山东省日照市2026届高三上学期期末校际联考数学试卷含答案（word版+pdf版）

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1-4 CDBB 5-8 ACBD
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9.AB 10.ACD 11.ABD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.-80
13. 429
14. 139, 136−1410n+1−1
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.【解】(1)由 sinA+csA=2 ，
可得 22sinA+22csA=1 ,即 sinA+π4=1 , 3 分
由于 A∈0,π ,则 A+π4∈π4,5π4 ,故 A+π4=π2 ,解得 A=π4 ; 5 分
(2)因为 bsinC=csin2B ,由正弦定理可得 sinBsinC=2sinCsinBcsB 6 分
又 B,C∈0,π ,则 sinBsinC≠0 ,所以 csB=12 ,所以 B=π3 , 8 分
所以 C=π−A−B=5π12 ,所以 sinC=sinπ−A−B=sinA+B=sinAcsB+sinBcsA
=22×12+22×32=2+64 , 10 分
由正弦定理可得 asinA=csinC ,即 2222=c2+64 ,解得 c=3+1 , 12 分故 BC 边上的高为 csinB=3+1×32=3+32 . 13 分
16.【解】(1)设“甲抢到问题 A ”为事件 M ，“问题 A 被回答正确”为事件 N ，
由题意可知: PM=PM=12,PN∣M=34,PN∣M=23 , 4 分
由全概率公式可得 PN=PN∣MPM+PN∣MPM=34⋅12+23⋅12=38+13=1724
所以问题 A 被回答正确的概率为 1724 . 7 分
(2)由题意可知: X 的可能取值有: 0，1，2，则有:
PX=0=1−341−23=112, 9 分
PX=1=1−34×23+34×1−23=512, 11 分
PX=2=34×23=12, 13 分
所以 X 的分布列为
期望 EX=0×112+1×512+2×12=1712 . 15 分
17.【解】(1)在 △ABC 中， AB=4,BC=23,∠ABC=π6 ，由余弦定理可得:
AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs∠ABC=16+12−2×4×23×32=4 ,
所以 AC=2,AB2=AC2+BC2 ，所以 AC⊥BC . 2 分
又因为在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，所以 CC1⊥ 平面 ABC ， BC⊂ 平面 ABC ，
所以 CC1⊥BC . 4 分
因为 AC⊥BC,CC1⊥BC,AC∩CC1=C,AC,CC1⊂ 平面 ACC1A1 ,
所以 BC⊥ 平面 ACC1A1 ,又因为 BC⊂ 平面 BCC1B1 ,

所以平面 BCC1B1⊥ 平面 ACC1A1 6 分
(2)由(1)可知, AC⊥BC,CC1⊥BC,CC1⊥AC ,
故以 CA,CB,CC1 所以直线分别为 x,y,z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 A2,0,0,B0,23,0,C10,0,3 7 分
因为 M 在 AC 上,设 Mm,0,0m∈0,2 ,又 N 在 BB1 上,设 N0,23,nn∈0,3 .
点 N 在平面 A1ACC1 上的射影为点 P ,且平面 BCC1B1⊥ 平面 ACC1A1 ,所以 P∈CC1,P0,0,n .
由 MN=25 ,得: m2+232+n2=25 ,
即 m2+n2=8,∵m∈0,2,∴n2=8−m2∈4,8,∴n∈2,22 . 9 分
设平面 MNP 的法向量为 v=x,y,z ,且 MP=−m,0,n,PN=0,23,0 ,
由 v⋅MP=0v⋅PN=0 ,得 −mx+nz=023y=0 ,令 x=n ,则 z=m,y=0 ,故 v=n,0,m 11 分
而 AB=−2,23,0,AB=4 ,所以直线 AB 与平面 MNP 所成角的正弦值为
cs⟨AB,v⟩=−2n+0+0AB⋅v=2n4⋅m2+n2=2n4⋅8=2n8, 13 分
又因为 n∈2,22 ,所以 2n8∈24,12 ,
即直线 AB 与平面 MNP 所成角的正弦值的取值范围为 24,12 . 15 分
18.【解】(1)因为 P1−1,1 ,故 a1=2×1−−1=3 , 1 分
根据双曲线的渐近线方程可知 ab=12 ,又 P1−1,1 在曲线 C 上,故 1a2−1b2=1 ,解得: a2=34,b2=3 ,
故双曲线方程为: C:y23−x23=144 ,即 4y2−x2=3 3 分
又过点 P1−1,1 斜率为 -1 的直线方程为 y=−x ,
由双曲线与直线的对称性可知 Q11,−1 ,所以 P21,1,a2=2×1−1=1 , 4 分
又过 P21,1 ,且斜率为 -1 的直线方程为 y−1=−x+1 ,即 y=−x+2 ,由 y=−x+24y2−x2=3 ,解得 x=1 或 x=133 ,
当 x=133 时, y=−133+2=−73 ,
所以 Q2133,−73 ,从而 P3133,73,a3=2×73−133=13 5 分
(2)设 Pn−1xn−1,yn−1n≥2,n∈N∗ ，则过 Pn−1xn−1,yn−1n≥2,n∈N∗ ，且斜率为 -1 的直线方程为 y−yn−1=−x−xn−1 ， 联立 y−yn−1=−x+xn−14y2−x2=3 ,消 y 得到

3x2−8xn−1+yn−1x+4xn−1+yn−12−3=0, 6 分
由题有 xn+xn−1=83xn−1+yn−1 ,得到 xn=53xn−1+83yn−1 , 7 分
由题知点 Qn−1xn,−yn 在直线 y−yn−1=−x−xn−1 上,
即有 −yn−yn−1=−xn+xn−1 ,所以 yn=−yn−1+xn−xn−1 , 8 分
因为 an=2yn−xn ,
则 anan−1=2yn−xn2yn−1−xn−1=−2yn−1+2xn−2xn−1−xn2yn−1−xn−1 =xn−2yn−1−2xn−12yn−1−xn−1=53xn−1+83yn−1−2yn−1−2xn−12yn−1−xn−1 =−13xn−1+23yn−12yn−1−xn−1=13, 9 分
由( 1 )知 a1=3 ，所以数列 an 是以 3 为首项， 13 为公比的等比数列；
故 an=3⋅13n−1=13n−2 ,所以数列 an 的通项公式为 an=13n−2 . 10 分
(3)由(2)知 an=2yn−xn=32−n . 又 4yn2−xn2=3 ，所以 2yn+xn=3n−1 .
则 xn=123n−1−32−n,yn=143n−1+32−n . 12 分
故 Pn−32−n+3n−12,32−n+3n−14,Pn+1−31−n+3n2,31−n+3n4,Pn+2−3−n+3n+12,3−n+3n+14 ,
因为 PnPn+1=xn+1−xn,yn+1−yn=3n−1+31−n,3n−1−31−n2 , 14 分
且 PnPn+2=xn+2−xn,yn+2−yn=43−n+3n−1,23n−1−3−n , 15 分
所以 Sn=12xn+1−xnyn+2−yn−xn+2−xnyn+1−yn
=123n−1+31−n×23n−1−3−n−3n−1−31−n2×43−n+3n−1=43 ,即 Sn 是定值,故 Sn+1=Sn 17 分
19.【解】(1)函数 fx=12x2+ax−ax+1lnx 的定义域为 0,+∞ ,
f′x=x+a−alnx−ax+1⋅1x=x−1x−alnx, 1 分
当 a≤0 时, f′′x=1+1x2−ax>0 ,函数 f′x 在 0,+∞ 上单调递增, 2 分
又 f′1=0 ,则当 00 ,
即 x1+x2+x3>3a−1 . 17分X
0
1
2
P
112
512
12