重庆市2025_2026学年高一数学上学期周考八试题含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期周考八试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由指数函数单调性及对数函数单调性解不等式，再由交集运算即可.
【详解】由 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
2. 的反函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据指数函数与对数函数的关系，可得函数 的反函数为 .
故选：B.
3. “ ”是“ ”（ ）
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】首先解对数不等式和指数不等式，即可得到答案.
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【详解】 ， ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：D
4. 函数 与 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用指数函数及对数函数图象结合定点及单调性排除判定选项即可.
【详解】∵函数 为减函数，且其图象必过点 ，∴排除 A、D．
∵ 的图象是由 的图象上移 1 个单位得到的，
因此 为增函数，且图象必过点 ，∴可排除 C．
故选：B．
5. 若 为奇函数，则 的单调减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用奇函数的性质求出 ，再根据复合函数单调性求解即可.
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【详解】因为 为奇函数，且定义域为 ，
所以 ，解得 ，当 时， ，满足题意，
则 （ 或 ），
因为二次函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 在其定义域上单调递增，
所以复合后， 的单调递减区间为 ，
故选：B
6. 设 ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为 在 上递增，且 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为 在 上递增，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：D
7. 若 ，且 ，则
A. B.
C. D. ， 的大小关系与 有关
【答案】A
【解析】
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【分析】先移项,再利用函数 上单调递增，即可判断 与 大小关系.
【详解】∵ ，∴ ．
∵ ，∴ 在定义域为增函数， 在定义域为减函数，
∴ 在定义域为增函数，∴ ．故选 ．
【点睛】本题主要考查指数函数 与对数函数 的单调性;利用函数 的单调
性来比较不等式大小是求解本题关键;属于中档题;
8. 已知函数 在区间 上的值域为 .若 ，则 的值为（
）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得函数 在 上递增，利用 可得 的值.
【详解】解法 1：因为 ，
所以 ，
所以 关于 对称.
因为 ，函数 在区间 上的值域为 ，所以 .
解法 2：因为 在 上递增，
所以 .
解法 3：取 ，因为 在 上递增，
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所以 .
故选 D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项是符
合题目要求的.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 以下运算中正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据对数运算判断 A；根据根式性质以及指数运算判断 B；指数和对数的运算判断 C；对数的运算
性质和换底公式判断 D.
【详解】对于 A， ，故 A 正确；
对于 B， ， ，故 B 错误；
对于 C， ，故 C 正确；
对于 D， ，故 D 正确，
故选：ACD.
10. 下列命题，其中正确的命题是（ ）
A. 函数 的最大值为
B. 若 ，则 的值为
C. 函数 的减区间是
D. 已知 在 上是增函数，若 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，利用指数函数单调性即可求得；对于 B，运用指对数互化和换底公式，以及对数运算性质
可得；
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对于 C，利用复合函数单调性即可判断；对于 D，利用函数单调性的应用即可推得.
【详解】对于 A，因 ，
因为函数 为减函数，故得 ，即 A 正确；
对于 B，由 ，可得
则 ，故 B 正确；
对于 C，由 ，可得 ，解得 ，
即函数的定义域为 ，
设 ，显然该函数在 上单调递增，在 上单调递减，
而 在定义域上为增函数，
故函数 的减区间为 ，即 C 错误；
对于 D，因为 在 上是增函数，由 可得 ，则 ，
因 ，则 ，故得 ，即 D 正确.
故选：ABD .
11. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数
，双曲余弦函数 ，双曲正切函数 ，且当 时有
，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 的值域为
C. ，则
D. ，则
【答案】ABD
【解析】
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【分析】直接验证 A 选项即可；求得 ，结合指数函数的基本性质可求得 的值域，
可判断 B 选项；分析函数 的单调性与奇偶性，解不等式 可判断 C 选项；当
时，由 化简得出 ，由此可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，
，A 对；
对于 B 选项， ，
因为 ，则 ，故 ，故 ，
即函数 的值域为 ，B 对；
对于 C 选项，对任意的 ， ，故函数 的定义域为 ，
，即函数 为奇函数，
任取 、 ，且 ，则 ，
所以 ，
即 ，故函数 为 上的增函数，且为奇函数，
由 可得 ，
故 ，解得 ，C 错；
对于 D 选项， ，
当 时，由 整理可得 ，
即 ，故 ，D 对.
故选：ABD.
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 且 ，若函数 的图象经过定点，则定点坐标______．
【答案】
【解析】
【分析】根据 求函数图象经过的定点坐标.
【详解】由 ，此时 .
所以函数 的图象过定点 .
故答案为：
13. 已知函数 ，若 的值域为 R，则实数 k 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对数函数的图象性质，可得二次函数 值域包含正实数集，进
而列式求解.
【详解】由函数 的值域为 R，得 的值域包含 ，
当 时， 不满足题意；
则函数 是二次函数，其图象开口向上，且与 轴有公共点，
于是 ，解得 ，所以实数 k 的取值范围是 .
故答案为：
14. ， 记 表 示 二 者 中 较 大 的 一 个 ， 函 数
，若 ， ，使 成立，则 的
最大值为________.
【答案】
【解析】
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【分析】先求得 的解析式，求得 在区间 的值域并画出对应区间的图象，
【详解】 在 上单调递减， 在 上单调递增，
当 时， ，
所以 ，
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
所以当 时， ，即 在区间 上的值域为 .
，
令 ，得 ，
解得 或 ，画出 的图象如下图所示，
要“ ， ，使 成立”，
等价于 在 上的函数值域是 在 上的值域的子集，
所以 ，
所以 的最大值为 .
故答案 ：
【点睛】方法点睛：画形如 的图象，主要是通过图象变换的方法来进行，如
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是 向右平移 个单位所得；如 是 向左平移 个单位所得.
口诀是：左加右减.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ##0.5
（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数式的性质和运算法则求解；
（2）利用对数的性质和运算法则求解.
【小问 1 详解】
【小问 2 详解】
=
=
=
=
16. 已知函数 .
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
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【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由对数的运算化简，再令 进行换元，转化为二次函数的值域性问
题；
（2）根据对数运算性质，不等式转化 ，再分 、 进行讨论，结合参变分
离及函数单调性即可求解.
【小问 1 详解】
，
令 ， ，
则 ，
所以函数 的值域为 .
【小问 2 详解】
，
令 ，
则不等式化为 在 上恒成立，
时， 成立，
时， ，
又 在 上单调递减，
所以 .
综上， .
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17. 已知函数 是奇函数．
（1）求 的值并判断 的单调性；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）设 ，若 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ，函数 在 R 上为增函数
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数定义计算求参，再结合指数函数单调性得出单调性即可；
（2）先根据函数单调性得出 在 时恒成立，再结合基本不等式计算求解；
（3）先根据题意把存在及恒成立转化为 ，再分 ， ， 分别讨论列
式计算求参.
【小问 1 详解】
若 为奇函数，则 ，
即 ，
，则 ，
，解得： ．
又函数 在 R 上是增函数，函数 在 R 上是减函数，
因此函数 在 R 上为增函数．
小问 2 详解】
由题意得 在 时恒成立，
因为 是 R 上单调递增的奇函数，
所以 ，即 在 时恒成立，
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得到 ，且令 ，即 在 时恒成立，
又 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，故 ，即 ．
【小问 3 详解】
由题意 ，使得 ，所以 ，
因为 ，由（1）可得 ，
因为 的对称轴为直线
①当 时， 在区间 上单调递增，所以
由 ，得 ，所以 ；
②当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ，则 ，所以 ；
③当 时， 在区间 上单调递减，所以 ，
由 ，得 ，所以 ；
综上所述，满足题意的实数 的取值范围为 ．
18. 已知函数 是偶函数，其中 为实数.
（1）求 的值；
（2）若函数 ，是否存在实数 ，使得 的最小值为 0？若存
在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；
（2）存在 .
【解析】
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【分析】（1）根据偶函数性质得到恒等式，求参数值即可；
（2）由题设有 ，应用换元法，令 且 ，结合二次函数性质，讨论对称
轴与区间 位置研究最小值，即可得参数值.
【小问 1 详解】
因函数 （ ）是偶函数，
故
，
因 且不恒为 0，故 ，得 .
【小问 2 详解】
由（1），得 ，
则 ，
设 ，因 ，则 ， ，其对称轴为 ，
①当 时， 在区间 上单调递减，则 ，解得 ，不符
题意，舍去；
②当 时， 在区间 上先减后增，故 ，解得 ，故
；
③当 时， 在区间 上单调递增，则 ，解得 ，不符题意，
舍去.
故存在 ，使得 的最小值为 0.
19. 已知函数 （ ，且 ）过点 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 为 的反函数，且 在 上单调递减，求 的取值范围；
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（3）若函数 ，其中 为奇函数， 为偶函数，已知函数 ，对于任
意 ，都存在 ，使得等式 成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把点 代入解析式即可求得结果；
（2）利用反函数概念求出 的解析式，根据复合函数单调性可求得参数 的取值范围；
（3）根据条件求出 和 的解析式，将问题转化为 在 上恒成立，
再利用换元法并分离参数结合基本不等式即可求得结果.
【小问 1 详解】
函数 过点 ，可得 ，
解得 ，
故函数 的解析式为 ，
【小问 2 详解】
因为函数 为 的反函数，所以 ，
易知 在 上为单调递减函数，
又 在 上单调递减，所以函数 在 上单调递增，
因此 ，解得 ；
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所以 的取值范围为 ；
【小问 3 详解】
因为 ，所以 ；
由 为奇函数， 为偶函数可知 ，
可得 ；
又 ，对于任意 都有 ，
因为对于任意 ，都存在 ，使得等式 成立,
所以 在 上恒成立，
因为 在 上单调递减， 在 上单调递增，
即 在 上单调递减，所以 ；
令 ，
则 ，
等价成 在 上恒成立，
可得 ，因此 ；
又 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
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即 ，
因此实数 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：解决第（3）问的关键是把问题转化为 在 上恒成立，
令 ，则 ，分离参数可知 在 上恒成立，由基本不等式
计算可得结果.
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