重庆市2025_2026学年高二数学上学期期中测试试题含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高二数学上学期期中测试试题含解析，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题.每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知直线 l 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若直线 平面 ，则
（ ）
A. 3 B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明列式求解.
【详解】直线 l 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，
由直线 平面 ，得 ，则 ，即 ，所以 .
故选：C
2. 已知直线过点 且与直线 垂直，则该直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用直线垂直的性质设出直线方程，再代入点求解参数即可.
【详解】设与直线 垂直的直线方程为 ，
将点 代入，可得 ，解得 ，
可得所求直线方程为 .
故选：D
3. 一条光线从点 射出，经过直线 反射后恰好平分圆 的周长，则入射光
线所在直线的方程为（ ）
第 1页/共 22页
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先圆 的圆心为 ，再求圆心关于 对称的点，最后由直线方程的点
斜式即可求解.
【详解】由题意有：圆 的圆心为 ，
所以反射光线经过圆心 ，
又因为点 关于直线 对称的点为 ，
即入射光线所在直线经过 ，
所以 ，所以 ，
所以入射光所在直线的方程为 ，
故选：B.
4. 如图，空间四边形 中， ， ， ，点 在 上，且满足 ，点
为 的中点，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
第 2页/共 22页
【分析】利用空间向量线性运算进行求解．
【详解】由题意
，
又 ， ， ， ．
故选：B
5. 已知点 在圆 外，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将圆化成标准形式，确定圆心和半径，结合点在圆外及两点距离公式列不等式求参数范围.
【详解】由圆 ，则圆 ，
所以 ，半径为 ，且 或 ，
由点 在圆 外，则 ，
所以 ，可得 ，
综上， 或 .
故选：D
6. 已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，若 ，
且 的面积为 ，则 的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
第 3页/共 22页
【分析】利用三角形面积公式及已知可得 ，再由余弦定理求得 ，最后由椭圆
参数关系求参数，即可得解.
【详解】由题设 ，
可得 ，又 为上顶点，则 ，
故 ，
所以 ，则 ，故标准方程为 .
故选：A.
7. 若空间向量 、 满足 ，则 在 方向上投影向量的长度的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由空间向量数量积的运算性质可得出 ，利用投影向量的定义结合基本不等式可求
得 在 方向上投影向量的长度的最小值.
【详解】因为空间向量 、 满足 ，
所以 ，故 ，
故 在 方向上的投影向量为 ，
故 在 方向上投影向量的长度为
，
第 4页/共 22页
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 在 方向上投影向量的长度的最小值是 .
故选：B.
8. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）是一种用于衡量两个点在空间中距离的度量方式.它的名称来源于纽约
曼哈顿的网格状街道布局：在这种布局下，从一个点到另一个点需要沿着街道行走（只能沿水平或垂直方
向移动），而不能走对角线，故曼哈顿距离又称城市街区距离.已知点 ， ，定义 ， 两
点间的曼哈顿距离 .在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点 满足
，动点 满足 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 根 据 题 设 新 定 义 分 别 确 定 、 的 轨 迹 ， 数 形 结 合 得 到 ， 进 而 有
，分析 对应 的位置，即可得.
【详解】令 ，且 ，则 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
由 ，交点为 ，
由 ，交点为 ，
由 ，交点为 ，
第 5页/共 22页
由 ，交点为 ，
所以 是正方形 各边上运动的动点，
由 满足 ，即 在以原点为圆心，1 为半径的圆上，
所以 ，则 ，如下图示，
由图知， 与原点的距离最大时，一定在线段 上，
又 ，且 到直线 的距离 ，
所以 ，故 ，
当且仅当 重合，且 共线， 在 的两侧时取得最大值.
故选：A
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知直线 ，则下列表述正确的是（ ）
A. 当 时，直线的倾斜角为 135°
B. 当实数 变化时，直线 恒过点
C. 原点到直线 的距离最大值为
D. 当直线 与直线 平行时，则两条直线的距离为 1
【答案】BC
【解析】
第 6页/共 22页
【分析】A 求出直线斜率，即可判断；B、C 将直线方程整理为 ，由此得直线所过定
点，进而确定原点与直线距离的最大值判断；D 由题可得 ，后由平行直线距离公式可判断.
【详解】A：当 时，直线方程为 ，可得直线斜率为 1，则倾斜角为 45°，错误；
B：由题可得 ，则直线过定点 ，正确；
C：因为直线 恒过点 ，故原点到直线 的距离 ，当且仅当 时
取等号，正确；
D：因直线 与直线 平行，则 ，得 ，则直线方程为 ，
即 .
则 与直线 之间的距离为 ，错误.
故选：BC
10. 已知点 ， ，动点 满足 ，则下面结论正确的为（ ）
A. 点 的轨迹方程为 B. 面积的最大值为 4
C. 点 到点 的距离的最大值为 6 D. 的最大值为 18
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知条件求出点 的轨迹方程，再根据轨迹方程分别分析 面积的最大值、点 到点 的
距离的最大值以及 的最大值.
【详解】设点 ，已知 ， ，且 ，
可得： ，
两边同时平方可得： 即 ，
第 7页/共 22页
化简可得： ，
配方可得： ，所以点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，A 正确；
已知 ， ，则 ，
因为点 在圆 上，所以点 到 轴的最大距离就是圆的半径 ，
根据三角形面积公式 可得 面积的最大值为： 所以 B 错误；
点 ，圆心 ，则 ，
因为点 在圆上，所以点 到点 的距离的最大值为 ，C 正确；
设点 ，则 ， ，
所以 ，
因为 ，即 ，
代入上式可得： ，
因 点 在圆 上，所以 ，
当 时， 取得最大值，最大值为 ，D 正确；
故选： ACD.
11. 在棱长为 的正方体 中，点 在底面 内运动（含边界），点 是棱 的中
点，则（ ）
A. 若 是棱 的中点，则 平面
B. 若 平面 ，则 是 上靠近 的四等分点
C. 点 到平面 的距离为
D. 若 在棱 上运动，则点 到直线 的距离最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用面面平行证明线面平行，判断 A.；建立空间直角坐标系，利用向量法判断线面垂直判断 B，
第 8页/共 22页
利用等体积法求得点到直线的距离 C，利用向量法求得点到直线的距离判断 D.
【详解】对于 A，如图，取 的中点 ，连接 、 ，
因为点 、 是 、 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理 ，且 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
且 ， 、 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，A 对；
对于 B，若 是 上靠近 的四等分点，
以 为坐标原点， 、 、 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
， ，
所以 ， ，且 ， 、 平面 ，
所以 平面 ，且过点 只有 条直线和平面 垂直，
则点 是唯一的，点 是 上靠近 的四等分点，故 B 正确；
对于 C，因为 是棱 的中点，所以点 到平面 的距离为 点到平面 的距离的 ，
第 9页/共 22页
由题意可得 是等边三角形，且 ，设 点到平面 的距离为 ，
由 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以点 到平面 的距离为 ，C 错；
对于 D，若点 在棱 上运动，设 ， ，
， ，
则点 到 距离 ，
当 时， 的最小值为 ，D 对.
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填写在答题卡相应位置上.
12. 已知圆 和圆 ，则圆 与圆 的公切线有
______条.
【答案】
【解析】
【分析】先判断两圆的位置关系，得到公切线的条数即可
【详解】由题意得圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
的圆心坐标为 ，半径为 ，
则圆心距为 ，
故两圆外切，则两圆的公切线的条数是 3 条，
故答案为：3
13. 若直线 与曲线 有一个交点，则实数 的取值范围是 _______．
第 10页/共 22页
【答案】
【解析】
【详解】由 可得 ，得 ，
所以曲线 表示圆 的上半圆，
直线 表示过点 且斜率为 的直线，如下图所示：
当直线 与半圆 相切且切点位于第二象限时，
则 ，解得 ；
当直线 过点 时，则 ，解得 .
又 与圆相切，
由图可知，直线 与曲线 有一个交点，
则实数 的取值范围是
14. 已知 是椭圆 的左焦点，过点 的直线 与圆 交于 ， 两点，
与 在 轴右侧交于点 ，且 ，则 的离心率为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】设椭圆的右焦点为 ， 的中点为 ，连接 ，设
第 11页/共 22页
，表示出 ， ，再由三角形的中位线定理得 ，然后在
中利用勾股定理列方程求得 ，再在 中列方程化简可求出离心率.
【详解】设椭圆的右焦点为 ， 的中点为 ，连接 ，则 ， ，
因为 ，所以 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 ‖ ， ，
所以 ，
设 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
在 中，由 ，得 ，
化简整理得 ，解得 或 ，
当 时， ，不合题意，舍去，
所以 ，
所以 ，
在 中，由 ，得 ，
则 ，得 ，
即 的离心率为 .
故答案 ：
第 12页/共 22页
【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的定义的应用，解题的关键是取 的中点
为 ，由已知条件结合圆的知识得 为 的中点，再应用三角形中位线定理和勾股定理求解，考查数
形结合的思想和计算能力，属于较难题.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线 与直线 的交点为 .
（1）若直线 经过点 ，且斜率为 2，求直线 的方程.
（2）求过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）联立方程组求得交点坐标，再由点斜式得直线方程，然后整理成斜截式；
（2）根据截距是否为 0 分类讨论可得.
【小问 1 详解】
联立 ，解得 ，
点 的坐标为
直线 经过点 ，且斜率为 2，
直线 的方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
设所求直线为 ，
第 13页/共 22页
①当直线 在两坐标轴上的截距不为 0 时，
设直线方程为 ，由 ，解得 ，
直线 的方程为 ，化简为 ；
②当直线 在两坐标轴上的截距为 0 时，
设直线方程为 ，由 ，解得 ，
直线 的方程为 ，化简为 ，
综上，所求的直线方程为 或 .
16. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
.
（1）求点 A 到平面 的距离；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用
点到平面的距离公式进行求解；
（2）求出两个平面的法向量，利用向量夹角余弦公式进行求解.
【小问 1 详解】
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
又 ，所以 两两垂直，
第 14页/共 22页
以 坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
， ，
故 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，故 ，
所以点 A 到平面 的距离 ；
【小问 2 详解】
，
显然平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，故 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
第 15页/共 22页
17. 已知圆 ，过直线 上一动点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， .
（1）若直线 的斜率为 ，求两条切线的斜率；
（2）当 取最小值时，求四边形 的周长；
（3）证明：直线 过定点.
【答案】（1） 和 0
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设出切线方程，利用点到切线的距离等于半径可求答案；
（2）利用四边形的面积把条件转化为 取最小值时，求周长，结合图形可得答案；
（3）利用四点共圆求出 所在圆的方程，得出直线 的方程，可得定点.
【小问 1 详解】
由已知得圆 的圆心为 ，半径为 1，
则直线 的方程为 ，令 ，得 ，所以 .
设切线方程为 ，即 .
圆心 到切线的距离 ，解得 或 ，
所以两条切线的斜率分别为 和 0.
【小问 2 详解】
由题意知 与 全等，所以 ，
又 ，所以 .
所以当且仅当 取最小值时， 取最小值.
而 ，即要求 的最小值.
当取 时， 取最小值 3，此时 ，
第 16页/共 22页
此时四边形 的周长为 .
【小问 3 详解】
因为 ， ，所以 ， ， ， 四点都在以线段 为直径的圆上.
设 ，因为 ，
所以以线段 为直径的圆的方程为 .
即 ，又圆 ，
两式作差，得直线 的方程为 .
令 ，得 ，
即直线 经过定点 .
18. 立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍
甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图 1， 分别是边长为 4 的
正方形三边 的中点，先沿着虚线段 将等腰直角三角形 裁掉，再将剩下的五边形
沿着线段 折起，连接 就得到了一个“刍甍”（如图 2）.
（1）若 是四边形 对角线的交点，求证： 平面 ；
（2）若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成的二面角的正切值为
？若存在，求出点 的位置，若不存在，请说明理由.
第 17页/共 22页
【答案】（1）证明见解析；
（2） ；
（3）存在，当 与 点重合时，平面 与平面 所成 二面角的正切值为 .
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，由题意可得四边形 为平行四边形，再由线面平行的
判断定理即可得证；
（2）以 为坐标原点， 分别为 轴， 轴正向，建立空间直角坐标系 ，利用空间向量求
解即可；
（3）假设存在满足条件的点 ，设 ，利用空间向量求出 的值即可.
【小问 1 详解】
取 中点 ，连接 ，
由题意可知 且 ，
又因为 是矩形 对角线的交点，
所以 且 ，
所以 且 ，
则四边形 为平行四边形，
所以 且 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
【小问 2 详解】
因为在图 1 中 ，且 ,
第 18页/共 22页
在图 2 中上述关系依然成立，
所以 即为二面角 的平面角，则 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴， 轴正向，垂直平面 向上方向为 轴，
建立空间直角坐标系 ，如图所示：
则 ，
，
所以 ，
又因为 ， 平面 ，所以 ，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，则有 ，
取 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
【小问 3 详解】
假设存在满足条件的点 ，
设 ，所以 ，
则 ，
第 19页/共 22页
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
所以 ，取 ，
由（2）知平面 的一个法向量 ，
则 ，
要使平面 与平面 所成的二面角的正切值为 ，
则只需 ，即 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以当 与 点重合时，平面 与平面 所成的二面角的正切值为 .
19. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
（1）求曲线 的方程；
（2）若直线 被曲线 所截的弦长为 ，求 的值；
（3）若点 为曲线 的右顶点，过点 （不同于点 ）且斜率不为 0 的直线 与曲线 相交于
两点（点 在 之间），若点 为线段 上的点，满足 ，且
，求 的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
第 20页/共 22页
【分析】（1）根据题意列出关于 的方程组，求出 即可求解；
（2）联立直线与椭圆方程，应用韦达定理及弦长公式列等式即可求解；
（3）设出直线 的方程，联立直线 与椭圆方程，并应用韦达定理写出根与系数关系，再根据题给条件写出
点 坐标与 的关系，得到关于 的方程，即可求解.
【小问 1 详解】
根据题意可知 ，所以 ，
所以曲线 的方程为 .
【小问 2 详解】
设直线与曲线 的两交点的坐标分别为
联立 ，可得 ，
所以 ，
所以弦长为
，
化简得 ，
即 ，得 ，所以 的值为 .
【小问 3 详解】
第 21页/共 22页
设 ，直线 的方程为 ，
联立 得 ，
所以 ，
设点 ，因为 ，可得 ，
则 ，得 ，故 ，
又因为 ，则 ，可得 ，
所以 ，可得 ，
得 或 （舍），所以 .
第 22页/共 22页