平分为以下三个层级：
假设每位居民回答问卷结果之间互相独立，用频率估计概率．
（1）正式讲座前．从该社区的全体居民中随机抽取1人，试估计该居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的概率；
（2）正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取3人，这3人垃圾分类知识水平分别是“一般”、“良好”、“良好”．设随机变量X为“这3人讲座后垃圾分类知识水平达到‘优秀’、的人数”，试估计X的分布列和数学期望；
（3）在未参加讲座的全部居民中再随机抽取若干人参加下一轮的公益讲座并让他们在讲座前后分别填写问卷．从讲座后的答卷中随机抽取一份，如果完成该答卷的居民的知识水平为“良好”，他在讲座前属于哪一知识水平的概率最大？（结论不要求证明）
19. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
20. 已知函数，曲线在处的切线方程为.
（1）求，的值：
（2）求证：有且只有一个零点；
（3）记的零点为，曲线在处的切线与轴交于.若，求的取值范围.
21. 给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．
（1）判断集合是否具有性质？说明理由；
（2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；
（3）若集合具有性质，证明：．
编号
正确率
1号
2号
3号
4号
5号
6号
7号
8号
9号
10号
试讲讲座前
65%
60%
0%
100%
65%
75%
90%
85%
80%
60%
试讲讲座后
90%
85%
80%
95%
85%
85%
95%
100%
85%
90%
答卷正确率p
垃圾分类知识水平
一般
良好
优秀