高中人教版指数表格教案设计

这是一份高中人教版指数表格教案设计，共8页。教案主要包含了复习回顾 梳理思路，类比学习 探究新知，动手实操 感悟新知，概念生成 潜移默化，典例分析 学以致用，归纳总结 强化思想，强化练习 布置作业等内容，欢迎下载使用。
课程基本信息
学科
数学
年级
高一年级
学期
秋季
课题
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
教科书
书 名：普通高中教科书 数学 必修 第一册
出版社：人民教育出版社 .6月
教学目标
1. 理解无理数指数幂的含义，掌握其运算性质，并能对代数式进行化简和求值;
2. 掌握实数指数幂的综合运用;
3. 理解不足近似值和过剩近似值的含义，体会其中蕴含的极限思想.
教学内容
教学重点：
1. 无理数指数幂的概念及运算性质.
教学难点：
1. 掌握实数指数幂的综合运用;
2. 体会其中蕴含的极限思想，并能迁移应用.
教学过程
一、复习回顾 梳理思路
（一）复习回顾 打好基础
问题1 你能说出根式与分数指数幂是如何转化的吗？
nam=____________ (a>0,m,n∈N*,n>0)；
a-mn=____________(a>0,m,n∈N*,n>0).
【预设答案】nam=amn(a>0,m,n∈N*,n>0)；a-mn=1nam
问题2 你能说出有理数指数幂的运算性质是什么吗？
【预设答案】（1）aras=ar+s (a>0,r,s∈Q)
（2）(ar)s=ars (a>0,r,s∈Q)
（3）(ab)r=arbr (a>0,b>0,r∈Q)
（二）梳理思路 明确目标
问题3 你能用上节课所学知识计算下列式子吗？
（1）52×5-2=_____________________;
（2）52×5-2=__________________.
【预设答案】（1）52×5-2=52-2=50=1;（2）学生在第二问有可能因为无理数的出现不知如何下手；也可能没注意到无理数，会按照有理数的运算性质作答.
引出本节课学习对象与学习目标.
学习对象: 无理数指数幂
学习目标一: 无理数指数幂是否存在？—— “52是否存在？”
学习目标二: 若存在无理数指数幂，如何对无理数指数幂进行运算呢？—— “能否对52×5-2进行运算？”
【设计意图】问题一、问题二的设置，让学生能及时复习，加深对知识印象，为本节课的学习打好知识基础；问题三的设置，两个式子的幂指数分别为有理数和无理数，通过上一节关于有理数指数幂的学习，自然地提出关于无理数指数幂的问题，引发学生思考和发言，过渡自然合理，学生易于接受，顺其自然引出本节课的学习对象和目标，同时锻炼学生的观察能力与思维。
二、类比学习 探究新知
（一）2的不足近似值与过剩近似值
思考 初中如何估算2的精确近似值？
【预设答案】初中我们利用不同精度的平方数，从大于2和小于2两个方向无限去逼近2，对这些平方数开根号，进而找到2的精确近似值，根据实际需要我们可以把2算到任意多位小数，从而确定了2。

定义：（1）不足近似值：按照所需要的精确度截取指定数位后，直接略去后面的数位，这样就得到了一个小于真实值的近似值，叫做不足近似值. （舍而不进）
（2）过剩近似值：按照所需要的精确度截取指定数位后，不管去掉部分最高位是否四舍五入而全都进位，即保留部分的最后一位数加1,这样就得到一个大于真实值的近似值，叫做过剩近似值.（进一而舍）
以2为例，分别再介绍精确到个位、小数点后第一位、小数点后第四位的不足近似值与过剩近似值.
【设计意图】回忆初中估算2的精确近似值的思想方法，由学生熟悉的学习内容过切入，引出不足近似值与过剩近似值的概念，学生更容易接受. 通过对2不足近似值与过剩近似值重复介绍，加深对新概念的印象，并让学生初步感受逼近的思想方法，为后续的学习打下探究方法的基础.
（二）探究52
1、探究1 根据2 的不足近似值x和过剩近似值y，利用计算工具计算相应的5x, 5y的近似值填入表中，观察他们的变化趋势你发现了什么？
视频演示计算过程
第一步：打开WPS Office中的表格文档，输入数据“2的不足近似值x”与“2的过剩近似值y”;
第二步：在“5x的近似值”下方表格中输入公式 “=5^B4”，下拉填充;
第三步：在“5y的近似值”下方表格中输入公式 “=5^D4”，下拉填充.
【预设答案】我发现5x的近似值在逐渐增大， 5y的近似值在逐渐减小，它们好像都趋向于同一个数.
2、探究2 利用计算工具计算5y与5x的差值，填入表中，观察他们的变化趋势你发现了什么？
【预设答案】我发现5y -5x的数值越来越小，最终接近于0.
因为5y -5x趋向于0，也可以进一步肯定5x与5y都趋向于同一个数，这个数就是52. 也就是说52是一串逐渐增大的有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.4142···，与另一串逐渐减小的有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143···，逐步逼近的结果，它是一个确定的实数.
3、数轴动态演示
我们利用动画演示，将这些有理数幂在数轴上标出，根据我们的想象和推理，他们会逐渐逼近一个点，这个点在数轴上存在且唯一，就是52.
4、数学史介绍
我们通过不足近似值和过剩近似值两边无限地逼近，找到精确估计值的思想，最早在古代数学家刘徽所著《九章算术注》中有所提及。该思想方法不仅在古代流传已久，并且沿用至今，数学中的估算，生活中的估价等，都体现了这一思想.

【设计意图】利用视频演示计算工具的使用过程，并对步骤进行总结，有助于学生模仿学习；除了对5x与5y 的数值，还对5y -5x的数值进行观察分析，从数的角度肯定了52是一个确定的实数；利用数轴动态演示，从形的角度进行推理，进一步肯定了52是一个确定的实数，通过夹逼方法，解释的意义，学生可以体会其中蕴含的极限思想；对于数学史的介绍，激发学生对数学背后历史的兴趣，立德树人，培养人才.
三、动手实操 感悟新知
参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如23，说明它也是一个确定的实数吗？
学生暂停视频，自行操作.
【设计意图】学生在探究时通过自己动手，运用计算工具计算，去解决问题，强化了概念的理解，提升了直观想象和逻辑推理素养.
四、概念生成 潜移默化
一般地，无理数指数幂ax（a>0，x为无理数）是一个确定的实数.
一般地，实数指数幂ax（a>0，x为实数）是一个确定的实数.
类比有理数指数幂的运算性质映入实数指数幂的运算性质.
实数指数幂的运算性质：
（1）aras=ar+s (a>0,r,s∈R) ;
（2）(ar)s=ars (a>0,r,s∈R) ;
（3）(ab)r=arbr a>0,b>0,r∈R .
【设计意图】带领同学们做好知识梳理，从而达到知识系统化，为推广有理数指数幂的运算性质做准备，证明从略，了解即可.
五、典例分析 学以致用
引例 52×5-2=_____.
解 52×5-2=52-2=50=1
例1 (23m3)23
解 (23m3)23=(23 m32)23=(23)23 (m32)23=23×23m32×23=26m3
练习 a23a2π3a-π
解 法一： a23a2π3a-π=aπ3+2π3a-π=aπa-π=aπ+(-π)=a0=1
法二： a23a2π3a-π=aπ3+2π3-π=a0=1
例2 利用计算工具，探究下列实数指数幂的变化规律：
（1）x取负实数，使得x的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的2x(x∈R)的值，观察变化趋势；
（2）x取正实数，使得 x 的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的(12)x(x∈R)的值，观察变化趋势.
【预设答案】
（1） 2x的值在逐渐减小并趋向于0；
（2） (12)x的值在逐渐减小并趋向于0.
【设计意图】首先解决开头的引例，让学生感受到从无到有，收获了知识便解决了问题，培养解决问题的自信心；对幂的化简和计算进行练习，巩固对无理数指数幂的认识，熟悉运算性质，培养学生数学运算核心素养. 通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识.
六、归纳总结 强化思想
通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？
【设计意图】通过课堂小结让学生对本节课的学习梳理出一个清晰的脉络。
七、强化练习 布置作业
基础作业：人教A版必修第一册 p109-110 习题4.1 t3，t6，t7，t8
探究作业：人教A版必修第一册 p110 习题4.1 t10
板书设计
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
一、不足近似值与过剩近似值 引例1
二、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα（a＞0，α为无理数）
是一个确定的实数．
三、实数指数幂 引例2
四、实数指数幂的运算性质
aras=ar+s(a>0,r,s∈R)；
ars=ars(a>0,r,s∈R)；
abr=arbr(a>0,b>0,r∈R).