精品解析：江西省九江第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份精品解析：江西省九江第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过解一元二次不等式以及对数型函数的定义域求出集合和，再求交集即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：B.
2. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断单调性,再根据零点存在定理将端点值代入,即可判断零点所在区间.
【详解】解:由题知,
由于均为单调递增,
所以随着的增大也增大,故在单调递增,
,
根据零点存在定理,
零点在区间内.
故选:C
3. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A. [-4，1]B. [-3，1]C. [-3，1）D. [-4，1）
【答案】D
【解析】
【分析】由复合函数的定义求定义域，同时注意分母不为0．
【详解】由解得，又，得.
故选：D．
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小.
【详解】由对数函数的图像与性质可得
，
，
，
所以，
故选：A.
5. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ）
A. 若，是对立事件，则
B. 若，是互斥事件，，则
C. 若，且，则，是独立事件
D. 若，是独立事件，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D.
【详解】对于A，若是对立事件，则，A错误；
对于B，若是互斥事件，，则，B错误；
对于C，，则，，
又，则是独立事件，C正确；
对于D，若是独立事件，则是独立事件，而，
则，D错误.
故选：C
6. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知判断得出函数的奇偶性，结合时，函数值的正负，即可得出答案.
【详解】由已知的定义域为，关于原点对称，
且，所以是偶函数，故C、D错误；
当时，，所以，故B错误.
故选：.
7. 已知，且，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先由在R上单调递增求得的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得.
【详解】由在上单调递增，得，解得，
故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A.
8. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的定义域，由单调性求出a的范围，再由函数在上有意义，列式计算作答.
【详解】函数定义域为，，
因在，上单调，则函数在，上单调，而函数在区间上单调递减，
必有函数在上单调递减，而在上递增，则在上递减，于得，解得，
由，有意义得：，解得，因此，，
所以实数的取值范围是.
故选：C
二、多选题
9. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（ ）
A. 数据的平均数为13
B. 数据的方差为12
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意可得，，利用平均数的性质可得A；利用方差的性质计算可得B：由即可得C；结合方差与平均数计算即可得D.
详解】依题意，，，
对A：，故A正确:
对B：依题意，，
所以数据的方差为：
，故B错误；
对C：，故C正确;
对D：由
，解得，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ）
A. 直线是的对称轴
B. 是的对称中心
C.
D. 不等式的解集为
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意可得图象的对称轴为直线，即可判断A，B；结合对称性可得在上单调递减，从而，即可判断C；由不等式结合的对称性及单调性，可得，解不等式即可判断D．
【详解】因为为偶函数，其图象关于轴对称，所以图象的对称轴为直线，故A正确，B错误；
又在上单调递增，所以在上单调递减，所以，故C错误；
由不等式结合的对称性及单调性，得，即，即，解得或，所以不等式的解集为，故D正确，
故选：AD．
11. 已知函数若函数有四个零点，从小到大依次为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的最小值为4
C. D. 方程最多有10个不同实根
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意结合图象分析可知：，且，根据指数函数性质结合基本不等式分析判断A；根据对数函数性质结合基本不等式分析判断B；根据题意结合函数单调性分析判断C；令，方程化为，讨论的取值范围，结合图象分析判断D.
【详解】由，得，
函数的零点，即为的图象与直线交点的横坐标，
如图，作出函数的图象.
如图，，且，
对于A，由，得，
整理得，即，则，故A正确；
对于B，由，得，
则，整理得，解得，故B错误；
对于C，由，得，解得，
则，，
因函数在上单调递增，则函数在上单调递增，
且，因此，故C正确；
对于D，方程，即，令，则，而，
①若，则方程无实根，即方程无实根，方程无实根；
②若，则方程有2个不相等的实根，且有2个不相等的实根；
有3个不相等的实根，方程有5个不相等的实根；
③若，则方程有4个不相等的实根满足：，
且无实根，有4个不相等的实根，或均有3个不相等的实根，
因此方程有10个不相等的实根；
④若，则方程有4个不相等的实根满足：，
且无实根，或或均有3个不相等的实根，
因此方程有9个不相等的实根；
⑤若，则方程有3个不相等的实根满足：，
且无实根，或均有3个不相等的实根，
因此方程有6个不相等的实根；
综上，方程最多有10个不同的实根，D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法：
①转化为两个常见的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式（方程）求解；
②分离参数、转化为求函数的值域问题求解．
三、填空题
12. 当且时，函数的图象一定经过定点___________
【答案】
【解析】
【分析】令可求出定点.
【详解】令，可得当时，，所以图象一定经过定点.
故答案为：.
13. 已知函数，且关于的不等式的解集为．当时，恒成立，则实数k的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据韦达定理求，再根据根据参变分离，转化为最值问题，求实数的取值范围.
【详解】由题意可知，的解集为，
则方程的根为1和4，所以，即，
即，
所以，恒成立，
即，，
当时，单调递减，，
所以.
故答案为：
14. 定义在上的函数满足，对任意的，恒有，则关于x的不等式的解集为________
【答案】
【解析】
【分析】设，由已知不等式得函数是增函数，即得是增函数，又由函数表达式得函数为奇函数，不等式转化为的函数不等式，利用奇偶性变形，再由单调性可解．
【详解】设，
因为对任意的，恒有，
所以函数在上为增函数，则在上为增函数，
又，而，所以，
所以为奇函数，综上，为奇函数，且在上为增函数，
所以不等式等价于，
即，亦即，
可得，解得．
故答案为：．
四、解答题
15. 已知集合，集合.
（1）若；求实数m的取值范围；
（2）命题，命题，若p是q的充分条件，求实数m的取值集合.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）讨论或，根据列不等式组即可求解.
（2）由题意得出A⊆B，再由集合的包含关系列不等式组即可求解.
【小问1详解】
∵，∴当时，m－1≥m2，解得：m∈∅.
当时，m－1≥4或m2≤2，∴或.
【小问2详解】
∵x∈A是x∈B的充分条件，∴A⊆B，
∴，解得：m≤－2或2≤m≤3.
所以实数m的取值集合为或
16. 某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分．现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为 [ 40,50），[ 50,60），[ 60,70），[ 70,80），[ 80,90），[ 90,100 ]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求m的值，并求这100名学生成绩的平均数和中位数（保留一位小数）；
（2）现采用分层抽样的方式从 [ 50,60）和 [ 70,80）的学生中抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者分数差大于10分的概率．
【答案】（1），平均数为72分 ，中位数为 分
（2）
【解析】
【分析】（1）利用个小矩形面积之和为1求解，再利用平均数和中位数的公式求解即可；
（2）先求出每个区间抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式求解即可.
【小问1详解】
，解得，
平均数，
中位数为 分；
【小问2详解】
在[ 50，60）中抽取人，记为；
在[ 70，80）中抽取人，记为. 所有的取法为：共15种.
，满足条件的有共8种.
所求概率为.
17. 在某次学科知识竞赛的初赛中，共有两道试题，两道题都答对者才能进入决赛．现有甲、乙、丙三名学生去参加初赛，他们答对第一题的概率分别是，，，答对第二题的概率分别是，，．已知甲和丙都答对第一题的概率为，且他们三人是否答对各道题之间是互不影响的．
（1）求甲进入决赛的概率；
（2）求甲、乙、丙这三名学生中恰有两人进入决赛的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据独立事件乘法公式计算即可；
（2）应用独立事件乘法公式结合对立事件及互斥事件的概率公式计算求解.
【小问1详解】
由题知：甲和丙都答对第一题的概率为，则；
记“甲进入决赛”为事件，由题知：；
【小问2详解】
记“乙进入决赛”为事件，记“丙进入决赛”为事件，
由题知：；；
则甲、乙、丙三位学生中恰有两人进入决赛的概率为
.
18. 已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性并证明；
（3）若关于的不等式在有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）减函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质，利用进行求解．
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．
（3）结合函数奇偶性和单调性性质进行转化，利用参变分离的思想结合函数有解的条件进行转化．
【小问1详解】
由为定义在上奇函数，可知，解得．则，
，故．
【小问2详解】
由单调递增可知在上为减函数，证明如下：
对于任意实数，，不妨设，
递增，且，，，，
故在上为减函数．
【小问3详解】
由为奇函数得：，等价于．
又由在上为减函数得：，即；
因为，所以．原问题转化为在上有解，
，当且仅当，即时，等号成立，
当时，取得最大值．，解得，
的取值范围是．
19. 已知函数，.
（1）若，对，使得成立，求实数的取值范围；
（2）若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意将问题转化为，使得恒成立，只需要成立，即可求解；（2）由（1）知函数与的图像有且只有一个公共点，即方程有且只有一个实根，令，则方程有且只有一个正根，进而求解.
【小问1详解】
，即，
若，使得成立，只需要成立.
因为，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，，则，
因为，令，分离参数可得，
令，其中，
函数在上单调递减，在上单调递增，
故，.
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
由（1）可得，
由题意知，方程有且只有一个实根，
即方程有且只有一个实根，
令，则方程有且只有一个正根，
即方程有且只有一个正根，构造函数.
①当时，，令，解得，不合乎题意；
②当时，则，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
，
由于，要使得方程有且只有一个正根，
则，解得；
③当时，则，
设方程的两根分别为，，
由韦达定理可得，，则方程有且只有一个正根.
综上所述，实数的取值范围是.