山东省青岛市部分县市2026届高三上学期期末学业水平检测数学试卷含答案（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 抛物线 的准线方程为
A. B. C. D.
【答案】B
2. 系统中共有 3 个元件,各个元件正常工作的概率为 ,各个元件正常工作的事件相互独立. 记系统中正常工作的元件数为 ,则 的方差为
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
3.将函数 的图象向右平移 个单位后,所得图象与原图象重合,则正数 的最小值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
4.下列命题正确的是
A. 所有可以被 5 整除的整数, 末尾数字都是 0
B. 任意一个偶数都不是素数
C. 至少有一个整数 ,使得 是奇数
D. 任意一个整数 都不是 4 的倍数
【答案】D
5.设函数 的定义域为 ,若 为奇函数, 为偶函数,则
A. B. C. D.
【答案】B
6.在 中, ,则 的最短边与最长边之比为
A. B. C. D.
【答案】C
7.设正实数 均不等于 1,若 ,则
A. B. C. D.
【答案】C
8.已知函数 ,则
A. 不可能为奇函数B. 不可能为偶函数
C. 存在 ,使得 D. 存在 ,使得
【答案】D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非 0 的直线上，则
A. 解释变量和响应变量是线性函数关系 B. 解释变量和响应变量是线性相关关系
C. 相关系数 D. 决定系数
【答案】AD
10.在正方体 中,点 分别为棱 的中点,过 三点作该正方体的截面,已知此截面是一个多边形 ,则
A. 为梯形 B. 平面
C. 平面 D. 在顶点 处的内角的余弦值为
【答案】BD
11.设复数 满足 ,则
A.
B.
C. 关于 的方程 有解
D. 若复数 满足 ,则
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知集合 ，若 ，则 ________.
【答案】2
13.已知数列 的首项 ，则 _______.
【答案】
14.随机将 这 8 个连续正整数分成 两组,每组 4 个数,记 表示 组中最大的数与最小的数之和, 表示 组中最大的数与最小的数之和. 则 ________.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.某公司邀请专业棋手与新研发的机器人进行下棋比赛，规则如下:双方的初始分均为 10 分， 每局胜方加5分，负方减5分，平局双方分数不变. 当一方达到 20 分时，则其获胜，比赛终止， 否则比赛继续. 假设每局棋手胜、平、负的概率分别为 ,各局之间相互独立.
(1)求两局后比赛终止的概率;
(2)求两局后棋手得分 的均值 .
【解析】(1) 设 “两局后比赛终止”,则
(2) 的可能取值为0,5,10,15,20，则
所以 .
16.设函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若 存在极值点 ，且存在 ，使得 ，证明: . 附: .
【解析】(1) 由题知:
若 在 上单调递增
若 ,令 解得:
当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递增
综上,当 的递增区间是 ;
若 的递增区间是 , 递减区间是
(2)由题知:
整理得: ,
所以
又因为 ,得
所以 ,
所以 ,
化简得: ,因为 ,所以: .
17.设 为复数数列, ,记 的实部为 ,虚部为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明:数列 为等比数列;
(3) 求 .
【解析】(1) 因为
所以 4 分因此数列 是常数列:
(2)由(1)知:
因为 ,所以 ,
所以,数列 是以 为首项,2 为公比的等比数列
(3)由(2)知:
所以
所以 .
18.已知椭圆 的短轴长为 2,离心率为 .
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 相交于 两点，线段 的中点在直线 上.
( i ) 求 ;
(ii) 已知点 ， 与 的另一个交点为 ， 与 的另一个交点为 . 证明: 直线 过定点.
【解析】(1) 由题意, ,解得 所以 的方程为
(2)(i) 设 ,将直线
代入椭圆方程 得:
因此 ,
又因为点 在直线 上,
所以 ,由题意知 ,解得
(ii) 设 ,则 ,
又因为 ,所以 ,
整理得: ,即 ,
解得
所以 ,解得 ,
所以 ,
整理得 ,
同理 ,
所以直线 的方程为:
所以,直线 过定点 .
19.如图,点 为椭圆 的焦点,点 为线段 的中点,点 在 上,点 是 所在平面外一点,平面 平面 ,且 .
(1)若 的离心率为 ， 平面 ， 与平面 所成角为 ，求 与平面 所成角的正弦值;
(2)若 的离心率为 ，点 均在同一球面上， 求此球体积的最小值;
(3)若 是以 为轴的圆柱被平面所截的截口曲线，当 与平面 所成的角最大时,证明: .
【解析】(1) 因为平面 平面 ,
记 所在平面为 内线段 的中垂线为 ,过点 与 垂直的直线为 ,
以 为坐标原点,分别以直线 为 轴,建立空间直角坐标系; 不妨设
所以
设平面 的一个法向量为 ,
所以 ,令 ,得
设 与平面 所成角为 ,则
所以 与平面 所成角的正弦值为
(2)因为 ，所以
设 ， 外接圆圆心分别为 ，
由正弦定理知: 外接圆直径 ，
因为 在线段 中垂线上,所以 ,解得
在 中,因为 ,由余弦定理知:
当且仅当 时,“ ”成立,所以 ,
故 外接圆直径
所以此球的半径 ,
所以此球体积的最小值为
(3)由题意，直线 垂直此圆柱的底面，不妨设 为圆柱的一个底面圆心，记点 在圆柱这个底面的正投影分别为 ,作 于 ,则 平面 ,
又因为 ,故点 到平面 的距离等于 ,
记直线 与平面 所成角为 ,
因为 是 在底面上的投影,所以
所以 ,
此时, ,所以 且 ,故四边形 为矩形,
所以 平面 ,所以 ,即