北京市北京师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题（含答案解析）

这是一份北京市北京师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题（含答案解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知全集，集合，则（ ）
2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
3. 从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（ ）
4. 正方形的边长为1，则（ ）
5. 设，则（ ）
6. 已知平面向量，则“”是“共线”的（ ）
7. 已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
8. 香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：，）
9. 已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
10. 在平面直角坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在平面直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（ ）
二、填空题
11. 函数的定义域是__________．
12. 已知随机事件A、B相互独立，且，则__________；__________．
13. 如图，在正方形中，点在上，且，若，则__________；__________．

14. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.
①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.

15. 已知函数，．若，则__________；设为实数，若存在实数，使得．则的取值范围为__________．
三、解答题
16. 已知向量．
(1)分别求出的值；
(2)若，求实数的值；
(3)若，求实数的值．
17. 已知函数．
(1)求的值；
(2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
(3)解不等式．
18. 某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为4:1．现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）．
(1)请直接写出的值；
(2)从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；
(3)以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取2件产品，记表示从甲生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，表示从乙生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，试比较和的大小．（只需写出结论）
19. 已知函数．
(1)求函数的单调区间，并用函数单调性的定义证明；
(2)求不等式的解集；
(3)设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．
20. 已知函数的定义域均为，给出下面两个定义：
①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换；
②若对任意的，均有，则称与关于任意交换．
(1)请判断函数与关于是唯一交换还是任意交换，并说明理由；
(2)设，若存在函数，使得与关于任意交换，求b的值；
(3)在（2）的条件下，若与关于唯一交换，求a的值．
21. 给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列满足如下三个性质：
①，且；
②；
③与不同时在数对序列中．
(1)当时，请直接写出所有满足的数对序列；
(2)当时，求的最大值；
(3)当为奇数时，记的最大值为，求．
北京市北京师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、计数原理与概率统计、平面向量、竞赛知识点、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．1
B．3
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．或
B．
C．
D．
A．5
B．6
C．7
D．8
A．
B．
C．
D．
A．8
B．9
C．10
D．11
一等品
二等品
甲生产线
76
b
乙生产线
a
2
题型
数量
单选题
10
填空题
5
解答题
6
难度
题数
较易
7
适中
11
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交并补混合运算
2
0.85
函数奇偶性的定义与判断；根据解析式直接判断函数的单调性
3
0.85
计算古典概型问题的概率
4
0.65
用定义求向量的数量积；数量积的运算律
5
0.65
比较对数式的大小
6
0.65
判断命题的充分不必要条件；已知模求数量积
7
0.65
根据分段函数的单调性求参数
8
0.65
指数式与对数式的互化；对数的运算性质的应用；利用给定函数模型解决实际问题
9
0.65
函数与方程的综合应用；根据函数零点的个数求参数范围
10
0.4
平面向量线性运算的坐标表示
二、填空题
11
0.85
求对数型复合函数的定义域；具体函数的定义域
12
0.85
独立事件的乘法公式；利用对立事件的概率公式求概率
13
0.65
向量的线性运算的几何应用；平面向量线性运算的坐标表示；向量加法的法则
14
0.65
用平均数的代表意义解决实际问题；众数、平均数、中位数的比较；函数图象的应用
15
0.65
已知分段函数的值求参数或自变量；分段函数的值域或最值
三、解答题
16
0.85
平面向量线性运算的坐标表示；坐标计算向量的模；由向量共线（平行）求参数
17
0.65
函数奇偶性的定义与判断；由对数函数的单调性解不等式；对数的运算
18
0.85
抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算；计算古典概型问题的概率
19
0.65
函数奇偶性的定义与判断；定义法判断或证明函数的单调性；根据函数零点的个数求参数范围；根据函数的单调性解不等式
20
0.4
函数新定义
21
0.4
组合极值问题；无重复的排列组合；欧拉与哈密顿问题；数列新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,6
2
函数与导数
2,5,7,8,9,11,14,15,17,19,20
3
计数原理与概率统计
3,12,14,18
4
平面向量
4,6,10,13,16
5
竞赛知识点
21
6
数列
21