重庆市2025_2026学年高二数学上学期期中测试试题含解析 (1)

这是一份重庆市2025_2026学年高二数学上学期期中测试试题含解析 (1)，共17页。试卷主要包含了考试时间 120 分钟 2， 圆 在点 处的切线方程为， 已知双曲线 C等内容，欢迎下载使用。
考试说明：1.考试时间 120 分钟 2.试题总分 150 分 3.试卷页数 2 页
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个备选选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1. 直线 的斜率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线的一般方程可直接求得其斜率.
【详解】由题意可得直线 的斜率是 ．
故选：D
2. 已知三点 ， ， 在同一条直线上，则 值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的条件，利用 列式计算即得.
【详解】由 ， ， 三点共线，得 ，即 ，解得 ．
故选：B
3. 与直线 y=-2x+3 平行,且与直线 y=3x+4 交于 x 轴上的同一点的直线方程是 ( )
A. y=-2x+4 B. y= x+
C. y=-2x- D. y= x-
【答案】C
【解析】
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【详解】在方程 中，令 ，得 ，所以直线 与 x 轴的交点坐标为 ．故
所求直线方程为 ，即 ．选 C．
4. 已知椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件得出 ，再利用公式 可求出椭圆 的离心率.
【详解】因为椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，则 ，即 ，
故椭圆 的离心率为 .
故选：C.
5. 圆 在点 处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先计算出 ，从而由斜率乘积为-1 得到切线斜率，利用点斜式写出切线方程，得到答
案.
【详解】因为 ，所以 在圆 上，
的圆心为 ，
故 ，
设圆 在点 处的切线方程斜率为 ，
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故 ，解得 ，
所以圆 在点 处的切线方程为 ，
变形得到 ，即 .
故选：A
6. 已知双曲线 C： ，其一条渐近线被圆 截得弦长为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先求出渐近线的方程和圆心到渐近线的距离，再利用圆的弦长公式求解.
【详解】双曲线 C： 的一条渐近线方程为 ，即 .
圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以圆心到渐近线的距离为 .
所以渐近线被圆 截得弦长为 .
故选：C
7. 已知 分别为椭圆 的左、右焦点，经过坐标原点的直线与 交于 ， ，若
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】根据方程可得 ，结合椭圆定义可得 ，再利用余弦定理以及几何性质分析
求解.
【详解】由椭圆方程可知： ，即 ，
因为 ，且 ，可得 ，
在 中， ，
由椭圆性质可知： ，即四边形 为平行四边形，
所以 .
故选：A.
8. 直线 l 过点 且与椭圆 相交于 A、B 两点，若线段 的中点为 M 则直线 l 的斜率为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 点坐标，代入椭圆中，作差化简可得答案.
【详解】设 和 为直线与椭圆的交点，且 为 中点，因此：
，
点 和 满足椭圆方程：
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，
将方程 (1) 减去 (2)： ，
因式分解： ，
代入中点坐标： ，
得： ，
整理得： ，
因此，斜率 .
故选：B
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.全部选对 6 分，部分选对部分分）
9. 已知直线 和 ，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】由两直线平行、垂直的条件计算可得答案.
【详解】若 ，则 且 ，解得 ，故 A 错误，C 正确；
若 ，则 ，解得 ，故 B 正确，D 错误
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故选：BC.
10. 设 O 为坐标原点，已知直线 l： 与圆 ： 有两个交点
M，N，则（ ）
A. 直线 l 过定点 B.
C. 当 时， D. 当 时， 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据直线方程求得定点判断 A，利用点在圆内求得的取值范围判断 B，利用弦长公式求得 判
断 C，利用数量积运算，结合直线与圆的关系判断 D.
【详解】选项 A，直线 l 可化为 ，则 l 过定点 ，所以 A 错误；
选项 B，因为直线 l 与圆 总有两个公共点，且定点 在圆 内，
故 ，解得 ，所以 B 正确；
选项 C，当 时，圆 ： ，
所以 ，又 ，则 ，
则 的最小值为 ，最大值即为 ，所以 C 正确；
选项 D，当 时，圆 ： ，
则 ，
当直线 l 过 时， 取得最小值 ，所以 的最小值为 ，所以 D 正确．
故选：BCD.
11. 已知椭圆 ， 、 分别为它的左、右焦点， 、 分别为它的左、右顶点，点 是椭圆上
的一个动点，下面结论中正确的有（ ）
A. 的最小值为 8
B. 的最小值为
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C. 若 ，则 的面积为
D. 直线 与直线 斜率乘积为定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】设点 ，则 ，利用平面向量的坐标运算以及模长公式可判断 A 选项；利用余
弦定理结合椭圆定义、基本不等式可判断 B 选项；利用三角形的面积公式可判断 C 选项；利用斜率公式可
判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，设点 ，则 ，且 ， 、 ，
，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 ，故 A 正确；
对于 B 选项，设 ， ，其中 ，
，当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 ，故 B 正确；
对于 C 选项，由 B 选项可知 ，可得 ，
所以， ，故 C 错误；
对于 D 选项，由题意可知 ，则 ，故 D 正
确.
故选：ABD.
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三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知圆 的方程为 ，则它的圆心坐标为__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】将圆的一般方程转化成标准方程即可得到答案
【详解】由 可得 ，所以圆心坐标为 ，
故答案为：
13. 点 在曲线 上运动，则 最大值为______
【答案】 ##
【解析】
【分析】结合已知消元得 ，再由 得 ，最后利用二次函数性
质求解最值.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以当 时， 最大值为 .
故答案为：
14. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ，P，Q 分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且
，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ，则 等于______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线的定义及勾股定理，利用椭圆和双曲线的离心率公式即可求解.
【详解】设椭圆长半轴为 ，双曲线实半轴为 ， ， 为两曲线在第一象限的交点，
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为两曲线在第三象限的交点，如图所示，
由椭圆和双曲线定义与对称性知 ， ， ，
，
，则 ，
，即 ，
于是有 ，则 ，
故答案为： .
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分）
15. 在 中，已知点 ， 边上的中线 所在直线的方程为 ， 边上的高所
在直线的方程为 .
（1）求直线 的方程；
（2）求点 坐标.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）先计算 ，过点 ，得到答案.
（2）联立直线方程： 解得答案.
【详解】解：（1）由 边上的高所在直线方程为 得 ，
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则 .
又∵ ，∴直线 的方程为 ，
即 （或 ）.
（2）因为 边上的中线过点 ，则联立直线方程： .
解得： ，
即点 坐标为 .
【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.
16. 已知双曲线 ： 的一条渐近线方程为 ，焦点到渐近线的距离为
1.
（1）求双曲线 的标准方程.
（2）已知斜率为 的直线 与双曲线 交于 轴上方的 A， 两点， 为坐标原点，直线 ， 的斜
率之积为 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据点到直线距离公式求出 ，再根据渐近线方程及 ，求出 ，
，得到双曲线方程；
（2）设出直线 ： ，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据直线 ，
的斜率之积为 ，列出方程，得到 ，得到直线方程，数形结合得到 的面积.
【小问 1 详解】
由题意知焦点 到渐近线 的距离为 ，则 ，
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因为一条渐近线方程为 ，所以 ，
又 ，解得： ， ，
所以双曲线 的标准方程为 ；
【小问 2 详解】
设直线 ： ， ， ，
联立 ，
则 ，
所以 ， ，
由
，
解得 或 （舍去），
所以 ， ，
： ，令 ，得 ，
，
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所以 的面积为 .
17. 如图，在正四棱柱 中，底面边长为 ， ， ， 分别为 ， 上的点，
且 ， ．
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量 ，即可得到 ，从而得证；
（2）求出平面 的法向量，利用空间向量法计算可得.
【小问 1 详解】
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
所以 ，所以 ，
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又直线 平面 ，所以直线 平面 ；
【小问 2 详解】
因为 平面 ，所以平面 法向量可以为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18. 已知曲线 C 的方程为
（1）判断曲线 C 的形状；
（2）设直线 与曲线 C 交于不同的两点 M，N，且 （O 为坐标原点），求曲线 C
的方程．
（3）已知点 ， ，若点 P 为（2）中所求曲线上一动点，且满足 ，求
的取值范围．
【答案】（1）曲线 是以点 为圆心，以 为半径的圆
（2）曲线 的方程为
（3）
【解析】
【分析】（1）把方程化为圆的标准方程，可得结论；
（2）由圆 过坐标原点，且 ，可得圆心 在 的垂直平分线上，从而求出 ，再判断
不合题意即可；
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（3）设 ，可得 ，又 ，即 ，可得 ，
把两式转化为圆与圆有公共点问题，即可得 的取值范围．
【小问 1 详解】
解：将曲线 的方程化为
可知曲线 是以点 为圆心，以 为半径的圆．
【小问 2 详解】
解：圆 过坐标原点，且 ，
圆心 在 的垂直平分线上， ， ，
当 时，圆心坐标为 ，圆的半径为 ，
圆心到直线 的距离 ，
直线 与圆 相离，不合题意舍去，
，这时曲线 的方程为 ．
【小问 3 详解】
解：设 ，由于点 在圆 上，所以 ①
若 ，则 ，即 ②，
要满足①②两式，即以 为圆心， 为半径的圆与圆 有公共点，所以
，所以 ，又 ，解得 .
19. 已知椭圆 ： 的焦距为 ，点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 方程；
（2）设直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点，且直线 ， ， 的斜率之和为
0.
①求证：直线 经过定点，并求出定点坐标；
②求 面积的最大值.
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【答案】（1） ；（2）①证明见解析；②1
【解析】
【分析】(1)由条件有 ，将点 代入椭圆方程结合 ，可求解椭圆方程.
(2) ① 设 点 ， ， 设 直 线 ， ， 的 斜 率 分 别 为 ， 由 条 件 有
，将直线方程与椭圆方程联立，将 ， 代入化简可得
，得到直线过定点.
②由①利用弦长公式可求出 ，再求出原点 到直线 的距离，则 的面积可表示出来，从而可
求其最大值.
【详解】解：（1）由题意可得 ，又由点 在椭圆 上，故得 ，
∵ ，解得 ， .
∴椭圆 的方程为 ；
（2）设点 ， .
联立 得 ，
∴ ，
化简得 ①， ②， ③
设直线 ， ， 的斜率分别为
直线 ， ， 的斜率之和为 0，∴ ，
即
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，
∴ ，又 ，∴ .
综上可得，直线 经过定点 .
②由①知 .
∴ ，
原点 到直线 的距离 .
∴ ，
∵ ，
当且仅当 ，即 取“ ”.
∴ ，即 面积的最大值为 1.
【点睛】本题考查求椭圆方程和证明直线过定点、求三角形的面积的最值，考查方程联立，利用韦达定理
的舍而不求的方法的应用，考查计算化简能力，属于难题.
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