2023-2024学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了第四象限等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＞﹣3B．a＜﹣4C．a＞﹣bD．a＜﹣b
2．（2分）在△ABC中，∠C＝90°，则csA等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则所得表达式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣4B．y＝﹣（x﹣1）2+4
C．y＝﹣（x+1）2+2D．y＝﹣（x﹣1）2+2
4．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB＝30°，∠ABD＝40°，则∠APD的度数为（ ）
A．30°B．40°C．60°D．70°
5．（2分）如图，D是△ABC的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使△ACD∽△ABC，则这个条件不可以是（ ）
A．∠ADC＝∠ACBB．∠ACD＝∠BC．D．
6．（2分）对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．它的图象分布在第二、第四象限
B．点（﹣1，4）在它的图象上
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
7．（2分）已知．如图，
（1）连接AB；
（2）作弦AB的垂直平分线l1，分别交，弦AB于C，D两点；
（3）作线段AD，DB的垂直平分线l2，l3，分别交于E，F两点，交弦AB于G，H两点；
（4）连接EF．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．AG＝GD＝DH＝HBB．
C．l1∥l2∥l3D．EF＝GH
8．（2分）学习解直角三角形时，小明编了这样一道题：
已知：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，解这个直角三角形．
从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤：
①由∠B的度数，根据直角三角形的性质得到∠A的度数；
②由AC，BC的值，根据∠B的正切值得到∠B的度数；
③由AC，BC的值，根据勾股定理得到AB的值；
④由BC，AB的值，根据∠B的余弦值得到∠B的度数．
请你从中选择三个步骤并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，则下列排序错误的是（ ）
A．③④①B．④①③C．②①③D．③②①
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2分）若将抛物线y＝2x2向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为 ．
11．（2分）如图，直线AE，BF交于点O，AB∥CD∥EF．若OA＝1，AC＝2，CE＝4．则的值为 ．
12．（2分）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为15cm，蜡烛AB与凸透镜的距离BE为32cm，蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为8cm，则像CD的高为 cm．
13．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P＝76°，则∠ACB＝ °．
14．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，写出一个满足不等式ax2+bx+c＜﹣1的x的值，这个值可以是 ．
15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）在双曲线上，点B（﹣b，a）在双曲线上，则m+n的值为 ．
16．（2分）已知A（3，2），B（﹣1，﹣2）是抛物线上两点，下面有四个推断：
①该抛物线与x轴有两个交点；
②若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点一定在y轴的负半轴上；
③若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线x＝1右侧；
④若该抛物线开口向上，则在A，B两点中，点B到它的对称轴距离较小．
所有正确推断的序号是 ．
三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-21题，每题5分，第22题6分,第23-4题,每题5分,第25-26题,每题6分,第27-28题,每7分)
17．（5分）解不等式组：．
18．（5分）计算：|﹣2|﹣2tan60°．
19．（6分）已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式（2x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2的值．
20．（5分）如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝6，AC＝4，求AD的长．
21．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（2，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）直接写出y＞0时，x的取值范围．
22．（6分）在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为22.5°，向山的方向前进20m，在点C处测得山顶E的仰角为45°，已知观测点A，C到地面的距离AB＝1.7m，CD＝1.7m．求小山EG的高度（精确到0.1m）．（参考数据：，sin22.5°≈0.384，cs22.5°≈0.925，tan22.5°≈0.414）
23．（5分）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，．
（1）求证：∠COB＝∠DOB；
（2）若⊙O的半径为2，求OE，的长．
24．（5分）正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一，实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
小明进行了三次训练．
（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），并求出实心球着地点的水平距离d1；
（2）第二次、第三次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图所示，其中A，B分别为第二次、第三次训练抛物线的顶点．记小明第二、三次训练时实心球着地点的水平距离分别为d2，d3，则d1，d2，d3的大小关系为 ．
25．（6分）如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，CO的延长线交⊙O于点D，连接AD，BD，过点D作⊙O的切线交AO的延长线于点E．
（1）求证：DE∥AB；
（2）若⊙O的半径为3，tan∠ADC＝，求DE的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．
（1）若a＝1，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标；
（2）已知点（3﹣a，y1），（a+1，y2），（﹣a，y3）在该抛物线上，若y1，y2，y3中有且仅有一个大于0，求a的取值范围．
27．（7分）在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P是对角线AC上一点（不与点A重合），点E，F分别是边AB，AD上的点，且∠EPF＝60°，射线PE，PF分别与DA，BA的延长线交于点M，N．
（1）如图1，若点P与C重合，且PA平分∠EPF，求证：AM＝AN；
（2）连接BP，若∠ABP＝45°，BP＝3，且PA不平分∠EPF．
①依题意补全图2；
②用等式表示线段AM，AN的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：对于图形G1、G2，若存在常数d，使得图形G1上的任意一点P，在图形G2上至少能找到一个点Q，满足PQ＝d，则称图形G2是图形G1的“映图”，d是G1关于G2的“映距”．
（1）如图，点A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（﹣1，0），D（0，﹣1），E（0，4），F（4，0），G（0，5），H（5，0）．在线段CD，EF，GH中，线段AB的映图是 ．
（2）⊙O的半径为1．
①求⊙O关于直线的映距d的最小值；
②若直线y＝﹣x+m（m≠0）被坐标轴所截的线段是⊙O的映图，直接写出m的取值范围．
2023-2024学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＞﹣3B．a＜﹣4C．a＞﹣bD．a＜﹣b
【分析】由点在数轴上的位置分析选项可得答案．
【解答】解：A选项：由数轴的定义得左大右小，即a＜﹣3，该选项错误．
B选项：a点在﹣4的左侧，即a＞﹣4，该选项错误．
C选项：2＜b＜3，﹣3＜﹣b＜﹣2，故a在﹣b的左侧，即a＜﹣b，该选项错误．
D选项：正确．
故答案选D．
【点评】该题考查对数轴的理解，实数的相关概念及分类．
2．（2分）在△ABC中，∠C＝90°，则csA等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据余弦等于邻边比斜边列式即可得解．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，则csA＝．
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是关键．
3．（2分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则所得表达式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣4B．y＝﹣（x﹣1）2+4
C．y＝﹣（x+1）2+2D．y＝﹣（x﹣1）2+2
【分析】将所给二次函数表达式转化为顶点式即可．
【解答】解：由题知，
y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x2﹣2x+1）+1+3＝﹣（x﹣1）2+4．
即二次函数的表达式可写成：y＝﹣（x﹣1）2+4．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的三种形式，熟知二次函数解析式中的顶点式是解题的关键．
4．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB＝30°，∠ABD＝40°，则∠APD的度数为（ ）
A．30°B．40°C．60°D．70°
【分析】利用圆周角定理以及三角形的外角的性质解决问题．
【解答】解：∵∠ABD＝40°，
∴∠ACD＝∠ABD＝40°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠APD＝∠ACD+∠CAB＝70°，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
5．（2分）如图，D是△ABC的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使△ACD∽△ABC，则这个条件不可以是（ ）
A．∠ADC＝∠ACBB．∠ACD＝∠BC．D．
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【解答】解：若∠ADC＝∠ACB，且∠A＝∠A，则△ACD∽△ABC，故选项A不符合题意；
若∠ACD＝∠B，且∠A＝∠A，则△ACD∽△ABC，故选项B不符合题意；
若，且∠A＝∠A，则△ACD∽△ABC，故选项D不符合题意；
若，且∠A＝∠A，则无法证明△ACD∽△ABC，故选项C符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
6．（2分）对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．它的图象分布在第二、第四象限
B．点（﹣1，4）在它的图象上
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质即可逐一分析即可．
【解答】解：A、k＝4＞0，则图象位于第一、三象限，故不符合题意；
B、当x＝﹣1时，y＝﹣4，所以图象经过点（﹣1，﹣4），故不符合题意；
C、当x＞0时，y随x的增大而减小，故符合题意；
D、当x＜0时，y随x的增大而减小，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，属于基础题．
7．（2分）已知．如图，
（1）连接AB；
（2）作弦AB的垂直平分线l1，分别交，弦AB于C，D两点；
（3）作线段AD，DB的垂直平分线l2，l3，分别交于E，F两点，交弦AB于G，H两点；
（4）连接EF．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．AG＝GD＝DH＝HBB．
C．l1∥l2∥l3D．EF＝GH
【分析】理由根据线段垂直平分线和圆的性质判断即可．
【解答】解：由作图可知，AG＝DG＝DH＝BH，l1∥l2∥l3，四边形EFGH是矩形，
∴EF＝GH，
故选项A，C，D正确，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线的定义．
8．（2分）学习解直角三角形时，小明编了这样一道题：
已知：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，解这个直角三角形．
从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤：
①由∠B的度数，根据直角三角形的性质得到∠A的度数；
②由AC，BC的值，根据∠B的正切值得到∠B的度数；
③由AC，BC的值，根据勾股定理得到AB的值；
④由BC，AB的值，根据∠B的余弦值得到∠B的度数．
请你从中选择三个步骤并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，则下列排序错误的是（ ）
A．③④①B．④①③C．②①③D．③②①
【分析】根据题中所给的条件，得出可求出未知量的步骤即可解决问题．
【解答】解：因为题中给出AC和BC的长，
所以可先用勾股定理求出AB的长，或求出∠A（∠B）的正切值，进而得出∠A（∠B）的度数．
B选项将④放在第一步，
此时还未求出AB的值，
所以B选项的排序错误．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，熟知解直角三角形的一般步骤是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，解之即可求出x的取值范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义时被开方数是非负数．
10．（2分）若将抛物线y＝2x2向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为 y＝2（x﹣2）2 ．
【分析】根据函数图象平移的法则解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为y＝2（x﹣2）2．
故答案为：y＝2（x﹣2）2．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的法则是解题的关键．
11．（2分）如图，直线AE，BF交于点O，AB∥CD∥EF．若OA＝1，AC＝2，CE＝4．则的值为 ．
【分析】由CD∥EF，利用平行线分线段成比例，可得出＝，结合OC＝OA+AC＝3，CE＝4，即可求出结论．
【解答】解：∵CD∥EF，
∴＝，
又∵OA＝1，AC＝2，CE＝4，
∴OC＝OA+AC＝1+2＝3，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．
12．（2分）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为15cm，蜡烛AB与凸透镜的距离BE为32cm，蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为8cm，则像CD的高为 cm．
【分析】根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，
∵AB的高为15cm，BE为32cm，DE为8cm，
∴＝，
∴CD＝（cm），
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
13．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P＝76°，则∠ACB＝ 52 °．
【分析】连接OA，OB，由切线的性质推出∠PAO＝∠PBO＝90°，又∠P＝76°，即可求出∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣76°＝104°由圆周角定理得到∠ACB＝∠AOB＝52°．
【解答】解：连接OA，OB，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P＝76°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣76°＝104°
∴∠ACB＝∠AOB＝52°．
故答案为：52．
【点评】本题考查圆周角定理，切线的性质，关键是由切线的性质推出∠PAO＝∠PBO＝90°，由圆周角定理得到∠ACB＝∠AOB．
14．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，写出一个满足不等式ax2+bx+c＜﹣1的x的值，这个值可以是 1 ．
【分析】先求出y＝﹣1时的x的值，然后结合图象求解即可．
【解答】解：由图象可知，当y＝﹣1时，x1＝0，x2＝2.8，
∴当0＜x＜2.8时，y＜﹣1．
∴不等式ax2+bx+c＜﹣1的解为0＜x＜2.8，
∴满足不等式ax2+bx+c＜﹣1的x的值可以是1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．
15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）在双曲线上，点B（﹣b，a）在双曲线上，则m+n的值为 0 ．
【分析】由点A（a，b）在双曲线上，可得m＝ab，由点B（﹣b，a）在双曲线上，可得n＝﹣ab，然后得出答案．
【解答】解：∵点A（a，b）在双曲线上，点B（﹣b，a）在双曲线上，
∴m＝ab，n＝﹣ab，
∴m+n＝ab+（﹣ab）＝0；
故答案为：0．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，熟知反比例函数y＝（k≠0）的系数k＝xy是解题的关键．
16．（2分）已知A（3，2），B（﹣1，﹣2）是抛物线上两点，下面有四个推断：
①该抛物线与x轴有两个交点；
②若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点一定在y轴的负半轴上；
③若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线x＝1右侧；
④若该抛物线开口向上，则在A，B两点中，点B到它的对称轴距离较小．
所有正确推断的序号是 ①③④ ．
【分析】依据题意，设抛物线为y＝ax2+bx+c，从而．解得b＝1﹣2a，c＝﹣1﹣3a，再求出Δ＝b2﹣4ac＝1+16a2，进而可以判断①；依据题意，a＜0，从而c＝﹣1﹣3a＞﹣1，则它与y轴的交点可能在y轴下方或y轴上方，故可判断②；又b＝1﹣2a，从而＝﹣1，进而﹣＝﹣+1，再结合a＜0，可以判断③；若a＞0，从而对称轴直线x＝﹣＝﹣+1＜1，再分B（﹣1，﹣2）在对称轴右侧或左侧，结合增减性可以判断④．
【解答】解：由题意，设抛物线为y＝ax2+bx+c，
∴．
∴b＝1﹣2a，c＝﹣1﹣3a．
∴Δ＝b2﹣4ac＝（1﹣2a）2﹣4a（﹣1﹣3a）
＝1﹣4a+4a2+4a+12a2
＝1+16a2．
∵对于任意a都有a2≥0，
∴Δ＝1+16a2≥1＞0．
∴该抛物线与x轴有两个交点，故①正确．
∵a＜0，
∴3a＜0．
∴﹣3a＞0．
∴﹣1﹣3a＞﹣1．
∴c＝﹣1﹣3a＞﹣1．
∴它与y轴的交点可能在y轴下方或y轴上方．
∴②错误．
∵b＝1﹣2a，
∴＝﹣1．
∴﹣＝﹣+1．
∵a＜0，
∴对称轴直线x＝﹣＝﹣+1＞1．
∴它的对称轴在直线x＝1右侧，故③正确．
若a＞0，
∴对称轴直线x＝﹣＝﹣+1＜1．
∴当A（3，2），B（﹣1，﹣2）在对称轴右侧，y随x的增大而增大，显然B到它的对称轴距离较小；
当A（3，2），B（﹣1，﹣2）在对称轴两侧，又B关于直线x＝﹣对称的点﹣+1＜3，故B到它的对称轴距离较小．
∴④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-21题，每题5分，第22题6分,第23-4题,每题5分,第25-26题,每题6分,第27-28题,每7分)
17．（5分）解不等式组：．
【分析】分别解两个不等式得到x＞﹣1和x＜1，然后根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得x＜1，
所以不等式组的解集为﹣1＜x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
18．（5分）计算：|﹣2|﹣2tan60°．
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：|﹣2|﹣2tan60°
＝4×+1+2﹣2
＝2+1+2﹣2
＝3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
19．（6分）已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式（2x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2的值．
【分析】先根据完全平方公式和多项式乘多项式进行计算，合并同类项，求出x2﹣3x＝1，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（2x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2
＝2x2﹣2x+x﹣1﹣x2﹣2x﹣1
＝x2﹣3x﹣2，
∵x2﹣3x﹣1＝0，
∴x2﹣3x＝1，
∴原式＝1﹣2＝﹣1．
【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
20．（5分）如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝6，AC＝4，求AD的长．
【分析】（1）利用两角法证得结论；
（2）根据相似三角形的对应边成比例列出比例式，代入相关数值计算．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD．
∵∠B＝∠ACD，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴＝．
∵AB＝6，AC＝4，
∴AD＝．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
21．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（2，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）直接写出y＞0时，x的取值范围．
【分析】（1）依据题意，由二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（2，0），进而代入求出a，b即可得解；
（2）依据题意，由抛物线y＝x2﹣x﹣2开口向上，与x轴交点为A（﹣1，0），B（2，0），从而y＞0时，x的取值范围是图象在x轴上方部分对应的自变量的范围，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（2，0），
∴．
∴a＝1，b＝﹣1．
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）∵抛物线y＝x2﹣x﹣2开口向上，与x轴交点为A（﹣1，0），B（2，0），
∴y＞0时，x的取值范围是图象在x轴上方部分对应的自变量的范围．
∴x＜﹣1或x＞2．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
22．（6分）在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为22.5°，向山的方向前进20m，在点C处测得山顶E的仰角为45°，已知观测点A，C到地面的距离AB＝1.7m，CD＝1.7m．求小山EG的高度（精确到0.1m）．（参考数据：，sin22.5°≈0.384，cs22.5°≈0.925，tan22.5°≈0.414）
【分析】延长AC交EG于点H，根据三角形的外角性质得到∠CEA＝22.5°，得到∠CEA＝∠EAH，根据等腰三角形的判定求出EC，再根据中正弦的定义求出EH，进而求出EG．
【解答】解：如图，延长AC交EG于点H，
由题意得：AH⊥EG，
∵EG⊥BG，CD⊥BG，
∴四边形FGDC为矩形，
∴HG＝CD＝1.7m，HC＝GD，
∵∠ECH＝45°，∠EAH＝22.5°，
∴∠CEA＝∠ECH﹣∠EAH＝22.5°，
∴∠CEA＝∠EAH，
∴EC＝AC＝20m，
∵∠ECH＝45°，
∴EH＝EC•sin∠ECH＝20×＝10（m），
∴EG＝EH+HG＝10+1.7≈15.8（m），
答：小山EG的高度约为15.8m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．（5分）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，．
（1）求证：∠COB＝∠DOB；
（2）若⊙O的半径为2，求OE，的长．
【分析】（1）由垂径定理推出＝，由圆心角、弧、弦的关系推出∠COB＝∠DOB；
（2）由垂径定理推出＝，而＝，得到∠COD＝120°，由等腰三角形的性质求出∠C＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得到OE＝OC＝1，由弧长公式即可求出的长．
【解答】（1）证明：∵直径AB⊥CD，
∴＝，
∴∠COB＝∠DOB；
（2）解：∵直径AB⊥CD，
∴＝，
∵＝，
∴的度数＝×360°＝120°，
∴∠COD＝120°，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠D＝×（180°﹣120°）＝30°，
∵∠OEC＝90°，
∴OE＝OC＝×2＝1，
∵⊙O的半径为2，∠COD＝120°，
∴的长＝＝π．
【点评】本题考查垂径定理，弧长的计算，圆心角、弧、弦的关系，关键是由垂径定理推出＝，＝，掌握弧长公式．
24．（5分）正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一，实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
小明进行了三次训练．
（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），并求出实心球着地点的水平距离d1；
（2）第二次、第三次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图所示，其中A，B分别为第二次、第三次训练抛物线的顶点．记小明第二、三次训练时实心球着地点的水平距离分别为d2，d3，则d1，d2，d3的大小关系为 d2＜d1＜d3 ．
【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值；选出表格中的数据，利用待定系数法即可求出函数解析式；再令y＝0求出x的值即可；
（2）根据三次投掷实心球所得抛物线的对称轴和抛物线都过点（0，2），由函数的对称性得出结论．
【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为（4，3.6），
∴抛物线的解析式可表示为：y＝a（x﹣4）2+3.6，
∵当x＝0时，y＝2，
∴2＝a（0﹣4）2+3.6，
解得a＝﹣，
∴函数解析式为y＝﹣（x﹣4）2+3.6；
令y＝0，则﹣（x﹣4）2+3.6＝0，
解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
∴d1＝10，
∴实心球着地点的水平距离d1为10米；
（2）根据图象知，第二次、第三次抛物线的对称轴分别为直线x＝3.83和直线x＝4.07，
∵三次抛物线都过点（0，2），3.83＜4＜4.07，
∴小明第一、第二、三次训练时实心球着地点的水平距离d2＜d1＜d3，
故答案为：d2＜d1＜d3．
【点评】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，实数大小比较，解题的关键是读懂题意，能够从表格中获取有用信息列出函数关系式．
25．（6分）如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，CO的延长线交⊙O于点D，连接AD，BD，过点D作⊙O的切线交AO的延长线于点E．
（1）求证：DE∥AB；
（2）若⊙O的半径为3，tan∠ADC＝，求DE的长．
【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质推出OC⊥AB，由切线的性质得到OD⊥DE，即可证明DE∥AB；
（2）由tan∠ADC＝＝，令AC＝x，CD＝2x，得到OC＝2x﹣3，由勾股定理得到（2x﹣3）2+x2＝32，求出x＝，得到AC＝，OC＝2x﹣3＝，由锐角的正切定义得到＝，代入有关数据即可求出DE长．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵OB＝OA，点C为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵DE切圆于D，
∴OD⊥DE，
∴DE∥AB；
（2）解：∵tan∠ADC＝＝，
∴令AC＝x，CD＝2x，
∵⊙O的半径为3，
∴OA＝OD＝3，
∴OC＝2x﹣3，
∵OA2＝OC2+AC2，
∴（2x﹣3）2+x2＝32，
∴x＝，
∴AC＝，OC＝2x﹣3＝，
∵∠DOE＝∠AOC，
∴tan∠DOE＝tan∠AOC，
∴＝，
∴＝＝，
∴DE＝4．
【点评】本题考查切线是性质，勾股定理，解直角三角形，关键是由勾股定理得到（2x﹣3）2+x2＝32，求出AC，OC的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．
（1）若a＝1，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标；
（2）已知点（3﹣a，y1），（a+1，y2），（﹣a，y3）在该抛物线上，若y1，y2，y3中有且仅有一个大于0，求a的取值范围．
【分析】利用对称轴的公式x＝﹣求出对称轴，再令y＝0，求出A、B坐标；把x的值代入y中，得到y1大于0，从而求出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵a＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线的对称轴是：直线x＝﹣＝1，
当x2﹣2x﹣3＝0时，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
故答案为：对称轴是：直线x＝1，A（﹣1，0），B（3，0）．
（2）当x＝3﹣a时，y1＝4a2﹣12a+5；
当x＝a+1时，y2＝﹣3＜0；
当x＝﹣a时，y3＝4a2﹣4；
∵y1，y2，y3中有且仅有一个大于0，
∴分两种情况：
①当y1＝4a2﹣12a+5＞0，而y3＝4a2﹣4≤0时，
∵y1＝4a2﹣12a+5＞0，
令4a2﹣12a+5＝0，
∴（2a﹣5）（2a﹣1）＝0，
∴a1＝，a2＝，
∴a的取值范围是：a＜或a＞．
∵y3＝4a2﹣4≤0，
令4a2﹣4＝0，
∴a1＝1，a2＝﹣1，
∴a的取值范围是：﹣1≤a≤1，
故﹣1≤a＜；
②当y1＝4a2﹣12a+5＜0，而y3＝4a2﹣4≥0时，
∵y1＝4a2﹣12a+5＜0，
令4a2﹣12a+5＝0，
∴（2a﹣5）（2a﹣1）＝0，
∴a1＝，a2＝，
∴a的取值范围是：＜a＜．
∵y3＝4a2﹣4≥0，
令4a2﹣4＝0，
∴a1＝1，a2＝﹣1，
∴a的取值范围是：a≤﹣1或a≥1，
故1≤a＜．
综上所述，
a的取值范围是：﹣1≤a＜或1≤a＜．
故答案为：﹣1≤a＜或1≤a＜．
【点评】本题考查了抛物线的对称轴的求法，抛物线与坐标轴交点的坐标，以及抛物线大于0的求法，掌握解题方法是解题关键．
27．（7分）在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P是对角线AC上一点（不与点A重合），点E，F分别是边AB，AD上的点，且∠EPF＝60°，射线PE，PF分别与DA，BA的延长线交于点M，N．
（1）如图1，若点P与C重合，且PA平分∠EPF，求证：AM＝AN；
（2）连接BP，若∠ABP＝45°，BP＝3，且PA不平分∠EPF．
①依题意补全图2；
②用等式表示线段AM，AN的数量关系，并证明．
【分析】（1）由点P与C重合，且PA平分∠EPF，得∠ACE＝∠ACF，由菱形的性质得AB＝CB＝AD＝CD，∠D＝∠B＝60°，所以△ABC和△ADC都是等边三角形，则∠BAC＝∠DAC＝60°，所以∠CAM＝∠CAN＝120°，而AC＝AC，即可根据“ASA”证明△ACM≌△ACN，得AM＝AN；
（2）①按题中所给条件补全图形即可；
②作PH∠AB于点H，由∠BAC＝∠DAC＝60°，得∠PAM＝∠NAP＝120°，∠N+∠APF＝∠BAC＝60°，而∠APM+∠APF＝∠EPF＝60°，可证明∠APM＝∠N，所以△PAM∽△NAP，则＝，所以AM•AN＝AP2，因为∠ABP＝45°，BP＝3，所以＝sin45°＝，则HP＝BP，因为＝sin60°＝，所以AP＝＝BP＝，即可证明AM•AN＝6．
【解答】（1）证明：如图1，∵点P与C重合，且PA平分∠EPF，
∴∠ACE＝∠ACF，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AB＝CB＝AD＝CD，∠D＝∠B＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，
∴∠CAM＝180°﹣∠DAC＝120°，∠CAN＝180°﹣∠BAC＝120°，
∴∠CAM＝∠CAN，
在△ACM和△ACN中，
，
∴△ACM≌△ACN（ASA），
∴AM＝AN．
（2）解：①补全图形，如图2所示.
②AM•AN＝6，
证明：如图2，作PH∠AB于点H，则∠AHP＝∠BHP＝90°，
∵∠BAC＝∠DAC＝60°，
∴∠PAM＝∠NAP＝180°﹣60°＝120°，∠N+∠APF＝∠BAC＝60°，
∵∠APM+∠APF＝∠EPF＝60°，
∴∠APM+∠APF＝∠N+∠APF，
∴∠APM＝∠N，
∴△PAM∽△NAP，
∴＝，
∴AM•AN＝AP2，
∵∠ABP＝45°，BP＝3，
∴＝sin∠ABP＝sin45°＝，
∴HP＝BP，
∵＝sin∠BAC＝sin60°＝，
∴AP＝＝＝BP＝×3＝，
∴AP2＝（）2＝6，
∴AM•AN＝6．
【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：对于图形G1、G2，若存在常数d，使得图形G1上的任意一点P，在图形G2上至少能找到一个点Q，满足PQ＝d，则称图形G2是图形G1的“映图”，d是G1关于G2的“映距”．
（1）如图，点A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（﹣1，0），D（0，﹣1），E（0，4），F（4，0），G（0，5），H（5，0）．在线段CD，EF，GH中，线段AB的映图是 EF，GH ．
（2）⊙O的半径为1．
①求⊙O关于直线的映距d的最小值；
②若直线y＝﹣x+m（m≠0）被坐标轴所截的线段是⊙O的映图，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）利用“映图”的定义解答即可；
（2）①由题意画出图形，利用映距d的定义和圆的有关性质解答即可；
②利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：Ⅰ．当m＞0时，过点O作直线l⊥直线y＝﹣x+m，垂足为K，分别交⊙O与点M，N，设⊙O与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，F，利用①的方法求得⊙O关于直线y＝﹣x+m的映距d的最小值，再利用⊙O上的点到端点A，B的最小距离不小于d的最小值列式解答即可；Ⅱ．当m＜0时，同理解答即可．
【解答】解：（1）由题意：AB∥CD∥EF∥GH，平行线之间的距离相等，
∵若存在常数d，使得图形G1上的任意一点P，在图形G2上至少能找到一个点Q，满足PQ＝d，则称图形G2是图形G1的“映图”，
∴线段AB的映图大于或等于AB，且映距d的最小值为两条平行线段的距离，
∴线段AB的映图是：EF，GH．
故答案为：EF，GH；
（2）①过点O作直线l⊥直线，垂足为K，分别交⊙O与点M，N，如图，
则⊙O关于直线的映距d的最小值为NK，
设直线与坐标轴交于点A，B，
令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝3，
∴A（3，0），B（0，3），
∴OA＝OB＝3，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°．
∵OK⊥AB，
∴△OAK为等腰直角三角形，
∴OK＝OA＝3，
∴NK＝ON+OK＝1+3＝4，
∴⊙O关于直线的映距d的最小值为4．
②Ⅰ．当m＞0时，过点O作直线l⊥直线y＝﹣x+m，垂足为K，分别交⊙O与点M，N，设⊙O与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，F，如图，
则⊙O关于直线y＝﹣x+m的映距d的最小值为NK，
设直线与坐标轴交于点A，B，
令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝m，
∴A（m，0），B（0，m），
∴OA＝OB＝m，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°．
∵OK⊥AB，
∴△OAK为等腰直角三角形，
∴OK＝OA＝m．
∴NK＝ON+OK＝m+1．
∵直线y＝﹣x+m（m≠0）被坐标轴所截的线段是⊙O的映图，⊙O上的点到端点A，B的最小距离为CA＝EB＝m﹣1，
∴m﹣1≤m+1，
∴m≤4+2．
∵m＞0，
∴0＜m≤4+2．
Ⅱ．当m＜0时，过点O作直线l⊥直线y＝﹣x+m，垂足为K，分别交⊙O与点M，N，设⊙O与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，F，如图，
用同样的方法计算可得：﹣4﹣2≤m＜0．
综上，若直线y＝﹣x+m（m≠0）被坐标轴所截的线段是⊙O的映图，m的取值范围为0＜m≤4+2或﹣4﹣2≤m＜0．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
竖直高度y/m
2
2.7
3.2
3.5
3.6
3.5
3.2
2.7
2
1.1
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
竖直高度y/m
2
2.7
3.2
3.5
3.6
3.5
3.2
2.7
2
1.1