北京市北京师范大学第二附属中学2025届高三上学期期中考试数学试题（原卷版）

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这是一份北京市北京师范大学第二附属中学2025届高三上学期期中考试数学试题（原卷版），共4页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，只收答题纸，不收试卷.
一、单选题（本大题共10小题，共40分）
1. 设集合，，则（）
A. B.
C. D.
2. 曲线在点处的切线斜率为（）
A. B. C. D.
3. 在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是，则的模是（）
A. 5B. C. 2D.
4. 已知直线是函数图像的一条对称轴，则的值为（）
A. 3B. 4C. 2D. 1
5. 若，则的大小关系是（）
A. B. C. D.
6. 在中，为边上的中线，为的中点．则（）
A. B. C. D.
7. 在长方体的八个顶点任两点连线中，随机取一直线，则该直线与平面平行的概率为
A. B. C. D.
8. 已知都大于零且不等于1，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D. 或
10. 核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（）
（参考数据：，）
A. 36.9%B. 41.5%C. 58.5%D. 63.4%
二、填空题（本大题共5小题，共25分）
11. 函数的定义域为______.
12. 已知等差数列的前n项和为，则______.
13. 在中，角、、对边分别为、、，，，则的面积是______________.
14. 已知函数的值域是R，则实数的最大值是______．
15. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4．E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，对于平面EFH截四棱锥所得的截面多边形，有以下三个结论：
①截面面积等于；
②截面是一个五边形；
③直线PC与截面所在平面EFH无公共点．
其中，所有正确结论的序号是_____．
三、解答题（共6题，共85分）
16 已知函数，
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）当时，求的最大值和最小值
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且___________.在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答.①，②，③，，.
（1）求角C；
（2）若，求周长的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由．
19. 某市，两所中学的学生组队参加信息联赛，中学推荐了3名男生、2名女生.中学推荐了3名男生、4名女生.两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛.
（1）求中学至少有1名学生入选代表队概率；
（2）设表示中学参赛的男生人数，求的分布列和数学期望；
（3）已知3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，3名女生的比赛成绩分别为77，，81，若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出的取值范围（不要求过程）.
20. 已知函数（且）.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若，讨论函数的单调性与单调区间；
（Ⅲ）若有两个极值点、，证明：.
21. 设为正整数，集合对于，设集合.
（1）若，写出集合；
（2）若，且满足令，求证：；
（3）若，且，求证： .