江西省赣州市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析）

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题目要求的.
1. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先用列举法表示 A，解出 B，根据交集概念计算即可.
【详解】解：集合 ，
又 ，
则 .
故选：D.
2. 为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一
年级选派了 10 名同学参赛，且该 10 名同学的成绩依次是 71，73，80，85，90，92，94，95，98，100，则
分位数为（ ）
A. 92 B. 93 C. 94 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用百分位数概念计算即可.
【详解】解：数据从小到大排序 71，73，80，85，90，92，94，95，98，100，
因为 ，
故 分位数为 .
故选：B.
3. 已知事件 A，B 相互独立，且 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】根据 A，B 是相互独立事件，结合对立事件和相互独立事件概率运算的性质，直接进行计算即可.
【详解】解：由 ，得 ，
则 .
故选：A.
4. 若函数 为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出参数值.
【详解】函数 定义域为 R，由 为奇函数，得 ，解得 ，
函数 ， ， 是奇函数，
所以 .
故选：A
5. 命题“ ”为真命题的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分不必要条件的定义判断可得答案.
【详解】要求命题“ ”为真命题的充分不必要条件，
只需要求是 的非空真子集即可，
由选项可知，只有 B 满足题意，
故选：B.
6. 某科研小组培育一种水稻新品种，由第 1 代 1 粒种子可以得到第 2 代 120 粒种子，以后各代每粒种子都
可以得到下一代 120 粒种子，则第 10 代得到的种子数为（ ） 参考数据： ，
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式计算即可.
【详解】解：由题意，从第 1 代到第 n 代种子数构成了一个等比数列 ，
该等比数列的首项 ，公比 ，则 ，
则
故第 10 代得到的种子数约为
故选：C.
7. 函数 ，且 ，则 和 的不等关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接求出函数 和 ，然后作差利用指数函数的单调性判断正负即可
【详解】解：
，
又 ，
则 ， ，
则 ，即
故选：A
8. 给定函数 ，若实数 使得 ，则称 为函数 的不动点;若实数 使得
，则称 为函数 的次不动点.若函数 在区间 上有且仅有一
个不动点和一个次不动点，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】根据题中定义，结合对数与指数互化公式、指数函数的单调性进行求解即可.
【详解】解：由于函数 在区间 上有且仅有一个不动点和一个次不动点，
所以 以及 ，都有且仅有 1 个零点，
（1）由 ，即 ，即 在 有且仅有 1 个零点，
函数 是 上的增函数，
所以有 ，即 ，
（2）由 ，即 ，
即 在 有且仅有 1 个零点，
函数 在 上单调递增，
则 ，即 ，
综合（1）、（2）可知， ，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题中定义，利用指数函数的单调性进行解题.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“ ，都有 ”的否定为“ ，使得 ”
B. 函数 单调递增区间是
C. “ ”是“函数 在区间 单调递增”的充分不必要条件
D. 不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定可判断 A 选项；利用复合函数法可判断 B 选项；利用分段函数的单调性
结合充分条件、必要条件的定义可判断 C 选项；利用二次不等式恒成立求出实数 的范围，可判断 D 选项.
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【详解】对于 A 选项，命题“ ，都有 ”的否定为“ ，使得 ”，故 A
正确；
对于 B 选项，函数 是由函数 和 复合而成，
由于函数 单调递增， 解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，
故函数 单调递增区间是 ，故 B 错误；
对于 C 选项，因为 ，
所以，函数 的增区间为 ，
若函数 在区间 单调递增，则 ，可得 ，
因为 ，
所以，“ ”是“函数 在区间 单调递增”的充分不必要条件，故 C 正确；
对于 D 选项，不等式 对任意 恒成立，
当 时 恒成立，合乎题意，
当 时，则有 ，解得 ，
因此，不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 ，故 D 错误，
故选：AC.
10. 设函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 偶函数 B.
C. 在 单调递增 D. 的值域为
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义可判断 A 选项；代入检验可判断 B 选项；利用复合函数的单调性可判断 C
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选项；利用反函数法可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，对于函数 ，有 ，解得 ，
所以，函数 的定义域为 ，
，故 为偶函数，故 A 选项正确；
对于 B 选项，当 时， ，故 B 选项正确；
对于 C 选项，因为 ，
设 ，因为 在 上单调递减，内层函数 在 上为减函数，
所以 在 单调递增，故 C 选项正确；
对于 D 选项，令 ，可得 ，解得 或 ，
函数 的值域为 ，故 D 选项错误.
故选：ABC.
11. 若 、 均为正实数，满足 ，则以下结论中正确的有（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断 A 选项；将代数式 与 相乘，展开后利
用基本不等式可判断 B 选项；将代数式 与 相乘，展开后利用基本不等式
可判断 C 选项；利用二次函数的基本性质可判断 D 选项.
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【详解】因为正实数 、 满足 ，
又因为 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
，故 的最大值为 ，故 A 正确；
因为 ，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，故 B 错误；
因为 ，所以 ，
，
当且仅当 且 ，即 ， 时，等号成立，
又实数 ， ，可知等号不成立，故 C 错误；
因为 ，
当 ， 时， 的最小值为 ，故 D 正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12 函数 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用指、对数的运算，即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ,则 ，
故答案为： .
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13. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由函数 的定义域为 ，可得 ，即 的定义域为 .
【详解】 函数 的定义域为 ，
，则 ，
，
函数 的定义域为 .
故答案为： .
14. 函 数 ， 若 函 数 有 四 个 不 同 的 零 点 ， ， ，
，则 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先画出函数 的图象，把方程 有 4 个不同的实数根转化为函数 的图象与
有四个不同的交点，结合对勾函数的单调性即可求解.
【详解】因为 ，
当 时 ，可知其对称轴为 ，
令 ，解得 或
令 ，解得 或
当 时 ，令 ，解得 或 ，
作出函数 的图象，如图所示，
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若方程 有四个不同的实根 ， ， ， ，
即 与 有四个不同的交点，
交点横坐标依次为 ， ， ， ，
则 ，
对于 ， ，则 ，
可得 ，所以 ；
对于 ， ，则 ， ， ，可得
所以 ，
由对勾函数可知 在 上单调递增，
得 ，
所以 的取值范围是
故答案 ：
【点睛】方法点睛：已知方程的根，函数有零点，函数图象的交点求参数取值范围常用的方法和思路，（1）
直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先
将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标
系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
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15. 设全集为 ，已知集合 ，
（1）当 时，求
（2）若“ ”是“ ”的充分条件，求实数 m 的取值范围.
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）运用指数函数单调性求出 B，再根据集合的补运算和并集运算，求解即可；
（2）根据题意得到集合之间的关系，分类讨论，列出不等关系，求解即可.
【小问 1 详解】
当 时， ，
或 ，
又因为 ，
则 或
【小问 2 详解】
因为“ ”是“ ”成立的充分条件，则 ，
集合 ， ，
当 ，即 ，即 ，符合题意；
当 时， ，解得：
综上所述，实数 m 的取值范围是
16. 已知函数 为幂函数.
（1）判断函数 的单调性，并加以证明；
（2）若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）单调递增，证明见解析
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（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义可得出关于 的等式，结合 可得出函数 的解析式，判断出函数
在 上单调递增，然后利用函数单调性的定义证明即可；
（2）由不等式 得， ，令 ，由 ，得 ，当
时，直接验证即可；当 时，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数 的取值范围.
【小问 1 详解】
函数 为幂函数，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，得 ，则函数 在 上单调递增，
下面证明：
任取 、 且 ，
则 ，
因为 ，所以 ，而 ，
得 ，即 ，故函数 在 上单调递增.
【小问 2 详解】
由不等式 得， ，
令 ，由 ，得 ，
不等式变为： ，得 ，
当 时，上式恒成立，
当 时，则 ，而 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，则 ，
故实数 的取值范围为 .
17. 近年来，中国新能源汽车持续领跑全球，引领着全球汽车产业的转型发展浪潮， 年中国新能源汽
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车产销突破 万辆.现有某种型号的新能源汽车经多次实验得到每小时耗电量 （单位： ）与速度
（单位： ）的数据如下表所示.
为了描述该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择 ，
， .
（1）当 时，选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，请说明理由;并求出相应的函数解
析式；
（2）当 时，该型号新能源汽车应以多少速度行驶时百公里耗电量 （单位： ）最小?并
计算出该最小值.
【答案】（1）选 ，理由见解析，
（2）当 ，该电动汽车的电池所需的最小容量为 .
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到 ，结合提供的数据，列出方程组，求得 、 的值 ，
即可求解；
（2）设车速为 ，得到 ，结合二次函数的性质，即可求解.
【小问 1 详解】
对于 ，当 时，它无意义，所以不符合题意；
对于 ，它显然是个减函数，所以不符合题意，
故选 ．
根据提供的数据，则有 ，解得 ，
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当 时， ．
【小问 2 详解】
设车速为 ，行驶时百公里所用时间为 ，
所耗电量 ，
要使耗电量达到最小，即 ．
该电动汽车的电池所需的最小容量为 .
18. 赣州市是我国当今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之誉，是客家先民中原南迁的第一站，世称“客
家摇篮”，被命名为“国家历史文化名城”、“中国优秀旅游城市”.目前，赣州市形成了“红色故都、客家摇篮、
江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌 年国庆假期，赣州旅游再次火爆“出圈”.据
统计，10 月 1 日至 7 日，全市共接待游客 万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小
组用问卷调查的方式随机调查了 100 名游客，并将收集到的游客满意度分值数据 满分 100 分 分成六段：
，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中 a 的值，并估计 100 名游客满意度分值的中位数 结果保留整数
（2）用分层随机抽样的方法从 中抽取 5 个人，再从这 5 个人中随机抽两人进行深入访谈，求 2 人
满意度分值在同一区间的概率;
（3）已知满意度分值在 的平均数 ，方差 ，在 的平均数为 ，方差
，试求满意度分值在 的平均数 和方差
【答案】（1）
（2） ；
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（3） ，
【解析】
【分析】（1）频率分布直方图，所有组距对应的频率之和为 ，利用这个性质可求出 的值.中位数是将数据
从小到大排序后，位于中间位置的数（如果数据个数为奇数）或中间两个数的平均值（如果数据个数为偶
数），根据频率分布直方图求中位数需要通过计算累计频率来确定.
（2）先根据分层随机抽样的原理确定从 和 中抽取的人数，然后利用组合数计算从 个人中
随机抽两人且在同一区间的概率.
（3）求 的平均数和方差，可根据平均数和方差的计算公式，结合已知区间的平均数和方差进行计
算.
【小问 1 详解】
由 ，解得
满意度分值在 的频率为 ，
在 的频率为 ，
所以中位数落在区间 内，
所以中位数为
【小问 2 详解】
从 中抽取 2 人，记为 A，B，
从 中抽取 3 人，记为 a，b，c
所以 5 个人中随机抽取两人，所以抽取的结果有：
，共有 10 种情况，
取到 2 人满意度分值在同一区间有 有 4 种情况，所以概率为 ，
人满意度分值在同一区间的概率为 ；
【小问 3 详解】
满意度分值在 频率为 ，人数为
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在 的频率为 ，人数为 30，
满意度分值在 的平均数 ，方差 ，
在 的平均数 ，方差 ，
所以满意度分值在 的平均数 ，
满意度分值在 的方差为 s2 2 - 2]
19. 函数 图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数.可以将其推广
为：函数 图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数.已
知函数
（1）证明：函数 的图象关于点 成中心对称图形;
（2）判断函数 的单调性 不需要证明 ，若 ，求实数 x 的取值范围.
（3）若函数 在区间 上的值域为 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）增函数，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据 为奇函数，结合奇函数的定义即可求解，
（2）根据函数的单调性和奇偶性，即可根据 得 求解即可；
（3）根据函数的值域列出方程组，再利用方程根的分布列出不等式组求解即可；
【小问 1 详解】
由题意得：函数 的定义域为 ，
又 ，令 ，
可知： ，
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从而 ，所以 是奇函数，即 是奇函数，
故函数 图象关于 成中心对称图形.
【小问 2 详解】
设 ，且 ，
所以
因为 ，
又 ，所以 ，
所以函数 在 上是增函数，
由 可得 ，
即 ，
所以 ，又函数 在 上是增函数，
所以 ，即 ，解得 ，
所以实数 x 的取值范围是
小问 3 详解】
由 在 上是增函数可得，
函数 在区间 上的值域为 ，
即 ，
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所以 a，b 是方程 的两个不相等实根，
令 ，则方程变为 ，
也就是需要方程 有两不等正根，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是
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