精品解析：江西科技学院附属中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份精品解析：江西科技学院附属中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了 已知，且，则角是， 设集合，函数的定义域为，则为， 函数零点存在的区间为， 若，则下列不等式一定成立的是，，，，，，}共18个样本点，等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟；卷面分数：150分；命题人：高一数学备课组
一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，且，则角是（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角
C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】A
【解析】
分析】由条件得到判断.
【详解】解：因为，且，
所以，
所以是第一象限角，
故选：A
2. 设集合，函数的定义域为，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】函数的定义域由解得，进而运用交集定义运算即可.
【详解】要使有意义，需满足，解得，
所以，
又集合，所以.
故选：D．
3. 函数零点存在的区间为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】函数在上单调递增，，的零点所在区间为，故选C.
4. 把液体放在冷空气中冷却，如果液体原来的温度是，空气的温度是，则min后液体的温度可由公式求得．把温度是的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和所用时间分别为min，min，则的值约为（ ）
（参考数据）
A. 2.7B. 3.7C. 4.7D. 5.7
【答案】B
【解析】
【分析】根据题目给的温度公式，代入计算即可.
【详解】由已知，，
所以，，
所以.
故选：.
5. 经过班干部初选后，需从四位同学中（恭喜你，你也在其中）随机确定二个同学分别担任班长与学习委员，则你当上班长的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】对于每个同学而言，当上班长的概率都相等，故你当上班长的概率为.
故选：C.
6. 某公司有营销部门、宣传部门以及人事部门，其中营销部门有50人，平均工资为5千元，方差为4，宣传部门有40人，平均工资为3千元，方差为8，人事部门有10人，平均工资为3千元，方差为6，则该公司所有员工工资的方差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出总的平均工资，再根据分层抽样的方差公式求解即可.
【详解】所有人的平均工资为千元，
故该公司所有员工工资的方差为.
故选：D
7. 已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性与单调性，根据函数性质，把函数不等式转化为代数不等式在给定区间恒成立，从而求参数的取值范围.
【详解】因为，
所以函数为奇函数.
又因为函数，，都是上的增函数，所以也是上的增函数.
所以.
所以问题转化为：当时，即恒成立.
设，由时，恒成立得：
.
故选：A
8. 某药品企业研发了一个新药，其药效（单位：药物单位）与某活性成分AHH的含量（单位：mg）近似满足函数关系，为检查其质量，现抽查了8个样本，得到某活性成分AHH的含量的平均为4mg，标准差为2mg，则药效的平均值为（ ）
A. 8B. 6C. 5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据公式求解，需先根据条件求.
【详解】由题意：， ，
则
即，
所以.
所以
.
故选：A
二、多选题：每小题6分，共18分.每小题全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分
9. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据作差法判断AC的真假，利用指数函数、幂函数的单调性判断B的真假；利用特例验证D的真假.
【详解】对A：因为，所以.故A正确；
对B：因为，且函数在上单调递减，所以，
又幂函数y=xbb>0在上单调递增，所以，所以，故B正确；
对C：因为，所以，所以，故C正确.
对D：令，，则，，则，所以不一定成立，故D错误.
故选：ABC
10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（ ）
A. 与是互斥事件B. 与互为对立事件
C. 发生的概率为D. 与不相互独立
【答案】BC
【解析】
【分析】根据互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义以及结合古典概型的计算公式判断即可.
【详解】由题意，不放回地随机取两次，共有种情况，
= {(2，1)，(2，3)，(2，4) ，(2，5)，(2，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6) ，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}共15个样本点，
= {(2，1)， (3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(1，3)，(2，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(1，5)，(2，5)，(3，5)，(4，5) ，(6，5)}共15个样本点，
故，故C正确;
事件与可以同时发生，不是互斥事件，故A错误;
= {(1，3)，(1，5) ，(2，4)，(2，6)，(3，1)，(3，5)，(4，2)，(4，6)，(5.1)，(5，3) ，(6，2)，(6，4)}共12个样本点，
故，
D = {(1，2)，(1 ，4)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，1)，(4，3) ，(4，5).(5，2)，(5.4)，(5，6)，(6，1)，(6，3)，(6，5)}共18个样本点，
所以C与D互为对立事件，故B正确;
事件BC = {(3，1)， (5，1)，(1，3)，(5，3)，( 1，5)，(3，5)}共6个样本点，
所以，所以B与C相互独立，故不D正确.
故选：BC.
11. ，下列说法正确的有（ ）
A. 的减区间为
B. 的值域为
C. 若有3个零点，则
D. 若有5个零点，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的解析式，可画出函数草图，利用函数草图，可轻松判断ABC的真假；再结合分类讨论思想的应用，判断D的真假.
【详解】函数的草图如下：
由图象可知： 函数的减区间为和两个，不能用“并集”符号连接，故A错误；
函数值域为，故B正确；
若有3个零点，则，故C正确；
对D：结合函数草图：由或；
由或，解得：或或.
设，由题意方程有5个不同的根.
由，
若，则只有1解，且，此时方程有3个解；
若，则有2解，且或，
此时方程有3个解，方程也有3个解，所以方程有6个解；
若，则有3解，且，，，
此时方程有1个解，方程有3个解，方程也有3个解，所以方程有7个解；
若，则有3解，且或或，
此时方程有1个解，方程有3个解，方程有和两个解，所以方程有6个解；
若，则有3解，且，，，
此时方程有1个解，方程有3个解，方程有1个解，所以方程有5个解；
若，则有2解，且或，
此时方程有，共2个解，方程有1个解，所以方程有3个解；
若，则有1解，且，此时方程至多有1个解.
综上：若有5个零点，则.故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据弧度值的定义，结合扇形面积公式求解即可.
【详解】由题意，，故这个扇形的半径，面积为.
故答案为：
13. 某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意得到，再利用古典概型公式求解即可．
【详解】因为，所以这8人成绩第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即，
若在这8人中随机选取两人，共有28种情况，分别是，，，，，，，
其中两人的成绩都低于的情况有6种，
分别为，
所以在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为.
故答案为：．
14. 已知，且，则的最大值为__________．
【答案】e
【解析】
【分析】由，两边取对数得到，再设，两边取对数，利用基本不等式求解.
【详解】由，，
两边取对数得到，
设，两边取对数得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，的最大值为e，
故答案为：e.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知．
（1）化简；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）根据诱导公式将所求角转化为已知角求解即可.
【小问1详解】
，
，
则；
【小问2详解】
由（1）得，，则，
又，
故．
16. 古人云：“腹有诗书气自华．”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起．某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调查，统计了他们一周课外读书时间（单位：h）的数据如下：
（1）根据表格中提供的数据，求的值，学校将对读书时间更长的前的同学授予“读书积极分子”称号，请估算至少一周课外读书时间多长时，才能获得此荣誉．
（2）如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人．
①求每层应抽取的人数；
②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率．
【答案】（1），，；h．
（2）①2，5，13；②．
【解析】
【分析】（1）根据频率分布表的性质，可列式，可求的值；再根据百分位数的概念求数据的第75百分位数.
（2）①根据分层抽样的概念确定各层抽取的人数；
②利用古典概型的概率计算方法求相应的概率.
【小问1详解】
由题意可得，，；
设一周读书时间的前位数为，
因为，
.
所以一周读书时间的前位数.
且.
即一周的读书时间超过h，才能获得“读书积极分子”荣誉．
【小问2详解】
（ⅰ）由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为，
又，，的频数分别为20，50，130，
所以从，，三层中抽取的人数分别为2，5，13．
（ⅱ）由（ⅰ）知，在，两层中共抽取7人，
设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为；
若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，
其中2人不在同一层的情况为，，，，，，，，，共10种．
设事件为“这2人不在同一层”，
则由古典概型的概率计算公式得．
17. 已知二次函数满足，且，函数．
（1）求函数的解析式；
（2）记函数．
（ⅰ）若，求实数的值；
（ⅱ）求在区间上的最大值．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【解析】
【分析】（1）设出二次函数的解析式，利用待定系数法求出解析式.
（2）（ⅰ）由（1）求出函数，代入求解方程即得；（ⅱ）求出函数，换元并结合指数型复合函数单调性求出新元的范围，再利用二次函数求出最大值.
【小问1详解】
设二次函数，，由，
得，整理得，
则，解得，，则，由，得，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
（ⅰ）由，得，
函数，．
则，由，得，令，
则，整理得，而，解得，即，解得，
所以.
（ⅱ）由（ⅰ）得
，
令，函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增，
当时，，，
当且仅当时取等号，所以的最大值为.
18. 甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；点球大战甲队获胜的概率为，且不同对阵的结果互不影响．
（1）若甲队先主场后客场，且，
（ⅰ）求甲队通过点球大战获得冠军的概率；
（ⅱ）求甲队获得冠军的概率；
（2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，点球大战甲队获胜的概率为．问哪种赛制更有利于甲队夺冠？
【答案】（1）（i）；（ii）
（2）“主客场比赛制”比“单场比赛制”更利于甲夺冠.
【解析】
【分析】（1）（i）事件包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜，分三种情况，求出概率相加得到答案；
（ii）甲队获得冠军包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜，分四种情况，求出概率，相加即可；
（2）在“单场比赛制”下，甲队获得冠军包含甲队胜、甲队平同时点球胜，计算出相应的概率，结合（1）中所求甲队获得冠军的概率，作差法比较出结论.
【小问1详解】
（i）记甲队通过点球大战获得冠军为事件，
此事件包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜，
故，
因为，所以，
所以甲队通过点球大战获得冠军的概率为.
（ii）记甲队获得冠军为事件，
事件包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜，
所以，
将代入得，，
所以甲队获得冠军的概率为
【小问2详解】
由题意，记在“单场比赛制”下，甲队获得冠军为事件，
事件包含甲队胜、甲队平同时点球胜，
所以，
因为，所以，此时满足题意，
，
因为，所以，
故“主客场比赛制”比“单场比赛制”更利于甲夺冠.
19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．
（1）判断函数否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；
（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”．若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）通过特例说明函数不是“依赖函数”.
（2）根据“依赖函数”的概念探索的关系，再结合二次函数求的取值范围.
（3）先根据“依赖函数”的概念确定的值，再结合二次函数在给定区间上恒成立的问题和函数的单调性求实数的最大值.
【小问1详解】
对于函数的定义域内存在，
则，故不是“依赖函数”．
小问2详解】
因为在递增，
故，即，，
由，故，得，
从而，
设，
当时，函数单调递增，
故.
【小问3详解】
由，故上单调递增，
所以，解得或（舍）.
所以存在，使得对任意的，有不等式都成立，
即恒成立，
由，
得，由，可得，
又在单调递增，
故当时，，
从而，解得，
综上，故实数的最大值为．
一周课外读书时间/h
合计
频数
4
6
10
12
14
24
48
32
频率
0.02
0.03
0.05
0.06
0.07
0.12
0.25
0.16
1