2022-2023学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）如果2x＝5y（y≠0），那么的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°．若，BC＝4，则AB的长为（ ）
A．2B．C．D．6
3．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB＝140°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40°B．50°C．70°D．140°
4．（2分）如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，AE与对角线BD交于点F．若AB＝5，BE＝3，则为（ ）
A．B．C．D．
5．（2分）将抛物线y＝（x﹣1）2+3向上平移2个单位长度，平移后的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+5B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x+1）2+3D．y＝（x﹣3）2+3
6．（2分）若圆的半径为9，则120°的圆心角所对的弧长为（ ）
A．3B．6C．3πD．6π
7．（2分）若二次函数y＝x2+2x﹣m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1B．m≥﹣1C．m＜1D．m≤1
8．（2分）如图，线段AB＝10cm，点P在线段AB上（不与点A，B重合），以AP为边作正方形APCD．设AP＝xcm，BP＝ycm，正方形APCD的面积为Scm2，则y与x，S与x满足的函数关系分别为（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）如图，在△ABC中，M，N分别为AB，AC的中点，若△AMN的面积是1，则△ABC的面积是 ．
10．（2分）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在AB边上，点E在AC边上且AD＜AE．只需添加一个条件即可证明△ABC∽△AED，这个条件可以是 （写出一个即可）．
11．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．若∠APB＝60°，OA＝2，则PB的长为 ．
12．（2分）抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴为直线 ．
13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点（1，y1），（4，y2）在反比例函数的图象上，则y1 y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
14．（2分）如图，线段AB，CD分别表示甲、乙建筑物的高，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，两座建筑物间的距离BD为35m．若甲建筑物的高AB为20m，在点A处测得点C的仰角α为45°，则乙建筑物的高CD为 m．
15．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝100°．若点D为⊙O上一点（不与点A，C重合），则∠ADC的度数为 ．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下面四个结论中，
①a＜0
②当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
③点B的坐标为（3，0）
④若点M（﹣1，y1），N（5，y2）在函数的图象上，则y1＞y2
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：．
18．（5分）如图，A是直线MN上一点，∠BAC＝90°，过点B作BD⊥MN于点D，过点C作CE⊥MN于点E．
（1）求证：△ADB∽△CEA；
（2）若，AD＝AE＝2，求CE的长．
19．（5分）已知：如图1，P为⊙O上一点．
求作：直线PQ，使得PQ与⊙O相切．
作法：如图2，
①连接OP；
②以点P为圆心，OP长为半径作弧，与⊙O的一个交点为A，作射线OA；
③以点A为圆心，OP长为半径作圆，交射线OA于点Q（不与点O重合）；
④作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接PA．
由作法可知AP＝AO＝AQ，
∴点P在以OQ为直径的⊙A上．
∴∠OPQ＝ °（ ）（填推理的依据）．
∴OP⊥PQ．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PQ是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．
20．（5分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”
用现代的语言表述如下，请解答：
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），顶点为C．
（l）直接写出点B，点C的坐标；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）若点P（0，n），Q（m，n）在此二次函数的图象上，则m的值为 ．
22．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，，BC＝10，求AC的长．
23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点A（﹣1，﹣6），一次函数y2＝kx﹣1（k≠0）的图象与y轴交于点B．
（1）求反比例函数的表达式并直接写出点B的坐标；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，都有y1＜y2，直接写出k的取值范围．
24．（6分）为了在校运动会的推铅球项目中取得更好的成绩，小石积极训练，铅球被推出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从铅球出手（点A处）到落地的过程中，铅球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
小石进行了两次训练．
（1）第一次训练时，铅球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），并直接写出小石此次训练的成绩（铅球落地点的水平距离）；
（2）第二次训练时，小石推出的铅球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣3.1）2+2.55．记小石第一次训练的成绩为d1，第二次训练的成绩为d2，则d1 d2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点且，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若，AB＝15，求CD的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，m）在抛物线y＝ax2+c（a＞0）上，抛物线与x轴有两个交点B（x1，0），C（x2，0），其中x1＜x2．
（1）当a＝1，m＝﹣3c时，求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）点D（x1+3，n）在抛物线上，若m＞n＞0，求x1的取值范围．
27．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，以点A为中心，将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接DE，BE．
（1）求∠DEB的度数；
（2）过点B作BF⊥DE于点F，连接CF，依题意补全图形，用等式表示线段DE与CF的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”．
（1）如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），则d＝ ．在点P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），中，矩形AOBC的“关联点”是 ；
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为（1，1）．若直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”，求b的取值范围；
（3）已知点M（1，0），．图形W是以T（t，0）为圆心，1为半径的⊙T，若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”，直接写出t的取值范围．
2022-2023学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）
1．（2分）如果2x＝5y（y≠0），那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵2x＝5y（y≠0），
∴＝，
故选：C．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．（2分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°．若，BC＝4，则AB的长为（ ）
A．2B．C．D．6
【分析】利用锐角三角函数关系得出答案即可．
【解答】解：∵，BC＝4，
∴sinA＝，
∴＝，
解得：AB＝6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数关系是解题关键．
3．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB＝140°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40°B．50°C．70°D．140°
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB＝∠AOB，再求出答案即可．
【解答】解：∵点A、B、C都在⊙O上，
∴∠ACB＝∠AOB＝×140°＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，注意：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．（2分）如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，AE与对角线BD交于点F．若AB＝5，BE＝3，则为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由菱形的性质得AD∥EB，DA＝AB＝5，则△DAF∽△BEF，所以＝＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，BE＝3，
∴AD∥BC，DA＝AB＝5，
∵AD∥EB，
∴△DAF∽△BEF，
∴＝＝，
故选：D．
【点评】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，由AD∥EB证明△DAF∽△BEF是解题的关键．
5．（2分）将抛物线y＝（x﹣1）2+3向上平移2个单位长度，平移后的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+5B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x+1）2+3D．y＝（x﹣3）2+3
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+3向上平移2个单位长度，平移后的抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2+3+2，即y＝（x﹣1）2+5，
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
6．（2分）若圆的半径为9，则120°的圆心角所对的弧长为（ ）
A．3B．6C．3πD．6π
【分析】直接利用扇形的弧长公式计算即可得出结论．
【解答】解：由题意知，r＝9，n＝120，
∴l＝＝＝6π，
故选：D．
【点评】此题主要考查了扇形的弧长公式，解本题的关键是熟记扇形的弧长公式．
7．（2分）若二次函数y＝x2+2x﹣m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1B．m≥﹣1C．m＜1D．m≤1
【分析】根据判别式Δ≥0即可求解．
【解答】解：∵若二次函数y＝x2+2x﹣m的图象与x轴有交点，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
∴22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m≥0，
∴m≥﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，理解函数图象与x轴交点的判断方法是求解本题的关键．
8．（2分）如图，线段AB＝10cm，点P在线段AB上（不与点A，B重合），以AP为边作正方形APCD．设AP＝xcm，BP＝ycm，正方形APCD的面积为Scm2，则y与x，S与x满足的函数关系分别为（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【分析】根据正方形的面积公式可得：S＝x2，则S与x满足的函数关系是二次函数关系，再根据AB＝10cm可得：y＝﹣x+10，成一次函数关系．
【解答】解：由题意得：S＝x2，x+y＝10，
∴y＝﹣x+10，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数和一次函数的定义，掌握正方形面积公式和线段的和差是解本题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）如图，在△ABC中，M，N分别为AB，AC的中点，若△AMN的面积是1，则△ABC的面积是 4 ．
【分析】根据三角形中位线定理得到MN∥BC，MN＝BC，得到△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵M、N分别是边AB、AC的中点，
∴MN∥BC，MN＝BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴＝，
∴S△ABC＝4S△ADE＝4×1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理的应用，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
10．（2分）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在AB边上，点E在AC边上且AD＜AE．只需添加一个条件即可证明△ABC∽△AED，这个条件可以是 ∠1＝∠C（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】利用相似三角形的判定可求解．
【解答】解：添加∠1＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
故答案为：∠1＝∠C（答案不唯一）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．
11．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．若∠APB＝60°，OA＝2，则PB的长为 2 ．
【分析】连接OP，根据切线的中线得到OB⊥PB，根据含30°角的直角三角形的性质求出OP，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接OP，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠APB＝60°，
∴OB⊥PB，∠OPB＝30°，
∴OP＝2OB＝4，
∴PB＝＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理、切线长定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
12．（2分）抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴为直线 x＝3 ．
【分析】把解析式化为顶点式可求得答案．
【解答】解：∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4
∴对称轴是直线x＝3，
故答案为：x＝3．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点（1，y1），（4，y2）在反比例函数的图象上，则y1 ＞ y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．
【解答】解：∵k＞0，
∴反比例函数y＝（k＞0）的图象在一、三象限，
∵4＞1＞0，
∴点A（1，y1），B（4，y2）在第一象限，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．
14．（2分）如图，线段AB，CD分别表示甲、乙建筑物的高，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，两座建筑物间的距离BD为35m．若甲建筑物的高AB为20m，在点A处测得点C的仰角α为45°，则乙建筑物的高CD为 55 m．
【分析】根据题意可得：AB＝DE＝20m，AE＝BD＝35m，∠CAE＝45°，∠AEC＝90°，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE＝35m，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
AB＝DE＝20m，AE＝BD＝35m，∠CAE＝45°，∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，CE＝AE•tan45°＝35（m），
∴CD＝DE+CE＝20+35＝55（m），
∴乙建筑物的高CD为55m，
故答案为：55．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝100°．若点D为⊙O上一点（不与点A，C重合），则∠ADC的度数为 80°或100° ．
【分析】分两种情况讨论，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可求出答案．
【解答】解：当点D为优弧AC上一点时，如图，
则∠B+∠D＝180°，
∵∠ABC＝100°，
∴∠D＝80°；
当点D为劣弧AC上一点时，如图，
则∠D＝∠B＝100°，
∠ADC的度数为80°或100°．
故答案为：80°或100°．
【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，关键是分类讨论．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下面四个结论中，
①a＜0
②当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
③点B的坐标为（3，0）
④若点M（﹣1，y1），N（5，y2）在函数的图象上，则y1＞y2
所有正确结论的序号是 ①④ ．
【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
故①正确；
∵抛物线对称轴是直线x＝1，
∴当﹣2＜x＜1时，y随x的增大而增大，
故②错误；
∵A（﹣2，0），对称轴是直线x＝1，
∴B（4，0），
故③错误；
∵1﹣（﹣1）＝2＜5﹣1＝4，
∴y1＞y2，
故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查二次函数图与系数的关系，二次函数的性质，关键是利用函数的图象和性质解答．
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：．
【分析】利用特殊角的三角函数值，算术平方根，乘方运算，绝对值的定义计算．
【解答】解：
＝2×﹣2﹣1+﹣1
＝﹣2﹣1+﹣1
＝﹣2．
【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，算术平方根，乘方运算，绝对值的定义．
18．（5分）如图，A是直线MN上一点，∠BAC＝90°，过点B作BD⊥MN于点D，过点C作CE⊥MN于点E．
（1）求证：△ADB∽△CEA；
（2）若，AD＝AE＝2，求CE的长．
【分析】（1）由BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，得∠ADB＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，则∠B＝∠EAC＝90°﹣∠BAD，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ADB∽△CEA；
（2）由勾股定理求得BD＝＝1，由△ADB∽△CEA，得＝，其中AD＝AE＝2，即可求得CE＝4．
【解答】（1）证明：∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠EAC＝90°﹣∠BAD，
∴△ADB∽△CEA．
（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝，AD＝AE＝2，
∴BD＝＝＝1，
∵△ADB∽△CEA，
∴＝，
∴CE＝＝＝4，
∴CE的长是4．
【点评】此题重点考查同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，根据同角的余角相等证明∠B＝∠EAC＝90°﹣∠BAD是解题的关键．
19．（5分）已知：如图1，P为⊙O上一点．
求作：直线PQ，使得PQ与⊙O相切．
作法：如图2，
①连接OP；
②以点P为圆心，OP长为半径作弧，与⊙O的一个交点为A，作射线OA；
③以点A为圆心，OP长为半径作圆，交射线OA于点Q（不与点O重合）；
④作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接PA．
由作法可知AP＝AO＝AQ，
∴点P在以OQ为直径的⊙A上．
∴∠OPQ＝ 90 °（ 直径所对的圆周角等于90° ）（填推理的依据）．
∴OP⊥PQ．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PQ是⊙O的切线（ 过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据作法画图；
（2）根据题中的证明过程填写理由．
【解答】（1）解：如图：
直线PQ即为所求；
（2）证明：连接PA，
由作法可知AP＝AO＝AQ，
∴点P在以OQ为直径的⊙A上．
∴∠OPQ＝90°（直径所对的圆周角等于90°），
∴OP⊥PQ．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PQ是⊙O的切线（过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线），
故答案为：90，直径所对的圆周角等于90°，过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
【点评】本题考查了作图和切线的判断，熟记圆中的有关定理是解题的关键．
20．（5分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”
用现代的语言表述如下，请解答：
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．
【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．
【解答】解：连接OC，
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE＝CD＝5寸，
设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得x＝13，
∴AB＝26寸，
答：直径AB的长为26寸．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），顶点为C．
（l）直接写出点B，点C的坐标；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）若点P（0，n），Q（m，n）在此二次函数的图象上，则m的值为 4 ．
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可以求得该函数与x轴的交点，将题目中的函数解析式化为顶点式即可直接写出该函数的顶点坐标；
（2）先求出抛物线与y轴的交点（0，3），再根据对称性求出（0，3）关于对称轴对称点的坐标，再用五点作图法做出函数图象；
（3）根据图象即可求出m的值．
【解答】解：（1）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝1，
∴A（1，0），B（3，0）；
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
顶点C坐标是（2，﹣1）；
（2）令x＝0，则y＝3，
∴抛物线与y轴的交点为（0，3），
∵抛物线对称轴为直线x＝2，
∴和（0，3）关于对称轴对称的点坐标为（4，3），
函数图象如图所示：
（3）由（2）可知，m＝4，n＝3，
故答案为：4．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
22．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，，BC＝10，求AC的长．
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据已知可设AD＝x，则BD＝4x，再在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义可得CD＝x，从而根据BC＝10，列出关于x的方程，进行计算可求出CD的长，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，tanB＝＝，
∴设AD＝x，则BD＝4x，
在Rt△ADC中，∠C＝60°，
∴CD＝＝＝x，
∵BC＝10，
∴BD+CD＝10，
∴4x+x＝10，
解得：x＝2，
∴CD＝2，
在Rt△ADC中，AC＝＝＝4，
∴AC的长为4．
【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点A（﹣1，﹣6），一次函数y2＝kx﹣1（k≠0）的图象与y轴交于点B．
（1）求反比例函数的表达式并直接写出点B的坐标；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，都有y1＜y2，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，由一次函数解析式即可求得点B的坐标；
（2）根据点（2，3）结合图象即可求得．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（﹣1，﹣6），
∴m＝﹣1×（﹣6）＝6，
∴反比例函数表达式为：y＝．
在直线y2＝kx﹣1（k≠0）中，令x＝0，则y＝﹣1，
∴B（0，﹣1）；
（2）把x＝2代入y＝得，y＝3，
把（2，3）代入y2＝kx﹣1得，3＝2k﹣1，
解得k＝2，
∵当x＞2时，对于x的每一个值，都有y1＜y2，
∴k≥2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
24．（6分）为了在校运动会的推铅球项目中取得更好的成绩，小石积极训练，铅球被推出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从铅球出手（点A处）到落地的过程中，铅球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
小石进行了两次训练．
（1）第一次训练时，铅球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），并直接写出小石此次训练的成绩（铅球落地点的水平距离）；
（2）第二次训练时，小石推出的铅球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣3.1）2+2.55．记小石第一次训练的成绩为d1，第二次训练的成绩为d2，则d1 ＜ d2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】（1）用待定系数法误差函数关系式，观察表格可得训练成绩；
（2）求出d2，结合（1）比较可得答案．
【解答】解：（1）把（0，1.6），（1，2.1），（8，0）代入y＝a（x﹣h）2+k得：
，
解得，
∴y＝﹣0.1（x﹣3）2+2.5，
由表格可知，当y＝0时，x＝8，
∴小石此次训练的成绩为8m；
（2）在y＝﹣0.09（x﹣3.1）2+2.55中，令y＝0得：
﹣0.09（x﹣3.1）2+2.55＝0，
解得x＝3.1+≈8.42或x＝3.1﹣（小于0，舍去），
∴d1＝8，d2≈8.42，
∴d1＜d2，
故答案为：＜．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点且，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若，AB＝15，求CD的长．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠CAD＝∠BAD，证明OD∥AE，根据平行线的性质得到OD⊥DE，根据切线的判定定理证明即可；
（2）根据圆内接四边形的性质得到∠ECD＝∠ABD，根据余弦的定义求出BD，进而求出CD．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵＝，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵四边形CABD为⊙O的内接四边形，
∴∠ACD+∠ABD＝180°，
∵∠ACD+∠ECD＝180°，
∴∠ECD＝∠ABD，
∴cs∠ABD＝＝，
∵AB＝15，
∴BD＝3，
∵＝，
∴CD＝BD＝3．
【点评】本题考查的是切线的判定、圆周角定理、解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，m）在抛物线y＝ax2+c（a＞0）上，抛物线与x轴有两个交点B（x1，0），C（x2，0），其中x1＜x2．
（1）当a＝1，m＝﹣3c时，求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）点D（x1+3，n）在抛物线上，若m＞n＞0，求x1的取值范围．
【分析】（1）直接将a＝1，m＝﹣3c，A（﹣2，m）代入抛物线解析式求解即可；
（2）利用二次函数的图象和性质求解即可．
【解答】解：（1）当a＝1，m＝﹣3c，将点A（﹣2，m）代入得：
﹣3c＝4+c，
解得：c＝﹣1，
故抛物线的解析式为：y＝x2﹣1，顶点坐标为（0，﹣1）；
（2）∵B（x1，0），C（x2，0）是抛物线y＝ax2+c（a＞0）与x轴的两个交点，x1＜x2，
∴ax+c＝0，x1＝﹣x2，
∵点A（﹣2，m ）在抛物线上，
∴A'（2，m）在抛物线上，
∵点D（x+3，n ）在抛物线上，
∴a（x+3）2+c＝n，
∴ax+6ax1+9a+c＝n，
∴n＝6ax1+9a，
∵n＞0，
∴6ax1+9a＞0，a＞0，
∴x1＞﹣，
又∵a＞0时，y随x的增大而增大，m＞n＞0，
∴x1+3＜2，
∴x1＜﹣1，
∴﹣＜x1＜﹣1．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质的运用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
27．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，以点A为中心，将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接DE，BE．
（1）求∠DEB的度数；
（2）过点B作BF⊥DE于点F，连接CF，依题意补全图形，用等式表示线段DE与CF的数量关系，并证明．
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，可得∠AED＝＝45°﹣α，∠AEB＝＝90°﹣α，故∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝45°；
（2）根据题意补全图形，过C作CG⊥CF交FD延长线于G，证明△BCF≌△DCG（AAS），得BF＝DG，CF＝CG，有FG＝CF，由∠DEB＝45°得△BEF是等腰直角三角形，可得EF＝DG，即得DE＝FG，故DE＝CF．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，
∴∠EAB＝α，AB＝AE，
∴AE＝AD，∠EAD＝90°+α，
∴∠AED＝＝45°﹣α，
∵AE＝AB，∠EAB＝α，
∴∠AEB＝＝90°﹣α，
∴∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝（90°﹣α）﹣（45°﹣α）＝45°；
（2）补全图形如下，线段DE与CF的数量关系为DE＝CF，
证明：过C作CG⊥CF交FD延长线于G，
∵BF⊥DE，
∴∠BFC+∠CFD＝90°，
∵CG⊥CF，
∴∠CFD+∠G＝90°，
∴∠BFC＝∠G，
∵∠BCD＝∠FCG＝90°，
∴∠BCF＝∠DCG，
∵BC＝CD，
∴△BCF≌△DCG（AAS），
∴BF＝DG，CF＝CG，
∴△FCG是等腰直角三角形，
∴FG＝CF，
由（2）知，∠DEB＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF＝BF，
∴EF＝DG，
∴EF+FD＝DG+FD，即DE＝FG，
∴DE＝CF．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”．
（1）如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），则d＝ 5 ．在点P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），中，矩形AOBC的“关联点”是 P2，P4 ；
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为（1，1）．若直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”，求b的取值范围；
（3）已知点M（1，0），．图形W是以T（t，0）为圆心，1为半径的⊙T，若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据所给的定义，对每一个点进行判断即可；
（2）由题意可得d＝DF＝2，过O点作OM垂直直线y＝x+b，交于点M，当ME＝2时，ON＝6，则﹣6≤b≤6时，直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”；
（3）由题意可得d＝2，当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于点L，交圆于点K，当KL＝2时，TM＝2，此时T（1﹣2，0）；当TM＝3时，T（﹣2，0），则1﹣2≤t≤﹣2时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”；当T点在x轴正半轴上时，当TM＝3时，此时T（4，0），当NT＝3时，3＝，解得t＝或t＝﹣（舍），则≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”．
【解答】解：（1）∵四边形AOBC是矩形，点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），
∴OC＝5，
∴d＝5，
∵P1（﹣1，0），
∴P1O＝1，
∴P1不是矩形AOBC的“关联点”；
∵P2（2，8），
∴P2到AC的距离为5，
∴P2是矩形AOBC的“关联点”；
∵P3（3，1），
∴P3到OB的距离为1，
∴P3不是矩形AOBC的“关联点”；
∵，
∴P4O＝5，
∴P4是矩形AOBC的“关联点”；
故答案为：P2，P4；
（2）∵D（1，1），四边形DEFG是正方形，
∴d＝DF＝2，
过O点作OM垂直直线y＝x+b，交于点M，
当ME＝2时，OM＝3，
∵∠MNO＝45°，
∴ON＝6，
∴﹣6≤b≤6时，直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”；
（3）∵⊙T是T（t，0）为圆心，1为半径的圆，
∴d＝2，
当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于点L，交圆于点K，
当KL＝2时，TL＝3，
∵M（1，0），，
∴ON＝，OM＝1，
∴tan∠OMN＝，
∴∠OMN＝60°，
∴TM＝＝2，
此时T（1﹣2，0），
当TM＝3时，OT＝2，
∴T（﹣2，0），
∴1﹣2≤t≤﹣2时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”；
当T点在x轴正半轴上时，当TM＝3时，此时T（4，0），
当NT＝3时，3＝，解得t＝或t＝﹣（舍），
∴≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”；
∴1﹣2≤t≤﹣2或≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”．
【点评】本题考查圆的综合应用，弄清定义，能够根据定义，结合矩形的性质，圆的性质，属性结合解题是关键．水平距离 x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
竖直高度 y/m
1.6
2.1
2.4
2.5
2.4
2.1
1.6
0.9
0
水平距离 x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
竖直高度 y/m
1.6
2.1
2.4
2.5
2.4
2.1
1.6
0.9
0