2023-2024学年北京市门头沟区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市门头沟区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共33页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）如果，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，向左平移1个单位长度，得到新的抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣3B．y＝（x+1）2+3
C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝（x﹣1）2+3
3．（2分）如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点A，B，C是网格线交点，则sin∠ABC＝（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）已知⊙O的半径为4，如果OP的长为3，则点P在（ ）
A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．不确定
5．（2分）若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形是（ ）边形．
A．5B．6C．7D．8
6．（2分）若点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x3＜x1D．x3＜x1＜x2
7．（2分）一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽AB为8cm，水的最大深度CD为2cm，则此管件的直径为（ ）
A．5cmB．8cmC．10cmD．12cm
8．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表：
有如下结论：
①抛物线的开口向上
②抛物线的对称轴是直线
③抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）
④由抛物线可知ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜3
其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）二次函数y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标为 ．
10．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AE＝1，EC＝2，则＝ ．
11．（2分）如图，在⊙O中，AB＝BC，∠BDC＝20°，则∠AOB的度数是 ．
12．（2分）如图，是小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点P处水平放置一个平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么城墙高度CD＝ 米．
13．（2分）写出一个二次函数，其图象满足：①开口向上；②对称轴为直线x＝1，这个二次函数的表达式可以是 ．
14．（2分）如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形OAPB的面积为 ．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则该圆弧的半径＝ ．
16．（2分）如图，已知E、F是正方形ABCD的边BC和CD上的两点，且AE＝AF，AB＝4，△AEF的面积S与CE的长x满足函数关系，写出该函数的表达式 ．
三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每个小题6分，第27～28题每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（5分）计算：．
18．（5分）如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，在AC边上找到一点E，使得△ADE与原三角形相似，请画出所有满足条件的图形，并说明理由．
19．（5分）下面是小李设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，⊙O及圆外一点P．
求作：过点P作⊙O的一条切线．
作法：①连接OP；
②作OP的垂直平分线，交OP于点A；
③以A为圆心，OA的长为半径作弧，交⊙O于点B；
④作直线PB．
即直线PB为所求作的一条切线．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）该作图中．可以得到∠OBP＝ °；
依据： ．
20．（5分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）求此二次函数图象的顶点坐标；
（2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标；
（3）当y＞0时，直接写出x的取值范围．
21．（5分）如图，点P（2，1）是反比例函数的图象上的一点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）设直线y＝kx与双曲线的两个交点分别为P和P′，当时，直接写出x的取值范围．
22．（5分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
23．（6分）永定楼是门头沟的标志性建筑，为测得永定楼的高度，小亮同学先站在点C的位置，视线（点B）与塔尖A的仰角是30°，水平向前走了42m到达点E的位置，此时的仰角是45°，已知小亮的眼睛距离地面1.7m，请计算永定楼的高度．（结果保留根号）
24．（6分）如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米．
请你解决以下问题：
（1）在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
（2）结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度；
（3）求起跳点A距离地面的高度；
（4）在上述的条件下，有一次表演，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功？
25．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F．
（1）求证：∠BAD＝∠DAE；
（2）若AB＝6，AD＝5，求DF的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝2，当x1、x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1+x2＞4，都有y1＜y2，求t的取值范围．
27．（7分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点C在△ABC外作射线CP，且∠ACP＝α，点A关于CP的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CP于点M，N．
（1）依题意补全图形；
（2）当α＝30°时，直接写出∠CNB的度数；
（3）当0°＜α＜45°时，用等式表示线段BN，CM之间的数量关系，并证明．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的任意点P（x，y），如果满足x+y＝a（x≥0，a≥0），那么我们称这样的点叫做“关联点”．
（1）如果点（2，3）是“关联点”，则a＝ ；
（2）如图1，当2≤a≤3时，在点A（1，2），B（1，3），C（2.5，0）中，满足此条件的“关联点”为 ；
（3）如图2，⊙W的圆心为W（3，2），半径为1，如⊙W上存在“关联点”，请画出示意图，并求出“关联点”的最小值．
2023-2024学年北京市门头沟区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）如果，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用比例的性质假设出未知数，进而得出答案．
【解答】解：∵＝，
设x＝2a，y＝3a，
∴＝＝，
故选：A．
【点评】此题主要考查了比例式的性质，正确用同一未知数表示各数是解题关键．
2．（2分）如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，向左平移1个单位长度，得到新的抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣3B．y＝（x+1）2+3
C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝（x﹣1）2+3
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可解题．
【解答】解：将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新的抛物线的表达式是y＝（x+1）2+3，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
3．（2分）如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点A，B，C是网格线交点，则sin∠ABC＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用勾股定理可以求得AB的长，从而可以求得sin∠ABC的值．
【解答】解：作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图所示，
由图可知，AD＝3，BD＝4，∠ADB＝90°，
∴AB＝＝5，
∴sin∠ABC＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数的知识解答．
4．（2分）已知⊙O的半径为4，如果OP的长为3，则点P在（ ）
A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．不确定
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为d，圆的半径r，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵OP＝3，r＝4，
∴OP＜r，
∴点P在圆内．
故选：A．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与圆的半径进行比较，进而得出结论．
5．（2分）若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形是（ ）边形．
A．5B．6C．7D．8
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得，
（n﹣2）×180°＝2×360，
解得：n＝6．
即这个多边形为六边形．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
6．（2分）若点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x3＜x1D．x3＜x1＜x2
【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出x1，x2，x3的大小关系，本题得以解决．
【解答】解：∵k＝﹣6＜0，
∴反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数的图象上，
∴点A（x1，﹣1）在第四象限，B（x2，2），C（x3，3）在第二象限，
∴x1＞0，x2＜x3＜0，
∴x2＜x3＜x1，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
7．（2分）一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽AB为8cm，水的最大深度CD为2cm，则此管件的直径为（ ）
A．5cmB．8cmC．10cmD．12cm
【分析】连接OB，先由垂径定理求出BC的长，再根据勾股定理求出OB的长，即可得到答案．
【解答】解：连接OB，如图所示：
由题意知，AB＝8cm，CD＝2cm，
则BC＝AB＝4cm，
设⊙O的半径为R cm，
则OB＝OD＝R，OC＝（R﹣2）cm，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+BC2，
∴R2＝（R﹣2）2+42，
解得R＝5cm，
∴此管件的直径为10cm，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
8．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表：
有如下结论：
①抛物线的开口向上
②抛物线的对称轴是直线
③抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）
④由抛物线可知ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜3
其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决．
【解答】解：由表格可知，该函数的对称轴是直线x＝＝，
∵x＞1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线的开口向上，故选项①②正确；
∵当x＝0时，y＝3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），故选项③正确；
∵x＝﹣2和x＝3时，y＝0，
∴当﹣2＜x＜3，y＜0，
∴ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜3，故选项④正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与不等式的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）二次函数y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标为 （1，3） ．
【分析】直接根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），
故答案为：（1，3）．
【点评】本题考查了抛物线的顶点坐标，牢记y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点为（h，k）是解题关键．
10．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AE＝1，EC＝2，则＝ ．
【分析】根据相似三角形的判定和性质计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．
11．（2分）如图，在⊙O中，AB＝BC，∠BDC＝20°，则∠AOB的度数是 40° ．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵AB＝BC，
∴＝，
∴∠AOB＝2∠BDC，
∵∠BDC＝20°，
∴∠AOB＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，理解定理是关键．
12．（2分）如图，是小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点P处水平放置一个平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么城墙高度CD＝ 8 米．
【分析】根据入射角与反射角的关系得到∠APB＝∠CPD，则可证明Rt△ABP∽Rt△CDP，然后利用相似比可计算出CD．
【解答】解：根据题意得∠APB＝∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴＝，即＝，
∴CD＝8m．
故答案为：8．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．
13．（2分）写出一个二次函数，其图象满足：①开口向上；②对称轴为直线x＝1，这个二次函数的表达式可以是 y＝2x2﹣4x（答案不唯一） ．
【分析】由抛物线开口向上可得y＝ax2+bx+c中a＞0，对称轴为直线x＝1，进而求解．
【解答】解：∵对称轴为直线x＝1，开口向上，
∴抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2﹣2＝2x2﹣4x，
故答案为：y＝2x2﹣4x（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
14．（2分）如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形OAPB的面积为 3 ．
【分析】根据矩形OAPB的面积与反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【解答】解：设点P的坐标为（a，b），
∵点P在反比例函数的图象上，
∴ab＝3，
∴矩形OAPB的面积为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握“在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|”是解题的关键．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则该圆弧的半径＝ ．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，连接OA，
∴OA＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
16．（2分）如图，已知E、F是正方形ABCD的边BC和CD上的两点，且AE＝AF，AB＝4，△AEF的面积S与CE的长x满足函数关系，写出该函数的表达式 S＝﹣x2+4x ．
【分析】证明Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），得出BE＝DF＝4﹣x，由S＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△CEF可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF＝4﹣x，
∴S＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△CEF，
∴S＝42﹣×4×（4﹣x）﹣×4（4﹣﹣x）﹣x2
＝﹣x2+4x．
故答案为：S＝﹣x2+4x．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每个小题6分，第27～28题每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（5分）计算：．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝﹣3﹣2×+1
＝﹣3﹣+1
＝﹣2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（5分）如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，在AC边上找到一点E，使得△ADE与原三角形相似，请画出所有满足条件的图形，并说明理由．
【分析】根据相似三角形的判定定理作出图形即可．
【解答】解：①过点D作DE∥BC交AC于点E，
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC；
②作∠ADE'＝∠C，
∵∠A＝∠A，∠ADE'＝∠C
∴△AE'D∽△ABC．
【点评】本题考查了作图﹣相似变换，相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
19．（5分）下面是小李设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，⊙O及圆外一点P．
求作：过点P作⊙O的一条切线．
作法：①连接OP；
②作OP的垂直平分线，交OP于点A；
③以A为圆心，OA的长为半径作弧，交⊙O于点B；
④作直线PB．
即直线PB为所求作的一条切线．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）该作图中．可以得到∠OBP＝ 90 °；
依据： 直径所对的圆周角等于90° ．
【分析】（1）按尺规作图的要求补全图形即可；
（2）由直径所对的圆周角等于90°，OP为⊙A的直径，得∠OBP＝90°，于是得到问题的答案．
【解答】解：（1）如图，补全图形.
理由：连接OB，∵OA＝PA，且OA为⊙A的半径，
∴OP为⊙A的直径，
∴∠OBP＝90°，
∵OB是⊙O的半径，且PB⊥OB，
∴直线PB为⊙O的切线．
（2）∵直径所对的圆周角等于90°，OP为⊙A的直径，
∴∠OBP＝90°，
故答案为：90，直径所对的圆周角等于90°．
【点评】此题重点考查尺规作图、基本作图“作线段的垂直平分线”、切线的判定与性质、直径所对的圆周角等于90°等知识，按尺规作图的要求正确地作出图形是解题的关键．
20．（5分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）求此二次函数图象的顶点坐标；
（2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标；
（3）当y＞0时，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）把一般式配成顶点式可得到抛物线的顶点坐标；
（2）解方程x2+2x﹣3＝0可得到抛物线与x轴的交点坐标；
（3）画出二次函数图象，利用函数图象写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标（﹣1，﹣4）；
（2）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1
∴抛物线与x轴的交点坐标为 （﹣3，0）、（1，0）；
（3）结合函数图象得x＜﹣3或x＞1时，y＞0．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
21．（5分）如图，点P（2，1）是反比例函数的图象上的一点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）设直线y＝kx与双曲线的两个交点分别为P和P′，当时，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）直接把P点坐标代入y＝，可求出m的值．从而确定反比例函数的解析式；
（2）根据反比例函数以及正比例函数的对称性求得P′的坐标，然后根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵点P（2，1）是反比例函数图象上的一点，
∴1＝，
解得，m＝2，
∴反比例函数表达式为y＝；
（2）∵直线y＝kx与双曲线y＝的两个交点分别为P和P′，P（2，1），
∴P′的坐标为（﹣2，﹣1），
当＞kx时，x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标满足两个函数的解析式，数形结合是解题的关键．
22．（5分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可；
（2）根据已知易证△ACD∽△CBD，然后进行解答即可．
【解答】（1）证明：∵＝，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．
23．（6分）永定楼是门头沟的标志性建筑，为测得永定楼的高度，小亮同学先站在点C的位置，视线（点B）与塔尖A的仰角是30°，水平向前走了42m到达点E的位置，此时的仰角是45°，已知小亮的眼睛距离地面1.7m，请计算永定楼的高度．（结果保留根号）
【分析】连接BD，作DH⊥AF于点H，根据等腰直角三角形的性质得到DH＝AH，根据正切的定义得到BH＝AH，根据列出列出方程，解方程求出AH，进而求出AF．
【解答】解：连接BD，作DH⊥AF于点H，
由题意可知：点B、D、H在同一条直线上，
在Rt△ADH中，∠ADH＝45°，
则DH＝AH，
在Rt△ABH中，∠ABH＝30°，
∵tan∠ABH＝，
∴BH＝＝＝AH，
∵BD＝42m，
∴AH﹣AH＝42，
解得：AH＝＝21+21，
则AF＝AH+HF＝21+21+1.7＝（21+22.7）
答：永定楼的高度为（21+22.7）m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（6分）如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米．
请你解决以下问题：
（1）在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
（2）结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度；
（3）求起跳点A距离地面的高度；
（4）在上述的条件下，有一次表演，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功？
【分析】（1）建立适当坐标系，用描点、连线做出函数图象；
（2）结合表中数据和函数图象直接得出结论；
（3）先用待定系数法求出函数解析式，再令d＝0，即可得出结论；
（4）先把d＝3时代入函数解析式求出h＝4.60≠3.40，得出此次表演不成功；再把h＝3.4代入函数解析式求出d的值即可．
【解答】解：（1）建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接，如图：
（2）结合表中所给的数据或所画的图象可知：
当d＝2.50时，h取得最大值4.75，
即演员身体距离地面的最大高度为4.75米；
（3）结合表中所给的数据或所画的图象可知：此抛物线的对称轴是d＝2.50，顶点坐标为（2.50，4.75），
∴设此抛物线为
h＝a（d﹣2.50）2+4.75（a≠O），
把（1.00，3.40）代入，得：
3.40＝a（1.00﹣2.50）2+4.75，
解得：a＝﹣0.60，
∴此抛物线为h＝﹣0.60（d﹣2.50）2+4.75，
当d＝0时，h＝﹣0.60×（0﹣2.50）2+4.75＝1.00，
即起跳点A距离地面的高度为1.00米；
（4）在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米，
由已知表格中的对应数据可知：d＝3.00时，h＝4.60≠3.40，
∴此次表演不成功，
当h＝3.40时，
3.40＝﹣0.60（d﹣2.50）2+4.75，
解得：d1＝1.00，d2＝4.00，
∴要调节人梯到起跳点A的水平距离为1.00米或4.00米才能成功．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据数据求出函数解析式．
25．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F．
（1）求证：∠BAD＝∠DAE；
（2）若AB＝6，AD＝5，求DF的长．
【分析】（1）连接OD，由ED为⊙O的切线，根据切线的性质得到OD⊥ED，由AB为⊙O的直径，得到∠ACB＝90°，根据平行线的判定和性质得到角之间的关系，又因为OA＝OD，得到∠BAD＝∠ADO，推出结论∠BAD＝∠DAE；
（2）连接BD，得到∠ADB＝90°，由勾股定理得到BD＝，根据三角函数的定义得到tan∠CBD＝tan∠BAD＝，由DF＝BD•tan∠CBD＝．
【解答】解：（1）连接OD，
∵ED为⊙O的切线，
∴OD⊥ED，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC∥ED，
∴∠ACB＝∠E＝∠EDO，
∴AE∥OD，
∴∠DAE＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠BAD＝∠DAE；
（2）连接BD，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝6，AD＝5，
∴BD＝，
∵∠BAD＝∠DAE＝∠CBD，
∴tan∠CBD＝tan∠BAD＝，
在Rt△BDF中，
∴DF＝BD•tan∠CBD＝．
【点评】本题考查了切线的性质，平行线的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是正确的作出辅助线．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝2，当x1、x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1+x2＞4，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性解决问题即可．
（2）由题意点（x1，0），（x2，0）连线的中垂线与x轴的交点的坐标大于2，利用二次函数的性质判断即可．
【解答】解：（1）由题意y1＝y2＝c，
∴x1＝0，
∵对称轴为直线x＝2，
∴M，N关于x＝2对称，
∴x2＝4，
∴x1＝0，x2＝4时，y1＝y2＝c．
（2）①当x1≥t时，恒成立．
②当x1＜x2≤t时，恒不成立．
③当x1＜t，x2＞t时，
∵抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1+x2＞4，都有y1＜y2，
当x1+x2＝4，且y1＝y2时，对称轴为直线x＝2，
∴满足条件的值为：t≤2．
方法二：
（1）∵ax2+bx+c＝c，
∴ax2+bx＝0，
∴x（ax+b）＝0，
∴x＝0或 ，
∵，
∴，
∵x1＜x2，
∴x1＝0，x2＝4；
（2）由题意可得：
ax2+bx+c＜ax2+bx1+c，
，
ax2﹣ax2+bx﹣bx2＜0，
a（x1﹣x2）（x1+x2）+b（x1﹣x2）＜0，
（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＜0，
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，
∴a（x1+x2）+b＞0，
∴x1+x2＞﹣，
∵x1+x2＞4，
∴，
∴．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27．（7分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点C在△ABC外作射线CP，且∠ACP＝α，点A关于CP的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CP于点M，N．
（1）依题意补全图形；
（2）当α＝30°时，直接写出∠CNB的度数；
（3）当0°＜α＜45°时，用等式表示线段BN，CM之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）依据题意即可求解；
（2）由∠3＝（18﹣2α﹣90°）＝15°，∠CNB＝∠1+∠3＝45°，即可求解；
（3）证明△NHB 为等腰直角三角形，得到，证明△CMA≌△BHC，即可求解．
【解答】解：（1）补图如下：
（2）∵点A关于CP的对称点为点D，
则CD＝CA＝CB，∠1＝∠2，
即∠3＝∠4，
∵α＝∠2＝30°，
则∠3＝（18﹣2α﹣90°）＝15°，
则∠CNB＝∠1+∠3＝45°；
（3）结论：，理由：
作BH⊥PC交PC的延长线于点H．
∵点A与点D关于CP对称，
∴CE是AD的垂直平分线．
∴CA＝CD．
∴∠1＝∠2＝α．
∵CA＝CB，
∴CB＝CD．
∴∠3＝∠4．
∵∠4＝90°，
∴，
∴∠CNB＝∠3+∠1＝α+45°﹣α＝45°，
∴△NHB 为等腰直角三角形，
∴，
∵∠5＝90°，CP是AD的垂直平分线，
∴∠2+∠7＝90°，∠2+∠6＝90°
∴∠6＝∠7，
∵BH⊥PH，
∴∠H＝90°＝∠AMC．
∴在△CMA和△BHC中，
，
∴△CMA≌△BHC（AAS）．
∴BH＝CM．
∴．
【点评】本题考查的是图形的几何变换，涉及到三角形全等、几何作图、点的对称性、等腰三角形的性质，有一定的综合性，难度适中．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的任意点P（x，y），如果满足x+y＝a（x≥0，a≥0），那么我们称这样的点叫做“关联点”．
（1）如果点（2，3）是“关联点”，则a＝ 5 ；
（2）如图1，当2≤a≤3时，在点A（1，2），B（1，3），C（2.5，0）中，满足此条件的“关联点”为 A，C ；
（3）如图2，⊙W的圆心为W（3，2），半径为1，如⊙W上存在“关联点”，请画出示意图，并求出“关联点”的最小值．
【分析】（1）根据“关联点”的定义可答答案；
（2）由2≤a≤3，可知A（1，2），C（2.5，0）是“关联点”．
（3）设⊙W上的点（x，y）为“关联点”，且满足x+y＝a（x≥0，a≥0），则y＝a﹣x，可得（x﹣3）2+（a﹣x﹣2）2＝1，即2x2﹣（2+2a）x+a2﹣4a+12＝0，当a最小时，⊙W与直线x+y＝a相切，有[﹣（2+2a）]2﹣4×2（a2﹣4a+12）＝0，即可解得答案．
【解答】解：（1）∵点（2，3）是“关联点”，
∴a＝2+3＝5，
故答案为：5；
（2）∵1+2＝3，1+3＝4，2.5+0＝2.5，
又∵2≤a≤3，
∴A（1，2），C（2.5，0）是“关联点”．
故答案为：A，C；
（3）如图：
设⊙W上的点（x，y）为“关联点”，且满足x+y＝a（x≥0，a≥0），则y＝a﹣x，
∵⊙W的半径为1，
∴（x，y）与M的距离为1，即（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，
∴（x﹣3）2+（a﹣x﹣2）2＝1，
整理得：2x2﹣（2+2a）x+a2﹣4a+12＝0，
当a最小时，⊙W与直线x+y＝a相切，
∴2x2﹣（2+2a）x+a2﹣4a+12＝0有两个相等实根，
∴[﹣（2+2a）]2﹣4×2（a2﹣4a+12）＝0，
解得a＝5+或a＝5﹣；
∴⊙W上存在“关联点”时，a的最小值为5﹣．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及新定义“关联点”，解题的关键是读懂题意，理解“关联点”概念．x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣2
﹣3
﹣3
﹣2
0
…
d（米）
…
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
…
h（米）
…
3.40
4.15
4.60
4.75
4.60
4.15
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣2
﹣3
﹣3
﹣2
0
…
d（米）
…
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
…
h（米）
…
3.40
4.15
4.60
4.75
4.60
4.15
…