重庆市2025_2026学年高二数学上学期周考十试题11.23含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高二数学上学期周考十试题11.23含解析，共26页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知实数 成等比数列，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设公比，利用等比数列的性质及等比中项得到方程，求出 .
【详解】设等比数列的公比为 ，则 ，且 ，解得 .
故选：C
2. 设各项均为正数的等比数列 满足 ，则 等于（ ）
A. B. C. 11 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】等比数列中若 ， ，则 ，先根据性质求出 的值，最
后运用对数性质计算即可.
【详解】在等比数列 中， ，得 .
根据等比数列性质， .
所以
， .
故选：C.
3. 已知椭圆 的中心为原点，焦点为 ， ，以 为圆心， 为半径的圆交椭圆 于
、 两点，且 ，则椭圆 的方程是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接 、 ，即可得到 为等边三角形，从而得到 点在椭圆的短轴的顶点，又
， ，再求出 ，即可得解.
【详解】连接 、 ，根据对称性可知 ，
又 ，所以 为等边三角形，即 ，
所以 点为椭圆的短轴的顶点，
又 ，所以 ，则 ，
所以椭圆方程为 .
故选：C
4. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合等差数列求和公式可推导证得数列 为等差数列，进而求得等差数列 的公差，根据
等差数列通项公式可求得结果.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
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则 ，
数列 是公差为 的等差数列， ，解得： ，
.
故选：D.
5. 已知 为等比数列 的前 项和， ， ，则 （ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列前 n 项和的性质，结合等比中项的应用计算即可求解.
【详解】由题意知， 为等比数列 的前 n 项和，
则 成等比数列，
由等比中项，得 ，
即 ，解得 或 （舍去）.
故选：C
6. 已知 M，N 是椭圆 上关于原点对称的两点， 是椭圆 的右焦点，则 的
取值范围为（ ）
A. [51,76] B. [52,76] C. [64,80] D. [68,80]
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 由 是 左 焦 点 ， 连 接 ， 利 用 椭 圆 对 称 性 及 定 义 ， 将 目 标 式 化 为
，结合 及二次函数性质求范围.
【详解】若 是左焦点，连接 ，又 关于原点对称，
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所以 为平行四边形或 为左右顶点，则 ，
由 ，则 ，
故 ，则
，开口向上且对称轴为 ，又 ，
所以 .
故选：C
7. 已知等差数列 的项数为 其中奇数项之和为 偶数项之和为 则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列的性质，知等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，故奇数项、偶数项的和直
接代入等差数列的前 项和公式，结合等差中项的性质化简即可.
【详解】项数为 的 中奇数项共有 项,
其和为
项数为 的 中偶数项共有 项, 其和为
所以 解得
故选: A.
8. 已知 O 为坐标原点，双曲线 C: 的左、右焦点分别是 F1，F2，离心率为 ，
点 是 C 的右支上异于顶点的一点，过 F2 作 的平分线的垂线，垂足是 M， ，若
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双曲线 C 上一点 T 满足 ，则点 T 到双曲线 C 的两条渐近线距离之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程，
再设 ，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和.
【详解】
设半焦距为 c，延长 交 于点 N，由于 PM 是 平分线， ，
所以 是等腰三角形，所以 ，且 M 是 NF2 的中点.
根据双曲线的定义可知 ，即 ，由于 是 的中点，
所以 MO 是 的中位线，所以 ，
又双曲线的离心率为 ，所以 ， ，所以双曲线 C 的方程为 .
所以 ， ，双曲线 C 的渐近线方程为 ，
设 ，T 到两渐近线的距离之和为 S，则 ，
由 ，即 ，
又 T 在 上，则 ，即 ，解得 ， ，
由 ，故 ，即距离之和为 .
故选：A.
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【点睛】由平面几何知识， ，依据双曲线 定义，可将 转化为用 a 表示，进而的双
曲线的标准方程.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，多项符合题目
要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列 是递增数列 B.
C. 当 取得最大值时， D.
【答案】CD
【解析】
【分析】设出公差，利用等差数列求和公式得到 ， ， ， ，从而对
选项一一判断，得到答案.
【详解】ABD 选项，设 的公差为 ，
，故 ，
，故 ，
所以 ，且 ， ，即 是递减数列，AB 错误，D 正确.
C 选项，由于 是递减数列， ， ，故当 取得最大值时， ，C 正确.
故选：CD
10. 已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过坐标原点 的直线 与双曲线 的左､右两支
分别交于 两点， 为 的右支上一点（异于点 ）， 的内切圆圆心为 .则以下结论正确的是
（ ）
A. 直线 与 的斜率之积为 4
B. 若 ，则
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C. 以 为直径的圆与圆 相切
D. 若 ，则点 坐标为
【答案】BC
【解析】
【分析】由题意设点 , ， , ， , ，把点 ， 坐标代入双曲线的方程，两式相减得
，即可判断 A；利用余弦定理，结合；记 ，则双曲线定义即可判断 B，由于 ，
利用勾股定理以及双曲线定义，结合等面积法进而可求内切圆半径，利用切线长的性质即可求解 C；画出
图形，利用 是线段 的中点，结合双曲线的性质以及定义，转化推出以 为直径的圆与圆
的位置关系即可判断 D．
【详解】设点 , ， , ， , ，
则 且 ，两式相减得 ， ，
，故 A 错误，
由于 ， ，若 ，
由 余 弦 定 理 可 得
，
解得 ，由于 ，故 ，故 B 正确，
在双曲线右支上， ，
是线段 的中点， ，
是线段 的中点， ，
， ， ，
即圆心距等于两圆的半径之差，
以线段 为直径的圆与圆 的位置关系是内切，故 C 正确．
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记 ，则 ， ， ，
解得 或 （舍去）， ，
的面积为 ，
设三角 的内切圆半径为 ，则 ，所以 ，
设圆 与 三边相切于 ，则
设 则
故 ， 解 得 ， 所 以 ,故 或
,D 错误，
故选：BC．
11. 在边长为 2 的等边三角形 纸片中，取边 的中点 ，在该纸片中剪去以 为斜边的等腰直
角三角形 得到新的纸片 ，再取 的中点 ，在纸片 中剪去以 为斜边的等腰直角三
角形 得到新的纸片 ，以此类推得到纸片 ， ，……， ，……，设 的周长为 ，面
积为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
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【解析】
【分析】画出图形依据裁剪规律可得 比 多了两条边 ，少了线段 ，即可得
到 ， 即 A 正 确 ， 比 少 了 一 个 以 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 可 得
，C 错误；再分别利用 A 和 C 中的结论，由累加法计算可得 BD 正确.
【详解】根据题意可知，如下图所示规律：
对于 A，易知 比 多了两条边 ，少了线段 ；
由 ，
可得 ，故 A 正确；
对于 B，利用 A 中结论由累加法可得，
当 时， ，又 ，
所以
，显然当 时， 也符合上式，即 B 正确；
对于 C， 比 少了一个以 为斜边的等腰直角三角形，
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所以 ，即 C 错误；
对于 D，利用 B 中结论由累加法可得，
当 时， ，又
，
所以 ，显然当 时， 也
符合上式，即 D 正确；
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于由裁剪规律得出 以及 之间的递推规律，再利用累加法
由等比数列前 项和公式即可求得结果.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本大题 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．各题答案必须填写在答题卡上相应位
置（只填结果，不写过程）．
12. 已知等比数列 为递增数列，且 ， ，则 __________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意分析可知 ， ，可得 ， ，结合等比数列的性质分析求解
.
【详解】因为递增的等比数列 中， ， ，且 ，
可知 和 是一元二次方程 的两个根，
且 ，解得 ， ，
可得 ，所以
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故答案为：2.
13. 已知正项数列 满足 ，且 ，则 _____．
【答案】27
【解析】
【分析】首先由递推关系式得出 是以 为首项，3 为公差的等差数列，再代入 ，结合 ，
即可求出 ，最后利用等差数列的通项公式即可求得答案.
【详解】由 ， ，①
，②
② ①得 ，即 ，
所以 是以 为首项，3 为公差的等差数列，
令 ，得 ，又 ， ，
所以 ，解得 ，
.
故答案为：27.
14. 过抛物线 的焦点 的直线交 于 ， 两点， ， 是 的准线 上两点，以 为直径
的圆与 切于点 ，且以 ， ， ， 为顶点的四边形的面积为 64，则直线 的斜率为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用抛物线的定义和性质，证明 ， ，再联立抛物线与过焦点的直线 ，利用根与
系数的关系求出直线 的斜率.
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【详解】
设抛物线的准线 与 轴交于一点 ，过 作 于一点 ，
过 作 于一点 ，连接 ， ，
由抛物线的定义知， ， ，
， ，
又 ， ， ，
因此， ， ，
又 ，
则 ，
设 的中点为 ，则 ，因此 ，
，即 ，
因此以 为直径的圆与 切于点 ，且 为圆的半径，
而过 直线与 垂直时，在准线 只有唯一的交点，这个交点即为与 切于点 的圆的圆心，
因此在准线 只有一个圆与 切于点 ，
故要使以 的准线 上两点 为直径的圆与 切于点 ，
则 与 重合， 与 重合，
因此四边形 为直角梯形，
由题意知，直线 的斜率存在且不为 0，设直线 的方程为 ，
则 ，联立可得 ，
整理得 ，
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则 ， ，
因此 ，
又 的符号相反，因此， ，
则 ，
又 ，
又梯形 的面积为 64，则 ，
即 ，整理得， ，
解得 ，
因此，直线 的斜率为 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根
与系数的关系；
（2）有关直线与抛物线 弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，
可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
四、解答题：本大题 5 个小题，共 77 分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字
说明、演算步骤或推理过程）
15. 在数列 中， ， .
（1）证明：数列 是等差数列.
（2）求 的通项公式.
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（3）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的定义即可证明.
（2）由（1）的结论与等差数列通项公式即可得到结果.
（3）利用分组求和与等差等比前 n 项和公式即可求得结果.
【小问 1 详解】
证明：因为 ，所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，所以数列 是首项和公差均为 1 的等差数列.
【小问 2 详解】
解：由（1）可得 ，
则 ，故 .
【小问 3 详解】
解：由（2）可得 ，
则
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16. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，解得： ．
【小问 2 详解】
由正弦定理可得
，
变形可得： ，即 ，
而 ，所以 ，又 ，所以 ，
故 的面积为 ．
17. 数列 的前 项和为 ， ．正项等比数列 的首项为 1， 为其前 项和，且
．
（1）求数列 ， 的通项公式；
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（2）若 对任意的 恒成立，求实数 的最大值．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 与 的关系求解 ，结合等比数列的求和公式及题设分 ， 两种情况求解
；
（2）转化问题为对 对任意的 恒成立，进而利用不等式组求得 的最小值，即可求解.
【小问 1 详解】
由 ，当 时， ，
又 ，满足上式，所以 .
因为正项等比数列 的首项为 1， ，设其公比为 ，
当 时， ， ，不满足 ；
当 时，且 ， ，化简整理得 ，
解得 ，则 ，
所以 ， .
小问 2 详解】
由 ，则 ，即 对任意的 恒成立，
当 时， ，
当 时，设数列 在第 项取得最小值，
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则 ，解得 ，
所以当 时， 取得最小值 ，
又 ，所以 ，
所以实数 的最大值为 .
18. 已知四棱柱 如图所示，底面 为平行四边形，其中点 在平面 内的
投影为点 ，且 ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）已知点 在线段 上（不含端点位置），且平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求
的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）不妨设 ，根据线面垂直 性质证明 ，利用勾股定理证明 ，再根
据线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证；
（2）以 为坐标原点，建立的空间直角坐标系 ，利用向量法求解即可.
【小问 1 详解】
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不妨设 ，
因为 平面 平面 ，故 ，
在 中， ，
由余弦定理， ，
得 ，故 ，则 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以平面 平面 ；
【小问 2 详解】
由（1）知， 两两垂直，
如图所示，以 为坐标原点，建立的空间直角坐标系 ，
则 ，
故 ，
，所以 ，
设 ，则 ，即 ，
所以 ；
设 为平面 的一个法向量，
则 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为 轴 平面 ，则可取 为平面 的一个法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
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解得 ，故 ．
19. 如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点 作 轴的
垂线交其“伴随圆”于点 ，称点 为点 的“伴随点”．已知椭圆 上的点
的一个“伴随点”为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，点 与点 关于 轴对称．
（ⅰ）证明：直线 恒过定点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的直线 所过的定点为 ，若 在直线 上的射影分别为 （ ， 为
不同的两点），记 ， ， 的面积分别为 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【解析】
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【分析】（1）由椭圆过点 ，其伴随圆过点 列方程组即可求得椭圆方程；
（2）（i）分直线 的斜率不为 0 和为 0 两种情况讨论，直线 的斜率不为 0 时可设直线方程为 ，
联立直线方程与椭圆方程，结合椭圆的对称性，利用韦达定理化简即可求得直线 恒过定点；
（ii）法一：设直线 的方程为 ，分别求出 ，则可得 ，结合二次函数
的性质即可得 的取值范围；
法二：表示 ，再结合二次函数的性质即可得 的取值范围；
法三：设直线 的方程为 ，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理化简可得 ，再结
合二次函数的性质即可得 的取值范围.
【小问 1 详解】
因为椭圆 过点 ，其伴随圆 过点 ．
所以 解得
所以椭圆 的方程为 ．
【小问 2 详解】
（ⅰ）证明：当直线 的斜率不为 0 时，设直线 的方程为 ， ， ，则
，
联立 整理得 ，则 ， ，
，所以 ，
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直线 的方程为 ，由椭圆的对称性知，若存在定点，则必在 轴上．
当 时，
，
即直线 恒过定点 ．
当直线 的斜率为 0 时，直线 的方程为 ，也过 ．
综上，直线 恒过定点 ．
（ⅱ）解：法一：由题意知 的斜率存在且不为 0， ，
设直线 的方程为 ， ， ， ，
，
，
，
由（ⅰ）知 且 ，
则
第 21页/共 24页
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故 的取值范围为 ．
法二： ，
由（ⅰ）知 ，
．
（剩余部分同解法一）
法三：由（ⅰ）知直线 恒过定点 ，易知直线 的斜率不为 0，
设直线 的方程为 ， ， ，
第 22页/共 24页
联立 整理得 ，
则 ， ，
恒成立，
，
，
，
因为 ，不妨设 ， ，
，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
故 的取值范围为 ．
【点睛】对于范围和最值问题，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,
再求这个函数的最值或范围,最值常用基本不等式法、二次函数的性质以及利用求函数值域的方法(配方法、
导数法等)求解.
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解题模板:
第一步：将所求最值或范围的量用变量表示出来;
第二步：用基本不等式或二次函数的性质或求函数值域的方法求出最值或范围.
第 24页/共 24页