山东省青岛市2026届高三上学期期末质量检测数学试卷含答案（word版+pdf版）

这是一份山东省青岛市2026届高三上学期期末质量检测数学试卷含答案（word版+pdf版），文件包含山东省青岛市2026届高三上学期期末质量检测数学试题解析版docx、山东青岛2026届高三上学期期末质检数学试题+答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】A
2.若复数 为纯虚数,则实数
A. 1 B. -1C. D.
【答案】D
3.已知等比数列 ,则
A. 8 B. 10 C. 16 D. 32
【答案】D
4.已知函数 在 上单调递增,则 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
5.已知 ,则
A. B. C. D.
【答案】B
6.已知某圆台的母线与底面成 角,则这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为
A. B. C. D.
【答案】C
7.有四对双胞胎共 8 人，从中随机选 4 人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为
A. 48 B. 72 C. 96 D. 192
【答案】B
8.函数 的图像与函数 的图像所有交点的横坐标之和等于
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.在 的展开式中,下列说法正确的是
A. 常数项是1120 B. 第四项和第六项的系数相等
C. 各项的二项式系数之和为 256 D. 各项的系数之和为 256
【答案】ABC
10.设 是双曲线 上的两点,下列四个点中可以为线段 中点的是
A. B. C. D.
【答案】BD
11.设函数 的函数值表示不超过 的最大整数,则在同一个直角坐标系中,函数 的图象与圆 的公共点个数可以是
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知点 在抛物线 上，则 到 的准线的距离为________.
【答案】
13.设数 是奇函数. 若函数 ，则 _______.
【答案】 -1
14.在平面中, 和 是互相垂直的单位向量,向量 满足 ,向量 满足 ，求 在 方向上的数量投影的最大值________.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知 中 是 上的点， 平分 ， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 .
【解析】(1)由正弦定理得 ,
因为 平分 ,所以
(2)因为 ，
所以 .
由 (1) 知 ,
所以 .
16.已知袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 号的有 个 . 现从袋中任取一个球, 表示所取球的标号.
(1)求 的分布列、期望和方差；
(2)若 ，求 的值.
【解析】(I) 的分布列为:
所以 .
.
(II) 由 ,得 ,即 ,又 ,
所以当 时,由 ,得 ;
当 时,由 ,得 .
,或 ,即为所求 .
17.已知函数 ,且 .
(1)求a；
(2)证明: 存在唯一的极大值点 ，且 .
【解析】
(1)解:因为 ，
则 等价于 ,求导可知 .
则当 时 ,即 在 上单调递减,
所以当 时, ,矛盾,故 .
因为当 时 、当 时 ,
所以 ,
又因为 ,
所以 ,解得 ;
另解: 因为 ,所以 等价于 在 时的最小值为 ,
所以等价于 在 处是极小值,
所以解得 ; (2) 证明: 由 (1) 可知 ,
令 ,可得 ,记 ,则 ,
令 ,解得: ,
所以 在区间 上单调递减,在 上单调递增,
所以 ,从而 有解,即 存在两根 ,
且不妨设 在 上为正、在 上为负、在 上为正,
所以 必存在唯一极大值点 ,且 ,
所以 ,
由 可知 ;
由 可知 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 .
18.在平面四边形 中， ， ， ，将 沿 翻折至 ，其中 为动点.
(1)设 ，三棱锥 的各个顶点都在球 的球面上.
(i) 证明: 平面 平面 ;
(ii) 求球 的半径
(2)求二面角 的余弦值的最小值.
【解析】(1)在 中，由 得 ，
所以 ，且 ，即
(i) 证明: 因为 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,
所以平面 平面 ;
(ii) 以 为原点, 分别为 轴和 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 , 则 ,设球心 ,半径 ,
则 ,
所以 ,
解得 ，所以球 的半径为 ；
(2)在平面 中，过 作 于 ，在平面 中，过 作 ，
因 平面 ,则 平面 .
则由 ,
设 ，以 为原点， 分别为 轴和 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，则点 在平面 内，
则 ,
所以 ,
设平面 一个法向量分别为 ,则 ,
即 ,取 ,则得 ;
平面 的一个法向量为 ,则 ,
即 ,取 ,则得 ,
所以 ,
令 ,则由 得 ,则 ,
于是
,
当且仅当 即 时等号成立,
所以二面角 的余弦值的最小值为 .
19.已知双曲线 ，上顶点为 ，直线 与双曲线 的两支分别交于 ， 两点(B 在第一象限)，与 轴交于点 . 设直线 的倾斜角分别为 .
(1)若 ，
(i) 若 ,求 ;
(ii) 求证: 为定值;
(2)若 ，直线 与 轴交于点 ，求 与 的外接圆半径之比的最大值.
【解析】(1) (i) ,所以直线 .
直线 与 联立可得 ,解得 或 ,所以 .
所以 ,所以 ;
(ii) 法 1: ① 直线 斜率存在时,可设直线 的方程为 ,设 由 得
所以 .
当 时，由 (i) 可得 ；
当 时，设 的斜率分别为 .
.
所以 ,
所以 .
因为 在第一象限,所以 ,所以 ,所以 .
②直线 斜率不存在时,可得 ,
可得 ,
所以 ,同理可得 .
综上可得, 为定值 ,得证.
法 2: ① 时,由 (i) 可得 ;
② 时，设 的斜率分别为 .
设 ,由 在直线上可得 .
与 联立可得 ,
即 ,
所以 就是方程 的两根.
所以 ,
,
因为 在第一象限,所以 ,所以 ,所以 .
综上可得, 为定值 ,得证.
(2)由(1)可得 时， .
① 不存在，则 ，由 ① (i) 可得 ，所以 ，
所以 .
② 不存在，则 ，则 ，
此时 ,由图可得 .
③法 1:若 和 均存在，设 ，则 与双曲线联立可得 .
所以 .
所以 ,
所以 .
设 与 的外接圆半径分别为 ,
从而 . 等号当且仅当 时取到.
所以 与 的外接圆半径之比的最大值为 2 .
法 2: 若 和 均存在,设 ,则 .
由 三点共线可得 .
所以 ,所以 .
所以 tan∠ADT=kDT−k11+kDT⋅k1=y0−22x0−3y0−y0−1x01+y0−22x0−3y0⋅y0−1x0
=y0−2x0−y0−12x0−3y02x0−3y0x0+y0−2y0−1=3y02−x0y0−3y02x02+y02−3x0y0−3y0+2 =3y02−x0y0−3y02y02−1+y02−3x0y0−3y0+2=3y02−x0y0−3y03y02−3x0y0−3y0=33 .
所以 ,所以 .
设 与 的外接圆半径分别为 ,
从而 . 等号当且仅当 时取到.
所以 与 的外接圆半径之比的最大值为 2 .
法 3: 若 和 均存在,设 ,则 ,
则 .
记直线 的倾斜角为 ,则 ,所以
所以 .
设 与 的外接圆半径分别为 ,
从而 . 等号当且仅当 时取到.
所以 与 的外接圆半径之比的最大值为 2 .0
1
2
3
4
5