重庆市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试题含解析 (3)

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试题含解析 (3)，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分，每题有且仅有一个正确答案）
1. 集合，，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，利用集合端点值间的关系列不等式即可求解答案.
【详解】已知，
由于，可得：.
故选：A
2. 命题“，”是（ ）
A. 真命题，其否定为“，”
B. 假命题，其否定为“，”
C. 真命题.其否定为“，”
D. 假命题，其否定为“，”
【答案】C
【解析】
【分析】由配方法整理不等式，得到命题的真假，然后写出命题的否定，得到结论.
【详解】∵，当时，∴原命题为真命题，
命题“，”的否定为“，”，
故选：C.
3. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用抽象函数的定义域结合具体函数的定义域计算即可.
【详解】由的定义域是，则，即的定义域为，
又，所以函数的定义域是.
故选：B
4. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在研究函数的图象时，常和性质来分析，已知，则其倒数的大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据函数的奇偶性排除B、C选项，再根据当时，函数值的正负排除D选项，进而得到答案即可.
【详解】已知函数的定义域为，
由于，可知为奇函数，
即得函数也为奇函数，因此图像应关于原点对称，故排除B、C选项；
又因当时，，得：，故排除D选项.
综上可得：A为正确选项.
故选：A
5. 已知，则是的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】通过举反例证明充分性不成立，结合作差法比较代数式的大小关系说明必要性成立，进而判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得到答案.
【详解】充分性：
当，，时，满足：，，但不满足.
说明充分性不成立；
必要性：
已知，，
则，即得：，
说明必要性成立.
因此可得：“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
6. 已知正数，满足，则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题设条件求出的范围，对所求式消元后进行换元，利用二次函数的性质即可求得其范围.
【详解】因正数，满足，故，解得：，
因为，设，则，且.
则，
由于，可得：，即.
故选：D
7. 若函数，满足，且，则（ ）
A. B. 6C. 7D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用方程组法计算函数解析式再求值即可.
【详解】由，可知，联立解得，
所以，则.
故选：D
8. 定义.设函数，：记函数，且函数在区间上的值域为，则的最大值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据取大函数的定义，结合一次函数、二次函数的图象与性质，数形结合计算即可.
【详解】令，解之得或，作出大致图象如下：
令或，
结合图象可知，若函数在区间上的值域为可知，
所以的最大值为.
故选：C
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列各组函数中，表示同一函数且在定义域内单调的是（ ）
A.
B.
C. ，（）
D.
【答案】CD
【解析】
【分析】利用函数的三要素及单调性一一分析选项即可.
【详解】对于A，两函数定义域为R，但显然不恒成立，即A不正确；
对于B，两函数定义域均为，且，
两函数均在和上单调递增，但非整个定义域内单调，
不符合题意，即B错误；
对于C，易知，
且定义域上单调递减，与的定义域和表达式均相同，故为同一函数，符合题意，即C正确；
对于D，由可得，即的定义域为，
而可得，即的定义域为，两函数定义域相同，
可知，即两函数为同一函数，
易知在单调递增，所以与定义域内均单调，故D正确.
故选：CD
10. 设正数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最大值为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用基本不等式及二次函数的性质逐一计算选项即可.
【详解】对于A，易知，
当且仅当时取得等号，故A正确；
对于B，易知，
当且仅当时取得等号，故B错误；
对于C，，
当且仅当时取得等号，但与前提矛盾，故C错误；
对于D，由可得，
则，当且仅当时取得等号，故D正确；
故选：AD
11. 已知定义在的函数满足且当时，.则下列说法正确的是（ ）
A. 为奇函数B. 当时，
C. 在单调递减D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用赋值法结合抽象函数的性质一一分析选项即可.
【详解】对于A，令，则，
令，则，
再令，则，即A正确；
对于B，令，则有，即时，，
结合奇函数性质知时，，即B错误；
对于C，取，令，则
由上知时，，则，
所以，则在单调递减，故C正确；
对于D，取，则有，
若，显然，故D正确；
故选：ACD
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（共3小题，每题5分，共15分）
12. 已知幂函数在区间上单调递减，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】 根据幂函数的定义，及当幂指数小于0时，幂函数在上单调递减，可得的值.
详解】由题可知，，所以，所以.
故答案为：.
13. 已知偶函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用偶函数的定义计算即可.
【详解】由题意知，
所以，
所以.
故答案为：
14. 已知奇函数满足：当时，.若对任意的成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】首先利用奇偶性求解当时的解析式并画出函数图像，根据题意，成立，可得：在上的最小值为，然后分、、、、五种情况分别讨论满足题意的条件，进而求出实数的取值范围.
【详解】已知当时，，
设，则，，
又为奇函数，得：，
综上可得：，画出的图像如下图：
由于，成立，，
所以在上的最小值为
①当时，在上单调递减，的最小值为，符合题意；
②当且时，即时，的最小值为，不符合题意；
③当时，即时，若想的最小值为，则需满足，即：，解得：或，
又，得：；
④当时，即时，如图易知：的最小值为，符合题意；
⑤当，即时，在上单调递减，的最小值为，符合题意；
综上所述可得：.
故答案为：
四、解答题（共5题，共77分，其中15题13分，16、17每题15分，18、19每题17分，请写出必要的解答过程）
15. 已知集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）求.
【答案】（1）且
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）首先解方程求得，然后按照与两种情况，分别根据条件求解实数的取值范围即可.
（2）根据第一问的计算结果，分别按、、、且且四种情况求解集合，进而分别求解.
【小问1详解】
由，解得：或，可得：
当时，方程有两个相等实数解，即，可得：，
此时，满足题意；
当时，方程有两个解，即或，可得：，
由于，可得：且.
综上可得实数的取值范围为且.
【小问2详解】
由（1）可知：
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当且且时，，则；
综上可得：当或或时，，
当且且时，.
16. 已知函数.
（1）若，求函数的值域；
（2）当时，解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）直接根据对勾函数的单调性计算值域即可；
（2）含参数分类讨论计算一元二次不等式即可.
【小问1详解】
时，，
由对勾函数的性质可知在上单调递减，
在上单调递增，
所以时，，时，，
即的值域为；
小问2详解】
由题意，
即，
若，易得，
若，则，
若，则，解得，
若，则，解得，
综上所述：时，不等式解集为；时，不等式解集为；
时，不等式解集为；时，不等式解集为.
17. 已知定义在实数集的函数满足，且满足当时，恒成立，.
（1）求和的值；
（2）判断函数的单调性并加以证明；
（3）如函数的图象关于点成中心对称的充要条件为为奇函数，若函数是中心对称图形且关于点对称，求的值.
【答案】（1），
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用赋值法结合条件计算解得答案.
（2）利用函数单调性的定义证明即可；
（3）根据函数的性质以及奇函数的定义求解的值.
【小问1详解】
由，令，
代入函数方程得，解得.
令，代入函数方程得，
再令，代入函数方程得，
结合得，解得
令，代入函数方程得，
代入，得，解得.
【小问2详解】
在上单调递增.
证明：设且，则，由题意可得，
利用函数方程，
故，即，
因此在上单调递增.
【小问3详解】
根据题意，若函数是中心对称图形且关于点对称，
所以为奇函数，可得，即，
令，则，即，所以
由（1）可知，所以.
18. 我校重庆外国语学校是1963年由周恩来总理亲自倡导下成立的，2001年被国家教育部指定为20%高三学生享有保送资格的全国十三所学校之一.我们学校的“四大节”大家都非常熟悉，即“体艺文化节”，“科技文化节”，“外语文化节”，“书香文化节”.10月18日，学校启动了第十八届书香文化节，分为“家风传承”，“书法展示”，“朗诵比赛”三个活动，其中“家风传承”展示是同学们最喜欢参观的活动.初一某班的张姓同学带来了曾祖父的军功章，军功章的表面已经比较模糊，金属材质的军功章在空气中会逐渐氧化，尤其是铜，铁等材质在潮湿的空气中容易与氧气，与水分发生化学反应，形成锈蚀.查询相关科技文章，我们发现，军功章的清晰度与时间大概会形成如图（1）所示的函数图象，请根据要求回答以下问题.

（1）如图，纵坐标表示军功章的清晰度，横坐标表示时间，现在我们准备用函数模型来模拟这个函数图象，现有两个函数解析式供选择，（）与（，）请问用那个函数模型来模拟更好一些，简要说明理由；

（2）设，判断函数的单调性，并求函数在上的最值；
（3）若军功章的清晰度与时间之间满足当时间时：清晰度的取值集合为，我们则称该军功章为优质军功章.我们用函数来模拟张姓同学家的军功章的清晰度与时间的关系.若张姓同学家的军功章为优质军功章，求的取值范围.
【答案】（1）（，）模拟更好
（2）单调递减；最大值为，最小值为；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象的变化趋势进行判断即可；
（2）根据幂函数判断函数单调性，进而根据函数单调性求解函数最值即可；
（3）首先根据“优质军功章”定义得到方程组，相减整理得：，通过换元，令得：，，代入中化简得：，最后根据二次函数的性质求解的取值范围.
【小问1详解】
图象显示军功章清晰度随时间的增大而逐渐变小且减小的速度越来越慢，
二次函数（）为开口向下的抛物线，对称轴前为递增区间，对称轴后为递减区间，且递减速度越来越快，与已知图象变化趋势不符；
函数（，），由于随增大而变大，且增大速度越来越慢，因此随增大而减小且减小速度越来越慢，与图象变化趋势一致.
因此可以判断（，）模拟更好；
【小问2详解】
已知在上单调递增，可得：在上单调递增，
进而可知：在上单调递减，
由此可得：当时，函数取得最大值，最大值为；
当时，函数取得最小值，最小值为.
【小问3详解】
已知函数单调递减，由“优质军功章”定义：当时，的取值集合为，
由此可得：当时，取最大值，即；
当时，取最小值，即.
联立方程：，两式相减，
变形得：，
由于，，约分化简可得：
，
令，则，
因此，，因为，所以，解得：，
又，故.
又由，得：，化简得：，.
函数是开口向上的抛物线，对称轴为，
因此可得：函数在区间上单调递减，
由此可得，即的取值范围为.
19. 已知函数的定义域为，的定义域为.若对于任意，都存在，使得（为常数），则称是的“-伴随函数”.
（1）若（），（），则是否为的“11-伴随函数”？说明理由；
（2）若，.
（ⅰ）当时，讨论的单调性；
（ⅱ）当时，为的“-伴随函数”，求的取值范围.
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）将问题化为两个函数的值域包含关系，根据反比例函数、对勾函数的性质计算即可；
（2）（ⅰ）去绝对值符号，利用二次函数的性质分类讨论参数范围即可确定单调性；
（ⅱ）结合（ⅰ）的讨论确定函数值域，再根据幂函数的性质，由值域的包含关系计算参数即可.
【小问1详解】
由题意可知是定义域上减函数，
即，
由对勾函数的性质知在上单调递增，
即，
若是的“11-伴随函数”，
则，都，使得，
由上知，显然，即符合伴随函数的定义，
所以是的“11-伴随函数”；
【小问2详解】
（ⅰ）易知，
若，即，此时在上单调递增，在上单调递减；
若，即，
此时在上单调递减，在上单调递增；
若，即，
此时上单调递减，在上单调递增；
若，则，
此时在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在上单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增；
（ⅱ）由幂函数性质可知（），定义域上单调递增，即其值域为，
由（）知，
①若，在上单调递减，
在上单调递增，
又，
显然，即，
则，
要满足题意需，则，结合
解得；
②若，由上知在上单调递减，在上单调递增，
而，则，，
要满足题意需，显然符合；
③若时，由上知在上单调递减，
在上单调递增，
而，
且，
因为，所以，
即，，
要满足题意需，即，结合，
解得；
综上所述要满足题意需.