重庆市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试题含解析 (2)

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试题含解析 (2)，共16页。试卷主要包含了 若 ，则， 函数 的图象大致为， 下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
总分：150 分 时量：120 分钟
一､选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 若 ，则 （ ）
A. B. 1 C. 或 1 D. 或 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系，结合互异性即可求解.
【详解】若 ，则 ， ，不符合题意；
若 ，则 （舍去）或 ，则 ，符合题意．
故选：A
2. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对选项逐一分析函数的定义域、奇偶性和单调性，由此选出正确选项.
【详解】对于 A，函数 在定义域 R 上单调递增，故 A 错误；
对于 B，函数 在 和 上单调递增，故 B 错误；
对于 C， 在定义域 R 上是奇函数且单调递减，故 C 正确；
对于 D， 在 R 上是非奇非偶函数，故 D 错误.
故选：C
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3. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数 的定义域得出 的范围，再根据指数函数的单调性求解 ，最后取交集即
可.
【详解】因函数 的定义域为 ，则 ，得
又 ，即 ，得 ，
故 的定义域为 .
故选：B
4. 已知指数函数 ，则函数 的图象过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由指数函数概念得 ，再根据指数函数性质即可得答案.
【详解】由 为指数函数得 ，解得 ，
又 且 ，故 ，
所以函数 ，令 得 ，此时 ，
所以函数 的图象过定点 .
故选：A
5. 某课外小组想研究某种植物在一定条件下 生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每
周以 的增长率生长.若经过 8 周后，该植物的长度是原来的 倍，则再经过 4 周，该植物的长度大约是
原来的（ ）
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
【答案】D
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【解析】
【详解】设植物原来的长度为 ，经过 周后，该植物的长度为原来的 倍，
即 ，
∴ ，解得 ，
再过 4 周后该植物的长度为 .
因此，再经过 4 周，该植物的长度大约是原来的 倍.
故选：D
6. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断 的奇偶性可排除 A 和 B，再分析 时 的符号可排除 C，从而可得正确选项.
【详解】由 ，可得 ，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，故排除 A 和 B，
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又当 时， ，故排除 C.
故选：D.
7. 已知函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分段函数的单调性需要分段分析，特别注意分段点处的衔接.
【详解】因为函数 是 上的减函数，
所以函数 与 均是减函数，且 ，
即 ，解得 .
故选：C.
8. 已知定义在 上的偶函数 满足对 且 都有 ，且
，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先得到 的单调性，且 ，从而分 和 两种情况，解不等式，求出
答案.
【详解】对 且 ，都有 ，故 在 上单调递减，
为定义在 上的偶函数，故 在 上单调递增，且 ，
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当 时， ，故 ，
当 时， ，故 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：B
二､多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据对数运算法则判断 ，通过换底公式判断 选项，应用根式运算判断 C 选项.
【详解】A. ，A 选项正确；
B. ，B 选项正确；
C. ，C 选项错误；
D. ,D 选项正确.
10. 若“ ”是假命题，则 的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】首先将问题转化为存在量词命题的否定为真命题，进而解决不等式恒成立问题即可.
【详解】因为“ ”是假命题，
所以其否定“ ”是真命题.
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当 ，即 时，不等式 即 ，是一个一元一次不等式，
不满足对任意的实数 恒成立，不满足题意，所以 ；
当 时，不等式 是一个一元二次不等式，
要使其对任意的实数 恒成立，只需 ，即 ，
解得 ，即实数 的取值范围是 .
结合四个选项知， ， ， ，
，
故选：AC.
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”
为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.例如： ， .
已知 是定义域在 上的奇函数，且当 时， ，则下列结论正确的是（
）
A. 当 时，
B.
C. 在 上是增函数
D. 值域是
【答案】BCD
【解析】
【分析】由 得到 ，即可求得 ，判断 A 选项；由奇函数的定义即函数在 上的解析式
即可求得 ，判断 B 选项；由函数在 上的解析式证明函数 在 的单调性，结合函数
的奇偶性即可得到函数在 的单调性，判断 C 选项；由定义可知 ，得到函数 在
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上的值域，由函数的奇偶性得到函数在 上的值域，判断 D 选项.
【详解】∵当 时， ，∴ ，A 选项错误；
，B 选项正确；
，当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
∵函数 为奇函数，∴函数在 上单调递增，
∴函数 在 上单调递增，C 选项正确；
由题意可知 ，∴ ，即当 时， ，
∴当 时， ，
∴ 的值域是 ，D 选项正确.
故选：BCD.
三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 计算： __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数运算法则和对数恒等式 计算即可.
【详解】
故答案为：
13. 函数 的单调递增区间是__________.
【答案】
【解析】
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【分析】先求出 的定义域，根据复合函数单调性的法则：同增异减，即可求出答案.
【详解】令 ，解得 或 ，所以函数的定义域为 ，
令 ， ，则 ，
因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
根据复合函数单调性得 在 上单调递减，
又 在 上单调递减，在 上单调递增，
根据复合函数单调性得 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 的单调递增区间是 .
故答案为： .
14. 已知函数 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出 ，分析可得 ，根据分析计算得到答案.
【详解】由题 ，则 ，
因为 ，所以 .
故答案为： .
四､解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 ， .
（1）求集合 ；
（2）若 ： ， ： ，且 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
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【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）集合 元素代表是 x，即求函数 定义域，求解不等式 即
可.
（2）由 是 的充分不必要条件，知 是 的真子集，结合数轴表示集合关系，列出关于 的不等式，求
解即可.
【详解】（1）
，则 ， ，
.
（2）由 可得 或 ， 或
又 是 的充分不必要条件，所以 是 的真子集，由图像可知：
或 ， 或 ，
实数 的取值范围是 .
【点睛】结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，需转化为集合关系，一般根据如下规则：
（1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（2） 是 的充分不必要条件， 则 对应集合是 对应集合的真子集；
（3） 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等；
（4） 是 的既不充分又不必要条件， 对的集合与 对应集合互不包含．
16. （1）已知： ，求 ；
（2）已知 ，试用 表示 .
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【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）先对 进行平方，得到 的值，再进行平方得到的值即可求出；
（2）利用换底公式，结合对数运算性质运算求解即可.
【详解】解：（1）因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以
（2）因为 ，
所以
17. 已知二次函数 的图象经过 三点.
（1）求 的解析式；
（2）若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）求 在区间 上的最小值 .
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设函数解析式，用待定系数法求解；
（ 2） 将 不 等 式 转 化 为 ， 令 ， 将 不 等 式 恒 成 立 转 化 为
，求 的最小值即可；
（3）分析区间与对称轴的位置关系，分三种情况讨论.
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【小问 1 详解】
设函数解析式为 ，
因为二次函数 的图象经过 三点，
则 ，解得 ，
所以 的解析式为 .
【小问 2 详解】
，即 ，可化为 ，
当 时， 恒成立，即 ，其中 ，
令 ，
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
的对称轴为 ，
当 时，函数在区间 上单调递减，则 ，
当 ，即 时， ，
当 时，函数在区间 上单调递增，则 ，
综上 .
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18. 已知定义域为 函数 是奇函数.
（1）求 的值；
（2）判断并证明 的单调性；
（3）求不等式 的解集.
【答案】（1）
（2） 为 上的减函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据 求出，并利用奇偶性的定义检验；
（2）利用单调性的定义求证；
（3）利用奇偶性和单调性求解.
【小问 1 详解】
因 为定义域内的奇函数，则 ，解得 ，
此时 ， ，
又定义域为 关于原点对称，则 为奇函数，符合题意，
故 ；
【小问 2 详解】
函数 为 上的减函数，证明如下：
对于任意实数 ，令 ，则 ，
因 ，
则
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又 ，则 ，即 ，
故 为 上的减函数；
【小问 3 详解】
因 是奇函数，
则 可化为 ，
又 是 上的减函数，则 ，解得 ，
故不等式的解集为 .
19. 定义 ， ．
（1）用解析式表示 并求 的最小值；
（2）证明：
（3）设 若对任意 都存在
使得 求实数 b 的取值范围．
【答案】（1）1 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）按 ， 的大小分类，得到 的解析式；
（2）按 的大小分类证明即可；
（3）令 ， ，由第（2）小问知： ，
，然后把题意转化为 ， 都大于等于 2，对任意 恒成立，可得答案.
【小问 1 详解】
设 ， ．
当 或 时， ，故 ；
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当 时， ，故 ．
因此， ，
的最小值为 1；
【小问 2 详解】
当 时，
等式右边 ；
当 时， ，
等式右边 ；
【小问 3 详解】
依题意知： 在[0，4]上的值域是 在 上的值域的子集，
由于 在 上单调递增，值域为 ，
因此，只需满足对任意 ，有 ．
，
，
令 ， ， ，
由（2）知： ， ，
要使 对任意 恒成立，
又 对任意 恒成立，
所以只需 对任意 恒成立，
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当 时，不成立；当 时， ，故 .
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