2023-2024学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）若3x＝4y（y≠0），则的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sinA为（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，D是的中点．若∠B＝40°，则∠A的大小为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
4．（2分）将抛物线y＝3x2向左平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+1）2B．y＝3（x﹣1）2C．y＝3x2+1D．y＝3x2﹣1
5．（2分）若抛物线y＝x2+2mx+9与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．3B．﹣3C．D．±3
6．（2分）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图2，从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得BD＝8m，AB＝1.6m．若“矩”的边EF＝a＝30cm，边AF＝b＝60cm，则树高CD为（ ）
A．4mB．5.3mC．5.6mD．16m
7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点（4，y1），（6，y2）在抛物线y＝a（x﹣3）2+1（a＞0）上，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜y1＜y2B．1＜y2＜y1C．y2＜y1＜1D．y1＜y2＜1
8．（2分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，给出下面三个条件：①∠A＝∠BCD；②∠A+∠BCD＝∠ADC；③．添加上述条件中的一个，即可证明△ABC是直角三角形的条件序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）如图，在矩形ABCD中，E是边AD的中点，连接BE交对角线AC于点F．若AC＝6，则AF的长为 ．
10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点（3，y1），（7，y2）在反比例函数的图象上，则y1 y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
11．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，AB＝12，则的长为 ．
12．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝60°，PA＝6，则⊙O的半径为 ．
13．（2分）如图，线段AB，CD分别表示甲、乙建筑物的高，两座建筑物间的距离BD为30m．若在点A处测得点D的俯角α为30°，点C的仰角β为45°，则乙建筑物的高CD约为 m．（结果精确到0.1m；参考数据：≈1.414，≈1.732）
14．（2分）如图，点A，B在⊙O上，∠AOB＝140°．若C为⊙O上任一点（不与点A，B重合），则∠ACB的大小为 ．
15．（2分）如图，E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，连接CE．若AB＝2，则CE长的最小值为 ．
16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（﹣1，k），且经过点A（﹣3，0），其部分图象如图所示，下面四个结论中，
①a＜0；
②b＝﹣2a；
③若点M（2，m）在此抛物线上，则m＜0；
④若点N（t，n）在此抛物线上且n＜c，则t＞0．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：．
18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD＝∠B＝90°．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AB＝3，AD＝4，求AC的长．
19．（5分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）将y＝x2+2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式，并写出其图象的顶点坐标；
（2）求此函数图象与x轴交点的坐标；
（3）在平面直角坐标系xOy中，画出此函数的图象．
20．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝6，BE＝1．求⊙O的半径．
21．（5分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（1，0）和B（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当1＜x＜4时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围．
22．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，，CD＝10．求AB的长．
23．（5分）已知某蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，即，其图象如图所示．
（1）求k的值；
（2）若用电器的电阻R为6Ω，则电流I为 A；
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流I不得超过10A，那么用电器的电阻R应控制的范围是 ．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，点F在AC的延长线上，．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝5，，求CE的长．
25．（6分）投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手（点A处）到落地的过程中，其竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系．
小石进行了三次训练，每次实心球的出手点A的竖直高度为2m．记实心球运动路线的最高点为P，训练成绩（实心球落地点的水平距离）为d（单位：m）．训练情况如下：
根据以上信息，
（1）求第二次训练时满足的函数关系式；
（2）小石第二次训练的成绩d2为 m；
（3）直接写出训练成绩d1，d2，d3的大小关系．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（3，3a+c）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点M（1﹣2a，y1），N（a+2，y2）在抛物线上．若c＜y1＜y2，求a的取值范围．
27．（7分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．D是边BA上一点（不与点B重合且BD＜BA），将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接DE，AE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）F是DE的中点，连接AF并延长，交CD的延长线于点G，依题意补全图形．若∠G＝∠ACE，用等式表示线段FG，AF，AE之间的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和点C给出如下定义：若点C在弦AB的垂直平分线上，且点C关于直线AB的对称点在⊙O上，则称点C是弦AB的“关联点”．
（1）如图，点，．在点C1（0，0），C2（1，0），C3（1，1），C4（2，0）中，弦AB的“关联点”是 ；
（2）若点是弦AB的“关联点”，直接写出AB的长；
（3）已知点M（0，2），对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．
2023-2024学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）若3x＝4y（y≠0），则的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先用y表示x，再将x代入所求式子化简即可．
【解答】解：∵3x＝4y，
∴x＝y，
∴＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查比例的性质，熟练掌握分式的化简方法是解题的关键．
2．（2分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sinA为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边解答即可．
【解答】解：由勾股定理，得
AB＝＝BC，
∴sinA＝，
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，D是的中点．若∠B＝40°，则∠A的大小为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】由圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝20°，即可求出∠A＝90°﹣∠ABD＝70°．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵D是的中点，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝×40°＝20°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠ABD＝∠CBD．
4．（2分）将抛物线y＝3x2向左平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+1）2B．y＝3（x﹣1）2C．y＝3x2+1D．y＝3x2﹣1
【分析】根据函数图象平移的规律：左加右减，上加下减的原则求解即可．
【解答】解：y＝3x2向左平移1个单位长度得到y＝3（x+1）2，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，熟练掌握函数图象平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
5．（2分）若抛物线y＝x2+2mx+9与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．3B．﹣3C．D．±3
【分析】由方程x2+2mx+9＝0中判别式＝0求解．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2mx+9与x轴只有一个交点，
∴方程x2+2mx+9＝0中Δ＝4m2﹣4×1×9＝0，
解得m＝±3，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系．
6．（2分）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图2，从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得BD＝8m，AB＝1.6m．若“矩”的边EF＝a＝30cm，边AF＝b＝60cm，则树高CD为（ ）
A．4mB．5.3mC．5.6mD．16m
【分析】根据相似三角形的判定与性质得出比例式求出CH的长即可求解．
【解答】解：由题意知，EF∥CH，
∴△AFE∽△AHC，
∴，
∴，
∴CH＝400cm＝4m，
∴CD＝CH+DH＝4+1.6＝5.6（m），
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点（4，y1），（6，y2）在抛物线y＝a（x﹣3）2+1（a＞0）上，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜y1＜y2B．1＜y2＜y1C．y2＜y1＜1D．y1＜y2＜1
【分析】根据所给的函数解析式确定函数的开口方向，对称轴和最小值，再结合函数图象的特点进行判定即可．
【解答】解：∵y＝a（x﹣3）2+1（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，函数有最小值1，
∵点（4，y1）到对称轴的距离为1，点（6，y2）到对称轴的距离为3，
∴y2＞y1＞1，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
8．（2分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，给出下面三个条件：①∠A＝∠BCD；②∠A+∠BCD＝∠ADC；③．添加上述条件中的一个，即可证明△ABC是直角三角形的条件序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】由相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【解答】解：若∠A＝∠BCD，且∠B＝∠B，
∴△CDB∽△ACB，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴△ACB是直角三角形，
若∠A+∠BCD＝∠ADC，无法证明△ABC是直角三角形，
若，且∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴∠A＝∠BCD，
∴∠A+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）如图，在矩形ABCD中，E是边AD的中点，连接BE交对角线AC于点F．若AC＝6，则AF的长为 2 ．
【分析】由矩形的性质可得AD∥BC，BC＝AD＝2AE，由平行线分线段成比例可得FC＝2AF，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E是AD的中点，
∴BC＝AD＝2AE，
∵AE∥BC，
∴＝，
∴FC＝2AF，
∵AC＝6，
∴FC＝4，AF＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，掌握矩形的性质是解题的关键．
10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点（3，y1），（7，y2）在反比例函数的图象上，则y1 ＞ y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．
【解答】解：∵k＞0，
∴反比例函数的图象在一、三象限，
∵7＞3＞0，
∴点（3，y1），（7，y2）在第一象限，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，根据题意判断出函数图象的增减性是解题的关键．
11．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，AB＝12，则的长为 4π ．
【分析】连接OA、OB，证出△ABO是等边三角形，再根据弧长公式即可求解．
【解答】解：连接AO，BO，如图所示：
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴OA＝AB＝12，
∴⊙O的半径为12，
∴＝＝4π，
故答案为：4π．
【点评】此题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正六边形的性质，证出△ABO是等边三角形是解题的关键．
12．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝60°，PA＝6，则⊙O的半径为 2 ．
【分析】连接OB，OP，由切线的性质定理得到OB⊥PB，由切线长定理推出PO平分∠APB，得到∠OPB＝∠APB＝30°，由锐角的正切求出OB＝PB•tan30°＝2，得到⊙O的半径是2．
【解答】解：连接OB，OP，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OB⊥PB，PO平分∠APB，
∵∠APB＝60°，
∴∠OPB＝∠APB＝30°，
∵tanOPB＝tan30°＝，
∴OB＝PB•tan30°＝6×＝2．
∴⊙O的半径是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查切线的性质，切线长定理，解直角三角形，关键是由切线长定理推出∠OPB＝∠APB＝30°．
13．（2分）如图，线段AB，CD分别表示甲、乙建筑物的高，两座建筑物间的距离BD为30m．若在点A处测得点D的俯角α为30°，点C的仰角β为45°，则乙建筑物的高CD约为 47.3 m．（结果精确到0.1m；参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】根据题意可得：AE⊥CD，AE＝BD＝30m，然后分别在Rt△AED和Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出CE和DE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：AE⊥CD，AE＝BD＝30m，
在Rt△AED中，∠EAD＝30°，
∴DE＝AE•tan30°＝30×＝10（m），
在Rt△ACE中，∠CAE＝45°，
∴CE＝AE•tan45°＝30（m），
∴CD＝DE+CE＝10+30≈47.3（m），
∴乙建筑物的高CD约为47.3m，
故答案为：47.3．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．（2分）如图，点A，B在⊙O上，∠AOB＝140°．若C为⊙O上任一点（不与点A，B重合），则∠ACB的大小为 70°或110° ．
【分析】分两种情况，C可能在劣弧AB上，也可能在优弧ACB上，由圆周角定理即可求解．
【解答】解：如图：∵∠C＝∠AOB，∠AOB＝140°，
∴∠C＝70°，
∴∠C′＝×（360°﹣140°）＝110°，
∵C可能在劣弧AB上，也可能在优弧ACB上，
∴∠ACB＝70°或110°．
故答案为：70°或110°．
【点评】本题考查圆周角定理，关键是要分两种情况讨论．
15．（2分）如图，E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，连接CE．若AB＝2，则CE长的最小值为 ﹣1 ．
【分析】取AB中点O，连接OC，由勾股定理可求OC＝，由点E在以O为圆心，OB为半径的圆上，可得当点E在OC上时，CE有最小值，即可求解．
【解答】解：取AB中点O，连接OC，
∵AB＝2，
∴OB＝1，
∴OC＝＝＝，
∵∠AEB＝90°，
∴点E在以O为圆心，OB为半径的圆上，
∴当点E在OC上时，CE有最小值，
∴CE的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是正方形的性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（﹣1，k），且经过点A（﹣3，0），其部分图象如图所示，下面四个结论中，
①a＜0；
②b＝﹣2a；
③若点M（2，m）在此抛物线上，则m＜0；
④若点N（t，n）在此抛物线上且n＜c，则t＞0．
所有正确结论的序号是 ①③ ．
【分析】由抛物线开口方向判断①；由对称轴可判断②；由函数的性质判断③；由抛物线的对称性即可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（﹣1，k），
∴对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，②错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴点A（﹣3，0）到对称轴的距离小于点M（2，m）到对称轴的距离，
∵经过点A（﹣3，0），点M（2，m），
∴m＜0，③正确；
∵抛物线与y轴的交点为（0，c），抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴点（0，c）关于对称轴的对称点为（﹣2，c），
∴若点N（t，n）在此抛物线上且n＜c，则t＜﹣2或t＞0，④错误；
综上，①③正确，
故答案为：①③．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，数形结合．
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：．
【分析】将特殊角三角函数值代入，然后先算算术平方根和乘方，最后算加减．
【解答】解：原式＝8×﹣3+1﹣1
＝4﹣3+1﹣1
＝．
【点评】本题主要考查了实数的运算和特殊角的三角函数值，解决此类问题的关键是熟记各特殊角的三角函数值．
18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD＝∠B＝90°．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AB＝3，AD＝4，求AC的长．
【分析】（1）根据两组角对应相等，两个三角形相似即可解决问题；
（2）结合（1）根据相似三角形对应边成比例代入值即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵∠ACD＝∠B＝90°，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：由（1）知：△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AC2＝12，
∴AC＝2，（负值已经舍去）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ACD∽△ABC．
19．（5分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）将y＝x2+2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式，并写出其图象的顶点坐标；
（2）求此函数图象与x轴交点的坐标；
（3）在平面直角坐标系xOy中，画出此函数的图象．
【分析】（1）利用配方法化简即可；
（2）将已知二次函数解析式计算y＝0时的值，可以直接得到答案；
（3）用“五点法”取值描点连线即可求解．
【解答】解：（1）y＝x2+2x﹣3＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴此函数图象与x轴交点的坐标为（﹣3，0），（1，0）；
（3）当x＝﹣3时，y＝0；当x＝﹣2时，y＝﹣3；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣3；当x＝1时，y＝0，
用上述五点描点连线得到函数图象如下：
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
20．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝6，BE＝1．求⊙O的半径．
【分析】设圆的半径是r，连接OC，由垂径定理得到CE＝CD＝3又OE＝r﹣1，由勾股定理得到r2＝（r﹣1）2+32，求出r＝5，即可得到答案．
【解答】解：设圆的半径是r，
连接OC，
∵弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝CD＝×6＝3，
∵BE＝1，
∴OE＝r﹣1，
∵OC2＝OE2+CE2，
∴r2＝（r﹣1）2+32，
∴r＝5，
∴⊙O的半径是5．
【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程．
21．（5分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（1，0）和B（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当1＜x＜4时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围．
【分析】（1）把A点和B点坐标分别y＝﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c，从而得到抛物线解析式；
（2）先把一般式化为顶点得x＝2时，y有最大值1，再计算出x＝1，y＝0；x＝4，y＝﹣3，从而得到当1＜x＜4时，y的取值范围．
【解答】解：（1）将点A（1，0）和B（0，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c得．
，
解得：，
∴这个二次函数的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）如图：
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴当x＝2时，y有最大值为1，
当x＝1时，y＝0，
当x＝4时，y＝﹣3，
∴当1＜x＜4时，函数值y的取值范围为：﹣3＜y＜1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，也考查了二次函数的性质．
22．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，，CD＝10．求AB的长．
【分析】过点D作DH⊥BC于点H，由矩形的判定和性质和三角函数的应用即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥BC于点H，
则csC＝，
∵csC＝，CD＝10，
∴CH＝6，
∴DH＝＝8，
∵AD∥BC，
∴∠B+∠A＝180°，
∵∠B＝90°，
∴∠A＝90°，
又∵∠DHB＝90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AB＝DH＝8．
【点评】此题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数定义是解题的关键．
23．（5分）已知某蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，即，其图象如图所示．
（1）求k的值；
（2）若用电器的电阻R为6Ω，则电流I为 6 A；
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流I不得超过10A，那么用电器的电阻R应控制的范围是 R≥3.6Ω ．
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I＝，结合点（9，4）在函数图象上，利用待定系数法即可求出k的值；
（2）I＝中，令R＝6，求出对应的I的值即可；
（3）将I≤10代入所求的函数解析式，即可确定电阻R的取值范围．
【解答】解：（1）设反比例函数式I＝，
∵把（9，4）代入反比例函数式I＝，
∴k＝9×4＝36；
（2）当R＝6Ω，I＝＝6（A），
故答案为：6；
（3）当I≤10A时，则≤10，
∴R≥3.6Ω，
故答案为：R≥3.6Ω．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，点F在AC的延长线上，．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝5，，求CE的长．
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理得到∠ADB＝90°，由等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠BAC，又∠CBF＝∠BAC，得到∠CBF＝∠BAD，推出∠CBF+∠ABC＝90°，因此直径AB⊥BF，即可证明直线BF是⊙O的切线；
（2）先求出BC的长，根据∠BAD＝∠CAD＝∠CBE可得出CE：BE＝1：2求出CE．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∵∠CBF＝∠BAC，
∴∠CBF＝∠BAD，
∵∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠CBF+∠ABC＝90°，
∴直径AB⊥BF，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：∵，∠CBF＝∠BAD，
∴tan∠BAD＝tan∠CAD＝，
∴设BD＝x，则AD＝2x，
∴AB＝＝，
∵AB＝5，
∴AD＝2，BD＝，
∴BC＝2，
∵∠CBE＝∠CAD，
∴，
设CE＝k，BE＝2k，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴，
解得k＝2，
即CE的长为2．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握切线的判定和性质．
25．（6分）投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手（点A处）到落地的过程中，其竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系．
小石进行了三次训练，每次实心球的出手点A的竖直高度为2m．记实心球运动路线的最高点为P，训练成绩（实心球落地点的水平距离）为d（单位：m）．训练情况如下：
根据以上信息，
（1）求第二次训练时满足的函数关系式；
（2）小石第二次训练的成绩d2为 10 m；
（3）直接写出训练成绩d1，d2，d3的大小关系．
【分析】（1）依据题意，抛物线过点（0，2），最高点P2（4，3.6），代入抛物线解析式（a＜0）进行计算可以得解；
（2）依据题意，由（1）第二次训练时满足的函数关系式y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6，令y＝0，进而可以得解；
（3）依据题意，对于，令y＝0，求出d3进而可以比较大小得解．
【解答】解：（1）由题意，抛物线过点（0，2），最高点P2（4，3.6），
又抛物线为（a＜0），
∴2＝a（0﹣4）2+3.6．
∴a＝﹣0.1．
∴第二次训练时满足的函数关系式y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6．
（2）由题意，由（1）第二次训练时满足的函数关系式y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6，
令y＝0，
∴0＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6．
∴x＝10或x＝﹣2（x＝﹣2不合题意，舍去）．
∴小石第二次训练的成绩d2为 10 m．
故答案为：10．
（3）由题意，∵，
令y＝0，
∴d3＝x＝7.76 m．
又d1＝8.39 m，d2＝10 m，d3＝7.76 m，
∴d3＜d1＜d2．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（3，3a+c）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点M（1﹣2a，y1），N（a+2，y2）在抛物线上．若c＜y1＜y2，求a的取值范围．
【分析】（1）点A在抛物线上，使用其坐标可解得b＝﹣2a，因此抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1；
（2）使用点M、N的坐标，可得y1、y2的代数式，然后解不等式组，即可求出a的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得：3a+c＝9a+3b+c，
化简得：b＝﹣2a；
该抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1；
（2）根据题意得：y1＝a（1﹣2a）2+（﹣2a）（1﹣2a）+c＝4a3﹣a+c，
y2＝a（a+2）2+（﹣2a）（a+2）+c＝a3+2a2+c；
∵c＜y1＜y2，
∴c＜4a3﹣a+c＜a3+2a2+c；
∴c＜4a3﹣a+c或4a3﹣a+c＜a3+2a2+c或c＜a3+2a2+c，
∵a＞0，解得a＞或a＜1或a＞﹣2，
∴不等式组的解集为：＜a＜1．
∴a的取值范围为：＜a＜1．
【点评】本题考查的是二次函数图象的有关内容，关键在于理解题意，列出关于a、b、c的等式或不等式，然后计算求解．
27．（7分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．D是边BA上一点（不与点B重合且BD＜BA），将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接DE，AE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）F是DE的中点，连接AF并延长，交CD的延长线于点G，依题意补全图形．若∠G＝∠ACE，用等式表示线段FG，AF，AE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）取AB的中点O，连接CO，构造△ACE≌△OCD即可解决问题：
（2）过点D作DH∥CO交CB于M点，构造△AFE≌△HFD即可解决问题．
【解答】解：（1）取AB的中点O，连接CO，如图：
在Rt△ACB中，ACB＝90°，
∴CO＝AB＝AO，
∵∠BAC＝60°，
∴△ACO是等边三角形，
∵线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，
∴CD＝CE，即△CDE是等边三角形，
∴∠ACO＝∠ECD＝60°，CA＝CO，
即∠ACE＝∠OCD，
∴△ACE≌△OCD（SAS）．
∴∠CAE＝∠COD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．
（2）FG＝AF+AE．
如图，过点D作DH∥CO交CB于M点，如图：
由 （1）可知：△ACE≌△OCD，
∴∠ACE＝∠OCD，
∵MH∥DC，
∴∠MDC＝∠OCD，
∵∠MDC＝∠HDG，∠ACE＝∠G，
∴∠HDG＝∠G，
∴HD＝HG，
∵F是DE的中点，
∴EE＝DF，
∵∠EAF＝∠DHF，∠AEF＝∠HFD，
∴△FE≌△HFD（AAS），
∴AE＝HD，AF＝HF，
∴FG＝HF+HG＝AF+AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和点C给出如下定义：若点C在弦AB的垂直平分线上，且点C关于直线AB的对称点在⊙O上，则称点C是弦AB的“关联点”．
（1）如图，点，．在点C1（0，0），C2（1，0），C3（1，1），C4（2，0）中，弦AB的“关联点”是 C1（0，0），C4（2，0） ；
（2）若点是弦AB的“关联点”，直接写出AB的长；
（3）已知点M（0，2），对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）运用弦AB的“关联点”的定义即可求得答案；
（2）根据“关联点”的定义可得C1（1，0），C2（﹣1，0），再运用勾股定理即可求得答案；
（2）根据点M（0，2），，结合“关联点”的定义和垂径定理，分别求得PQ的极值即可得出t的取值范围．
【解答】解：（1）∵点，，
∴直线AB的函数解析式为x＝，
由关联定义可知，若点C在弦AB的垂直平分线上，且点C关于直线AB的对称点在⊙O上，则称点C是弦AB的“关联点”．
∵点C1（0，0）关于直线AB的对称点D1（1，0）在⊙O上，
∴点C1（0，0）是弦AB的“关联点”，
∵点C2（1，0）关于直线AB的对称点D2（0，0）不在⊙O上，
∴点C2（1，0）不是弦AB的“关联点”，
∵点C3（1，1）不在弦AB的垂直平分线上，
∴点C3（1，1）不是弦AB的“关联点”，
∵点C4（2，0）关于直线AB的对称点D4（﹣1，0）在⊙O上，
∴点C4（2，0）是弦AB的“关联点”，
故答案为：C1（0，0），C4（2，0）；
（2）∵点是弦AB的“关联点”，
∴由关联定义可知，点C关于直线AB的对称点在⊙O上，
∴C1（1，0），C2（﹣1，0），如图，
∴AB＝2AD＝2＝2×＝，
或A1B1＝2A1D1＝2＝2×＝；
∴AB的长为或；
（3）如图，设MN交⊙O于K，当OS⊥MN于S时，设OS交⊙O于S′，作线段SS′的垂直平分线交⊙O于P、Q，OS′交PQ于E，连接OP，
在Rt△MNO中，MN＝＝＝，
∵∠OSN＝∠MON＝90°，
∴OS•MN＝OM•ON，
∴OS＝2×，
∴OS＝，SS′＝1﹣＝，
∵点E是SS′的中点，
∴SE＝SS′＝，
∴OE＝OS+SE＝+＝，
∴PE＝＝＝，
∵半径OS′⊥PQ，
∴t＝PQ＝2PE＝；
当点S沿线段NM运动到接近⊙O上时，PQ逐渐减小，
∴0＜t≤；
当点S与M重合时，则S′（0，﹣1），PQ与SS′互相垂直平分，如图，连接OP，
则SS′＝2﹣（﹣1）＝3，SE＝SS′＝，OP＝1，
∴OE＝SO﹣SE＝2﹣＝，
在Rt△OPE中，PE＝＝＝，
∴t＝PQ＝2PE＝，
当点S运动到点K时，如图，SS′经过点O，PQ与SS′互相垂直平分，
∴t＝PQ＝2，
综上所述，t的取值范围为0＜t≤或≤t≤2．
【点评】本题是圆的综合题，考查了最值问题，垂径定理，轴对称的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握新概念“关联点”是解题的关键．第一次训练
第二次训练
第三次训练
训练成绩
d1＝8.39m
d2
d3
最高点
P1（3，2.9）
P2（4，3.6）
P3（3，3.4）
满足的函数关系式
（a＜0）
第一次训练
第二次训练
第三次训练
训练成绩
d1＝8.39m
d2
d3
最高点
P1（3，2.9）
P2（4，3.6）
P3（3，3.4）
满足的函数关系式
（a＜0）