2022-2023学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中是中心对称图形的是()
A． 戴口罩讲卫生B． 勤洗手勤通风
C． 有症状早就医D． 少出门少聚集
2．（3 分）“掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为 6”这个事件是()
A．随机事件B．确定事件C．不可能事件D．必然事件
3．（3 分）若关于 x 的方程(m  2)x2  3x  1  0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是()
m  0
m  2
m  2
m  0
4．（3 分）抛物线 y  (x  3)2  4 的顶点坐标是()
A． (3, 4)
B． (3, 4)
C． (3, 4)D． (3, 4)
5．（3 分）如图， AB 是O 的直径， ABC  45 ， AC 是O 的切线，则ACB 的度数为
()
A． 45B． 50C． 90D．135 6．（3 分）已知反比例函数 y   2 经过两点(1, y ) ， (2, y ) ，则()
x12
y1y2
y1  y2
y1y2
y1  y2
7．（3 分）如图，是某商店售卖的花架简图，其中 AD / / BE / /CF ，DE  24cm ，EF  40cm ，
BC  50cm ，则 AB 长为()cm ．
A． 80
3
B． 100
3
C．50D．30
8．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2  3x  k  0 有两个不相等的实数根，则 k 的值可能是(
)
A．2B．3C．4D．5
9．（3 分）已知一次函数 y  kx  b 的图象如图，则二次函数 y  kx2  bx 的图象大致是()
A． B．
C． D．
10．（3 分）如图，将正六边形 ABCDEF 放置在直角坐标系内， A(2, 0) ，点 B 在原点，点 P是正六边形的中心，现把正六边形 ABCDEF 沿 x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60 ，经过 2022 次翻转之后，则点 P 的坐标是( )
A． (2022, 3)B． (2021, 3)C． (4043, 3)D． (4044, 3)
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）
11．（3 分）已知点 A(2, 1) 与点 A 关于原点对称，则点 A 坐标为 ．
12．（3 分）若 2 是关于 x 的方程 x2  c  0 的一个根，则 c  ．
13．（3 分）如图，以点O 为位似中心，将ABC 缩小得到△ ABC ，若 OA  1 ，△ ABC
的周长为 2，则ABC 的周长为．
OA3
14．（3 分）如果二次函数 y  ax2  bx  c(a  0) 的图象经过点(1, 0) ，对称轴为 x  1 ，那么一元二次方程 ax2  bx  c  0 的解为．
3
15．（3 分）如图，在直角三角形 ABC 中，ABC  60 ，BC ，将ABC 顺时针旋转15得到△ ABC ， AB 与 AC 相交于点 E ，则 AE 的长为 ．（结果保留根号）
16．（3 分）定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数 y  k 的图
x
象上，则称这个矩形为“奇特矩形”．如图，在直角坐标系中，矩形 ABCD 是第一象限内的一个“奇特矩形”．且点 A(4, 2) ， D(7, 2) ，则 AB 的长为 ．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4 分）解方程： x2  8x  7  0.2222aa
18．（4 分）如图， O 的直径CD  10 ， AB 是O 的弦， AB  CD ，垂足为 M ，OM  3 ，求 AB 的长．
19．（6 分）如图，已知 AB  BC ，EC  BC ，垂足分别为 B 、C ，AE 交 BC 于点 D ，AB  12 ，
BD  15 ， DC  5 ，求 EC 的长．
20．（6 分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020 年出口量为 20 万台，2022 年出口量增加到 45 万台．
求 2020 年到 2022 年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？
按照这个增长速度，预计 2023 年我国新能源汽车出口量为多少？
组别
分数段
频数（人)
频率
1
60 分以下
30
0.1
2
60x  70
45
0.15
3
70x  80
60
n
4
80x  90
m
0.4
5
90x100
45
0.15
21．（8 分）2022 年 3 月 23 日“天宫课堂”第二课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩．为此，我区某校组织九年级全体学生进行了“天宫课堂”知识竞赛，赛后对全体参赛选手的竞赛成绩进行了整理与统计，结果如表：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中 m  ， n  ；
（2）竞赛结束后，九（1）班得分前 4 名的同学中，刚好有 2 名男同学和 2 名女同学，现准备从中选取两名同学宣讲“天宫课堂”知识，请用列举法求这两名同学恰好是一男一女的概 率．
22．（10 分）如图， OAB 的三个顶点的坐标分别为O(0, 0) ， A(0, 2) ， B(3, 3) ，将OAB 绕原点O 逆时针旋转90 得到△ OA1B1 ．
请画出△ OA1B1 ，并写出点 B1 的坐标．
在旋转过程中，线段OB 扫过的图形恰好是一个圆锥的侧面展开图，求这个圆锥的底面圆的半径．
23．（10 分）如图，已知点 A 在反比例函数 y  k 的图象上，点 A 的横坐标为1 ，过点 A 作
x
AB  x 轴，垂足为 B ，且 AB  3BO ．
求该反比例函数的解析式；
若点 P(m, 0) 在 x 轴的正半轴上，将线段 AP 绕着点 P 顺时针旋转90 ，点 A 的对应点C
恰好落在反比例函数 y  k 在第一象限的图象上，求 m 的值．
x
24．（12 分）如图 1，O 为ABC 的外接圆，半径为 6， AB  AC ， BAC  120 ，点 D 为优弧 BC 上异于 B 、C 的一动点，连接 DA 、 DB 、 DC ．
求证： AD 平分BDC ；
如图 2， CM 平分BCD ，且与 AD 交于 M ．
花花同学认为：无论点 D 运动到哪里，始终有 AM  AC ； 都都同学认为： AM 的长会随着点 D 运动而变化．
你赞同谁的观点，请说明理由．
求 DA  DB  DC 的最大值．
25．（12 分）已知抛物线 y  x2  (2m  2)x  m2  2m(m 是常数）与 x 轴交于 A ， B 两点， A
在 B 的左侧．
若抛物线的对称轴为直线 x  2 ，求抛物线的解析式；
在（1）的条件下， C(a, 1) ， D(4, n) 是抛物线上的两点，点 P 是线段CD 下方抛物线上的一动点，连接 PC ， PD ，求PCD 的面积最大值；
1
已知代数式 M  m2  5m ，记抛物线位于 x 轴下方的图象为T ，抛物线位于 x 轴上方的
图象为T2 ，将T1 沿 x 轴翻折得图象T3 ，T3 与T2 组合成的新图象记为T ，当直线 y  x  1 与图象T 有两个交点时，结合图象求 M 的取值范围．
2022-2023 学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.)
1．（3 分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中是中心对称图形的是()
A． 戴口罩讲卫生B． 勤洗手勤通风
C． 有症状早就医D． 少出门
少聚集
【解答】解： A ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C ．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D ．不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选： C ．
2．（3 分）“掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为 6”这个事件是()
A．随机事件B．确定事件C．不可能事件D．必然事件
【解答】解：“掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为 6”这个事件是随机事件．故选： A ．
3．（3 分）若关于 x 的方程(m  2)x2  3x  1  0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是()
m  0
m  2
m  2
m  0
【解答】解：关于 x 的方程(m  2)x2  3x  1  0 是一元二次方程，
 m  2  0 ，
解得： m  2 ． 故选： C ．
4．（3 分）抛物线 y  (x  3)2  4 的顶点坐标是(
)
A． (3, 4)B． (3, 4)
C． (3, 4)
D． (3, 4)
【解答】解： y  (x  3)2  4 ，
该函数的顶点坐标是(3, 4) ， 故选： C ．
5．（3 分）如图， AB 是O 的直径， ABC  45 ， AC 是O 的切线，则ACB 的度数为
()
A． 45B． 50C． 90D．135
【解答】解： AC 是O 的切线，
CAB  90 ，
在RtABC 中， ABC  45 ，
ACB  45 ． 故选： A ．
6．（3 分）已知反比例函数 y   2 经过两点(1, y ) ， (2, y ) ，则()
x12
y1y2
y1  y2
y1y2
y1  y2
【解答】解：反比例函数 y   2 经过两点(1, y ) ， (2, y ) ，
x12
每个象限内 y 随 x 的增大而增大， 则 y1  y2 ．
故选： B ．
7．（3 分）如图，是某商店售卖的花架简图，其中 AD / / BE / /CF ，DE  24cm ，EF  40cm ，
BC  50cm ，则 AB 长为()cm ．
A． 80
3
B． 100
3
C．50D．30
【解答】解： AD / / BE / /CF ，
 DE  AB ，
EFBC
即 24  AB ，
4050
 AB  30 ，
 AB 的长是30cm ． 故选： D ．
8．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2  3x  k  0 有两个不相等的实数根，则 k 的值可能是(
)
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：根据题意，得：△  32  4 1 k  0 ， 解得 c  9 ，
4
故选： A ．
9．（3 分）已知一次函数 y  kx  b 的图象如图，则二次函数 y  kx2  bx 的图象大致是()
A．B．
C．D．
【解答】解：由一次函数 y  kx  b 的图象可得，
k  0 ， b  0 ，
二次函数 y  kx2  bx 的图象开口向下，对称轴为 x   b
2k
 0 ，
故选： A ．
10．（3 分）如图，将正六边形 ABCDEF 放置在直角坐标系内， A(2, 0) ，点 B 在原点，点 P是正六边形的中心，现把正六边形 ABCDEF 沿 x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60 ，经过 2022 次翻转之后，则点 P 的坐标是( )
A． (2022, 3)B． (2021, 3)C． (4043, 3)D． (4044, 3)
【解答】解：由题意可知：
第一次翻转，中点 P 移动到点C 的位置，点 A 移动到点 P 的位置连接 PC ，与 y 轴交于点Q ， 过点 P 作 PG  x 轴，垂足为G ，
 A(2, 0) ，
OA  OP  OC  2 ， 由正六边形可知：
AOC  (6  2) 180  120 ， POG  60 ， POC  60 ，
6
3
POC 是等边三角形， GO  1 ， PG ，
 PC  2 ， PQ  CQ  1， P(1, 3) ，
第一次翻转，点 P 的横坐标增加 2，纵坐标不变，
经过 2022 次翻转之后，点 P 的坐标是(1  2  2022, 3) ，
即(4043, 3) ，
故选： C ．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）
11．（3 分）已知点 A(2, 1) 与点 A 关于原点对称，则点 A 坐标为 (2,1) ．
【解答】解：点 A(2, 1) 与点 A 关于坐标原点对称，
点 A 的坐标为(2,1) ． 故答案为： (2,1) ．
12．（3 分）若 2 是关于 x 的方程 x2  c  0 的一个根，则 c  4．
【解答】解：把 x  2 代入方程 x2  c  0 得 4  c  0 ， 解得 c  4 ．
故答案为：4．
13．（3 分）如图，以点O 为位似中心，将ABC 缩小得到△ ABC ，若 OA  1 ，△ ABC
OA3
的周长为 2，则ABC 的周长为 6．
【解答】解：以点O 为位似中心，将ABC 缩小后得到△ ABC ，
△ ABC∽ABC ，
 AB  OA  1 ，
ABOA3
△ ABC 与ABC 的周长比为1: 3 ，
△ ABC 的周长为 2，
ABC 的周长为故答案为：6． 故答案为：6．
14．（3 分）如果二次函数 y  ax2  bx  c(a  0) 的图象经过点(1, 0) ，对称轴为 x  1 ，那么
一元二次方程 ax2  bx  c  0 的解为x  1 ， x  3 ．
12
【解答】解：抛物线与 x 轴的一个交点坐标为(1, 0) ， 而抛物线的对称轴为 x  1 ，
抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为(3, 0) ，
一元二次方程 ax2  bx  c  0 的解为 x  1 ， x  3 ．
12
故答案为： x1  1 ， x2  3 ．
3
15．（3 分）如图，在直角三角形 ABC 中，ABC  60 ，BC ，将ABC 顺时针旋转15
3
得到△ ABC ， AB 与 AC 相交于点 E ，则 AE 的长为 3 
3
【解答】解：在直角三角形 ABC 中， ABC  60 ， BC ，
．（结果保留根号）
3
 AC  tan ABC  BC  3  3 ，
由题意得CBC  15 ， C  C  90 ， AC  3 ，
ABC  60 ，
CBE  45 ，
BEC  45 ，
3
 EC  BC ，
3
 AE  AC  EC  3 ．
3
故答案为： 3 ．
16．（3 分）定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数 y  k 的图
x
象上，则称这个矩形为“奇特矩形”．如图，在直角坐标系中，矩形 ABCD 是第一象限内的
一个“奇特矩形”．且点 A(4, 2) ， D(7, 2) ，则 AB 的长为9 或 1．
53
【解答】解：点 A(4, 2) ， D(7, 2) ， 矩形 ABCD 中， BC  AD  3 ，
设 AB  m ，则CD  m ，
: B(
)4 ， 2  m) ， C(7, 2  m) ，
因为反比例函数图象的一支在第一象限，故 k  0 ， 当反比例函数图象经过 AB 和CD 的三等分点时，
反比例函数经过(4 ， 2  1 m)(7 ， 2  2 m) ，
33
 4(2  1 m)  7(2  2 m) ，
33
解得 m  9 ，
5
当反比例函数图象经过 AD 和 BC 的三等分点时，反比例函数经过(5, 2) 和(6 ， 2  m ) ， 可得： 6(2  m )  5  2 ，
解得 m  1 ，
3
故 AB 的长为
9
9 或 1 ．
53
1
故答案为： 或 ．
53
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4 分）解方程： x2  8x  7  0.2222aa
【解答】解：
分解因式可得(x 1)(x  7)  0 ，
 x  1  0 或 x  7  0 ，
 x  1 或 x  7 ．
18．（4 分）如图， O 的直径CD  10 ， AB 是O 的弦， AB  CD ，垂足为 M ，OM  3 ，求 AB 的长．
【解答】解：连接OA ，
O 的直径CD  10 ，
OA  5 ，
 AB  CD ，且CD 为O 的直径，
AOM 是直角三角形，且 AB  2AM ，
OA2  OM 2
 AM 
 AB  8 ．
 4 ，
19．（6 分）如图，已知 AB  BC ，EC  BC ，垂足分别为 B 、C ，AE 交 BC 于点 D ，AB  12 ，
BD  15 ， DC  5 ，求 EC 的长．
【解答】解： AB  BC ， EC  BC ，
C  B  90 ，
CDE  BDA ，
DCE∽DBA ，
 DC  EC ，
BDAB
 AB  12 ， BD  15 ， DC  5 ，
 5  EC ，
1512
 EC  4 ．
20．（6 分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020 年出口量为 20 万台，2022 年出口量增加到 45 万台．
求 2020 年到 2022 年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？
按照这个增长速度，预计 2023 年我国新能源汽车出口量为多少？
【解答】解：（1）设年平均增长率为 x，根据题意可列方程：20（1+x）2＝45，
解得：x1＝0.5，x2＝﹣2.5（不合题意舍去），
答：2020 年到 2022 年新能源汽车出口量的年平均增长率是 50%；
（2）由（1）得，45×（1+50%）＝67.5（万），
答：预计 2023 年我国新能源汽车出口量为 67.5 万辆．
组别
分数段
频数（人)
频率
21．（8 分）2022 年 3 月 23 日“天宫课堂”第二课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩．为此，我区某校组织九年级全体学生进行了“天宫课堂”知识竞赛，赛后对全体参赛选手的竞赛成绩进行了整理与统计，结果如表：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中 m  120， n ；
（2）竞赛结束后，九（1）班得分前 4 名的同学中，刚好有 2 名男同学和 2 名女同学，现准备从中选取两名同学宣讲“天宫课堂”知识，请用列举法求这两名同学恰好是一男一女的概 率．
【解答】解：（1）由题意可知：总人数为30  0.1  300 （人) ，
所以 m  300  0.4  120 （人) ， n  60  300  0.2 ， 故答案为：120，0.2；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有 12 种情况，恰好是 1 男 1 女的情况有 8 种，
这 2 名同学恰好是一男一女的概率为： 8  2 ．
123
22．（10 分）如图， OAB 的三个顶点的坐标分别为O(0, 0) ， A(0, 2) ， B(3, 3) ，将OAB 绕原点O 逆时针旋转90 得到△ OA1B1 ．
请画出△ OA1B1 ，并写出点 B1 的坐标．
在旋转过程中，线段OB 扫过的图形恰好是一个圆锥的侧面展开图，求这个圆锥的底面圆的半径．
1
60 分以下
30
0.1
2
60x  70
45
0.15
3
70x  80
60
n
4
80x  90
m
0.4
5
90x100
45
0.15
【解答】解：（1）如图，△ OA1B1 即为所求，点 B1 的坐标(3, 3) ．
（2）设这个圆锥的底面圆的半径为 r ，则有r  90 3 2 ，
180
3 2
2
 r ．
23．（10 分）如图，已知点 A 在反比例函数 y  k 的图象上，点 A 的横坐标为1 ，过点 A 作
x
AB  x 轴，垂足为 B ，且 AB  3BO ．
求该反比例函数的解析式；
若点 P(m, 0) 在 x 轴的正半轴上，将线段 AP 绕着点 P 顺时针旋转90 ，点 A 的对应点C
恰好落在反比例函数 y  k 在第一象限的图象上，求 m 的值．
x
【解答】解：（1）点 A 的横坐标为1 ，
OA  1 ，
 AB  x 轴，垂足为 B ，且 AB  3BO ，
 AB  3 ，
 A(1, 3) ，
点 A 在反比例函数 y  k 的图象上，
x
 k  1 (3)  3 ，
该反比例函数的解析式为 y  3 ；
x
（2）将线段 AP 绕着点 P 顺时针旋转90 ，点 A 的对应点C 恰好落在反比例函数 y  k 在第
x
一象限的图象上， 过点C 作CD  x 轴交于点 D ，设点 P(a, 0) ，
PAB  BPA  90 ， BPA  CPD  90 ，
CPD  PAB ，
ABP  CDP  90 ， PA  PC ，
PAB  CPD (AAS ) ，
 PD  AB  3 ， DC  PB  a  1 ，
OD  a  3 ，
则点C 的坐标为(a  3, a  1) ， 则(a  3)(a  1)  3 ，
7
解得： a  1 （负值已舍去）．
7
点 P 坐标为(1 ， 0) ．
24．（12 分）如图 1，O 为ABC 的外接圆，半径为 6， AB  AC ， BAC  120 ，点 D 为优弧 BC 上异于 B 、C 的一动点，连接 DA 、 DB 、 DC ．
求证： AD 平分BDC ；
如图 2， CM 平分BCD ，且与 AD 交于 M ．
花花同学认为：无论点 D 运动到哪里，始终有 AM  AC ； 都都同学认为： AM 的长会随着点 D 运动而变化．
你赞同谁的观点，请说明理由．
求 DA  DB  DC 的最大值．
【解答】（1）证明： AB  AC ，
 AB  AC ，
BDA  ADC ，
 AD 平分BDC ；
解：贽同花花的观点，理由如下： 如图，连接 BC ，
 CM 平分BCD ， AD 平分BDC ，
BCM  DCM ， BDA  ADC ，
ACB  BDA ，
ACB  ADC ，
AMC  ADC  DCM  ACB  BCM  ACM ，
 AC  AM ，
无论点 D 运动到哪里，始终有 AM  AC ；
解：如图，在 AD 右侧作DAE  120 ，与 DC 延长线交于点 E ，过点 A 作 AF  CD 于点 F ，
 BAC  120 ，
BDC  180  BAC  60 ，
ADC  30 ，
E  ADC  30 ，
 AD  AE ，
BAD  DAC  DAC  CAE  120 ，
BAD  CAE ， 在ABD 和ACE 中，
 AD  AE

BAD  CAE,

 AB  AC
ABD  ACE (SAS ) ，
 BD  CE ，
 BD  CD  CE  CD  DE ，
 AF  CD ，
 DE  2DF ，
在RtADF 中， ADC  30 ，
 AD  2 AF ，
 AD2  AF 2  DF 2 ，即 AD2  ( 1
2
AD)
2  DF 2 ，
 DF 
3 AD ，
2
 DE  2DF 
3AD ，
 DA  DB  DC  DE  AD  ( 3  1)AD ，
当 AD 为直径时， AD 取得最大值，即 AD  12 ，
3
 DA  DB  DC 的最大值为12(1)  12 3 12 ．
25．（12 分）已知抛物线 y  x2  (2m  2)x  m2  2m(m 是常数）与 x 轴交于 A ， B 两点， A
在 B 的左侧．
若抛物线的对称轴为直线 x  2 ，求抛物线的解析式；
在（1）的条件下， C(a, 1) ， D(4, n) 是抛物线上的两点，点 P 是线段CD 下方抛物线上的一动点，连接 PC ， PD ，求PCD 的面积最大值；
1
已知代数式 M  m2  5m ，记抛物线位于 x 轴下方的图象为T ，抛物线位于 x 轴上方的
图象为T2 ，将T1 沿 x 轴翻折得图象T3 ，T3 与T2 组合成的新图象记为T ，当直线 y  x  1 与图
象T 有两个交点时，结合图象求 M 的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线 x  2 ，
 x   (2m  2)  2 ，
2
解得 m  1，
抛物线的解析式为： y  x2  4x  3 ；
（2）当 y  1 时， x2  4x  3  1 ，解得 x  2 ，
C(2, 1) ，
当 x  4 时， y  42  4  4  3  3 ，
 D(4, 3) ，
直线CD 的解析式为： y  2x  5 ，
过点 P 作 PQ / / y 轴交CD 于点Q ，如图 1，
设点 P 的横坐标为t ，
 P(t,t2  4t  3) ， Q(t, 2t  5) ，
QP  2t  5  (t2  4t  3)  t2  6t  8 ，
 SPCD
 1 (x
2
D  xC
)  QP
 1  (4  2)(t 2  6t  8)
2
 t 2  6t  8
 (t  3)2 1 ，
当t  3 时， SPCD 的最大值为 1；
（3） y  x2  (2m  2)x  m2  2m  (x  m)(x  m  2) ，
 A(m, 0) ， B(m  2, 0) ，
根据题意可知，当点 B 在直线 y  x  1 上时， m  3 ，此时 y  x  1 与图象T 有无交点，如
图 2（1），
随 着 m 的 增 大 ， 图 象 T 与 直 线
y  x  1
有 两 个 交 点 ， 如 图 2 （ 2 ），
当 y  x  1 过点 A ，图象T 与直线 y  x  1 有两个交点，如图 2（3），此时 m  1 ，
当3  m1 时，图象T 与 y  x  1 有两个交点；
当 m 继续增大，图象T 与 y  x  1 有四个交点，当 y  x  1 与图象T3 相切，如图 2（4），
3
由对称可知，图象T 所对应的解析式为： y  x2  (2m  2)x  m2  2m ， 令x2  (2m  2)x  m2  2m  x  1，整理得 x2  (2m  1)x  m2  2m  1  0 ，
令△  0 ，即(2m  1)2  4(m2  2m  1)  0 ，
解得 m   3 ，
4
当 m 继续增大时，图象T 与直线 y  x  1 有两个交点，符合题意；
综上， 3  m1 或 m   3 ；
4
 M  m2  5m  (m  5 )2  25 ，
24
当 m   5 ， M 随 m 的增大而减小，当 m  5 ， M 随 m 的增大而增大，
22
当 m   5 ， M 的最小值为 25 ；
24
当 x  3 时， M 的值为6 ； 当 x  1 时， M 的值为4 ；
当 x   3 时， M 的值为 51 ．
416
由二次函数的性质可知， M 的取值范围为：  25 M  4 或 M   51 ．
416