重庆市2025_2026学年高二数学上学期周考八试题含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高二数学上学期周考八试题含解析，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 抛物线的焦点到准线的距离是
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】， ，所以抛物线的焦点到其准线的距离是，故选D.
2. 方程表示椭圆，则n的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用椭圆的标准方程即可求出参数范围.
【详解】由于方程表示椭圆，所以，
解得或．
故选：B．
3. “”是“直线和直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行的判定条件进行判断即可.
【详解】当时，两直线方程为和，
可见两直线斜率相等，且两直线不重合，所以两直线平行，
所以“”是“直线和直线平行”的充分条件；
若直线和直线平行，
若，则，解得.
当时，两直线方程为和，斜率相等，平行；
当时，两直线方程为和，斜率相等，平行；
若，两直线方程为和，两直线垂直，不平行；
所以若直线和直线平行，则或.
综上，“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：，将该渐近线与圆有公共点，转化为圆心到渐近线的距离小于或等于圆的半径，列出相应的关系式，求得双曲线的离心率的取值范围.
【详解】由，得.
记圆的圆心为，半径为.
设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：，即.
由题可知，，化简得：.
由，得.
化简，得，所以.
双曲线的离心率的取值范围为.
故选：B.
5. 设F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】设椭圆右焦点，利用椭圆的定义转化线段差为线段和，结合图形及点到线的距离公式计算即可.
【详解】由，，
设为该椭圆的右焦点，则，所以，
于是，
显然当，P，A三点共线，
且PA与直线垂直时，有最小值，
最小值为.
故选：A．
6. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，则直线与平面ACD1所成的角的正弦值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立恰当的空间直角坐标系，根据直线与平面所成角的向量求法求解.
【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则.
所以.
设平面ACD1的一个法向量为，
则，所以.
令，则.
.
所以直线与平面ACD1所成的角的正弦值是.
故选：C.

7. 已知分别为椭圆的左、右焦点，经过坐标原点的直线与交于，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程可得，结合椭圆定义可得，再利用余弦定理以及几何性质分析求解.
【详解】由椭圆方程可知：，即，
因为，且，可得，
在中，，
由椭圆性质可知：，即四边形为平行四边形，
所以.
故选：A.
8. 直线l过点且与椭圆相交于A、B两点，若线段的中点为M则直线l的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设点坐标，代入椭圆中，作差化简可得答案.
【详解】设 和 为直线与椭圆的交点，且 为 中点，因此：
，
点 和 满足椭圆方程：
，
将方程 (1) 减去 (2)：，
因式分解：，
代入中点坐标：，
得：，
整理得：，
因此，斜率 .
故选：B
9. 已知双曲线（，）的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据梯形中位线的性质，结合点到直线的距离公式可得，即可根据离心率求解.
【详解】由题意可得图象如图，是双曲线的一条渐近线，
即，，，，，
则四边形是梯形，F是的中点，
，，所以，
双曲线的离心率为，
可得，可得：，解得，
则双曲线的方程为．
故选：C．
10. 已知抛物线C：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则直线倾斜角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用条件求出点的坐标，然后利用两点的斜率公式求解直线的斜率，最后利用同角三角函数的关系求解倾斜角的正弦值即可.
【详解】已知抛物线，可得：抛物线焦点为，准线方程为，
因此可得：准线与轴的交点为.
不妨假设点在第一象限，由于，可得：直线的斜率为，
即，又，
联立，得：，即，
解得：或，
当时，，即，
设直线的倾斜角为，则，
由，且，又，得：.
当时，，即，
则，同理可得：.
综上所述可得：则直线倾斜角的正弦值为.
故选：A
二、多选题（30分）
11. 已知圆，直线，，则（ ）
A.
B. 与圆C相交
C. 若与圆C相交于A、B，则弦长的最大值为4
D. 与圆C相切，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用可判断A；求得直线过定点，判断点在圆内，进而可判断B；求得圆心到直线的最大距离，可求弦长判断C；利用圆心到直线的距离等于半径求得，进而可判断D.
【详解】∵，∴，故A正确．
∵，∴过定点，
∵，∴点P在圆内，∴与圆C相交，故B正确．
∵圆心，，∴圆心C到的距离的最大值为，
∴，∴，故C错误．
∵圆心到的距离，
若圆C与相切，则，即，，故D正确．
故选：ABD．
12. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ）
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C.
D. 点到平面的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
即异面直线与所成角的余弦值为，B正确；
对于C，由B知：，，
即，C错误；
对于D，由B知：，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
设点到平面的距离为，则，D正确.
故选：ABD.
13. 已知抛物线C：的准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作：的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A. 准线l与圆A相切
B. 过点F，A的直线与抛物线C相交的弦长为5
C. 当P，A，B三点共线时，
D. 满足的点P有且仅有2个
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，只需判断圆的半径是否等于1即可；对于B，联立直线的方程与抛物线方程，结合韦达定理，焦点弦公式即可判断；对于C，直接验算即可；对于D，联立直线的垂直平分线方程与抛物线方程，判断判别式是否大于0即可.
【详解】
对于A，抛物线的准线为，圆A的圆心在轴上，半径，准线l与圆A相离，A错误；
对于B，直线的方程为，代入得，
弦长为，B正确；
对于C，中，令得，故，显然⊥，
由勾股定理得，所以，C正确；
对于D，由抛物线的定义得，故满足要求的点在线段的垂直平分线上，
其中直线的垂直平分线方程为，代入得，
故点有且仅有2个，D正确．
故选：BCD.
14. 截口曲线是由平面截取圆锥和圆柱时形成的交线，其形状取决于截面与轴的夹角，当夹角变化时可得到不同的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与旋转轴的交点M距离圆锥顶点S长度为2，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（ ）
A. 若该截面与圆锥的一条母线夹角为60°，则该曲线为圆
B. 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该曲线的离心率为
C. 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则点M为该曲线的一个焦点
D. 若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该曲线上任意两点之间的最大距离为3
【答案】BD
【解析】
【分析】根据截面与母线所成的角可知截面与旋转轴垂直判断A，根据截面与圆锥的旋转轴夹角为60°可判断曲线为椭圆，利用长轴的性质判断D，建立平面直角坐标系，求出椭圆方程，求出焦点坐标及离心率判断BC.
【详解】对于A，当截面与圆锥一个轴截面的一条母线夹角为60°且与该轴截面的另一条母线平行线时，
所以所得曲线是不是圆，A错误；
对于BCD，根据圆锥曲线的概念可知截口曲线为椭圆，
若该截面与圆锥的旋转轴夹角为60°，则该截面与圆锥的一条母线垂直，
设与截面垂直的母线垂足为A，平面SAM交椭圆曲线的另一交点为B，
由对称性知AB为该椭圆的长轴端点．如图，
在直角三角形SAB中，由，，，
则有，，，，，
所以该曲线上任意两点之间的最大距离是长轴长，故D正确；
再过M作平面垂直于旋转轴，则可得该截面圆的半径，
在这个圆面内作MP垂直于平面SAB，交椭圆于点P，则，
如图，
在截面上取AB中点为坐标原点，方向为x轴正向，建立平面直角坐标系，
则，，，
由MP垂直于平面SAB知MP垂直于x轴，则，
设椭圆方程为，将代入得：，最后可得，
由于，所以不是椭圆的焦点，故C错误；
即椭圆离心率为，故B正确；
故选：BD
15. 如图，正方体中，为棱的中点，为平面上的动点，设直线与底面所成的角为，直线与底面所成的角为，平面与底面的夹角为，平面与底面的夹角为，则（ ）

A. 若，则点在圆上B. 若，则点在双曲线上
C. 若，则点在抛物线上D. 若，则点在椭圆上
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据线面角的定义和可推导得到，建立平面直角坐标系后，可整理得到点轨迹为圆，知A正确；由面面角定义和可推导得到，知B错误；由可推导得到，结合抛物线定义知C正确；由可推导得到，在平面直角坐标系中求得动点轨迹后可知D正确.
【详解】对于A，平面，平面，，，
，，又，，，
在平面中，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图平面直角坐标系，

设，，则，，
由得：，整理可得：，
点在圆上，A正确；
对于B，作，垂足为，作交于点；作，垂足为，作交于点；

平面平面，平面，平面与平面所成角即平面，平面与平面所成角，
即，，
，，又，
，点在的平分线上，B错误；
对于C，由AB知：，，又，
，即在平面中，点到定点的距离等于到定直线的距离，
点在抛物线上，C正确；
对于D，由AB知：，，又，
，
在选项A的平面直角坐标系中，设，则，，

，，
整理可得：，点在椭圆上，D正确.
故选：ACD.
三、填空题（20分）
16. 椭圆左、右焦点分别为为椭圆上一点，，则___________．
【答案】35
【解析】
【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可列得关于的方程，联立可得.
【详解】由题可知，.
所以，
化简得，所以.
故答案：35.
17. 已知椭圆，直线，则椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】方法一：当过点P的直线与直线l平行且与椭圆相切时，点P到直线l的距离取得最小值；方法二：应用三角换元设，再应用点到直线距离公式结合三角函数值域计算求解最小值即可.
【详解】方法一：设，即，
与椭圆C的方程联立，得．
，∴，
当时，点P到直线l的距离为，
即椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为．
方法二：设，
由点到直线距离公式
∵，∴
∴，∴．
故答案为：.
18. 已知椭圆C：，，是椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上的动点，若内切圆的面积为，则__________.
【答案】##0.6
【解析】
【分析】设.先求出内切圆的半径，并利用表示出的面积，在中，由余弦定理求出，并根据三角形面积公式列出等式，得到，结合求出即可.
【详解】设内切圆的半径为，则有，解得.
由椭圆C：可知.
设，在中，由余弦定理可知
，
即，
即，
即，所以.
因为的面积，
即，即，
解得①.因为②，且，
所以由①②解得，即.
故答案为：
19. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，P，Q分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线的定义及勾股定理，利用椭圆和双曲线的离心率公式即可求解.
【详解】设椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，为两曲线在第一象限的交点，为两曲线在第三象限的交点，如图所示，

由椭圆和双曲线定义与对称性知，，，
，
，则，
，即，
于是有，则，
故答案为：.
四、解答题
20. 已知四棱台，底面四边形为菱形， ，且侧棱 平面.
（1）证明： 平面；
（2）记，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）底面四边形为菱形，，则为的中点，可得，从而得到平面；
（2）取中点，可以得到以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，根据长度写出点的坐标，根据得到，从而得到，利用向量求出的坐标，求出平面的法向量和， 利用向量的数量积得到直线与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
，底面四边形为菱形， ，
，则，设，连接，
底面四边形为菱形，
为的中点，
，
，
，
平行四边形，
，
平面，平面，
平面；
【小问2详解】
底面四边形菱形， ，
是等边三角形，
取中点，连接，则，
，
，
平面，
以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，
，，，，，
，，
，
，
，
，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，，
，，
设平面的法向量为，
，则，取，解得，，
则，，
，，，，
设直线与平面所成的角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值.
21. 已知双曲线：的左、右顶点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点（点在轴上方）．
（1）若，求直线的方程；
（2）设直线的斜率分别为，，证明：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由可得与之间的关系，将代入双曲线方程可求得点坐标，进而求得，由此可得所求直线方程；
（2）设直线的方程为，代入双曲线方程可得韦达定理的形式，利用坐标表示出，整理可得，由可化简得到定值.
【详解】（1）设点，，
由，可得：，即，
将，代入双曲线方程得，
消去，解得：，
又点在轴上方，点在轴下方，，
，，
直线的方程为.
（2）过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，，
可设直线的方程为，，，
联立方程，消去整理得：，
则，解得：，
，，
又，，，，
，
又，
，即为定值.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；
④化简所得函数式，消去变量可得定值.
22. 在平面直角坐标系xOy中， 已知点，，动点满足直线AW 与BW 的斜率之积为．记W的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）已知直线l与C交于M，N两点，与圆交于P，Q两点，若不重合的两条直线与分别平分线段MN，PQ．
①求证：为定值；
②已知直线与曲线C交于E，G两点，与曲线C交于D，F两点，，求四边形EFGH面积的最大值．
【答案】（1）曲线C是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）利用斜率公式计算化简即可得解；
（2）①设出直线，由垂径定理可得直线l与垂直，即可表示出，再借助点差法计算可得，即可得证；②由题意可得，则可得，从而可通过基本不等式得到的最大值后得解.
【小问1详解】
直线AW的斜率为，直线BW 的斜率为，
由题意可知：，∴，∴，
所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左右两顶点的椭圆，
其方程为；
【小问2详解】
①如图1，由于直线平分直线l与圆O的交线段，

所以直线l与垂直，设直线，则．
设，，则，
于是，
即，由于，，
则，又，则，得证；
②由题意，因为，则，如图2，连接DG，ED，
则，

则，
令，得，
则直线与椭圆相交所得弦长为，
同理可得直线与椭圆的一个交点坐标为，不妨记为点D，
则D到直线的距离，
所以，
由题意可知，则
，
当且仅当时，取等号，
所以四边形EFGH面积的最大值.