北京市海淀区首都师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（原卷及解析版）

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数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1. 已知双曲线的渐近线经过点，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. 2D.
2. “”是“直线和直线平行”的（）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知直线与圆：交于，两点，且，则的值为（）
A. B. C. D. 2
4. 点到直线的距离最大时，直线的方程为（ ）
AB.
C. D.
5. 已知圆关于直线对称，过点作圆C的两条切线和，切点分别为，则（）
A. B. C. D.
6. 如图，椭圆左，右焦点分别是，，正六边形的一边的中点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率是（）
A. B. C. D.
7. 两个曲线方程：，：，我们可以推断出它们的性质，其中错误的是（ ）
A. 曲线关于y＝x对称
B. 曲线关于原点对称
C. 曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积
D. 曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积
8. 已知圆，为圆C的动弦，且满足，为弦的中点，两动点在直线上，且，运动时，始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9. 已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于_____．
10. 如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：＝1的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面．若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm，瓶高等于双曲线的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为______cm．
11. 椭圆的焦点、，点为其上的动点，当∠为钝角时，点横坐标的取值范围是________________．
12. 已知抛物线，为C上一点，轴，垂足为Q，F为C的焦点，O为原点．若，则__________．
13. 已知直线与直线相交于点，，则点到坐标原点O的距离的最小值为_______________．
14. 如图，正方体的棱长为，点在正方体的表面上运动，且，若动点的轨迹的长度为3π，则棱长为_____．
三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）
15. 已知圆O：，直线l：．
（1）若直线l与圆O相切，求k的值；
（2）若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当∠AOB为直角时，求k的值．
16. 已知椭圆C：，，过P点斜率为k的直线与椭圆C交于另一点为Q．
（1）若的面积为，求k的值；
（2）若直线与椭圆C交于M，N两点，且，求的值．
17. 已知在多面体中，，，，，且平面平面.
（1）设点F为线段BC中点，试证明平面；
（2）若直线BE与平面ABC所成的角为，求二面角的余弦值．
18. 已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点．
（1）求椭圆方程和焦距；
（2）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上动点（P，Q不在坐标轴上），且直线PQ与x轴平行，线段的垂直平分线与y轴交于点，圆在点处的切线与y轴交于点．求线段长度的最小值．