江西省南昌市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析）

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1. 命题“”的否定形式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题进行求解即可.
【详解】因为全称量词命题否定是存在量词命题，
所以的否定是.
故选：B
2. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解绝对值不等式化简集合，解一元二次不等式化简集合，再利用并集的定义求得答案.
【详解】依题意，，，
所以.
故选：C
3. 某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行：
0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202
9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214
1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336
若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到第5个样本编号是（ ）
A. 37B. 32C. 14D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机数表法的应用，按照已知的要求选出五个三个数字组成编号即可．
【详解】依题意从第2行第7列开始的数为67（舍去），62（舍去），42（舍去），81（舍去），14，
57（舍去），20，42（舍去），53（舍去），32，37，32（舍去），14（舍去），16，
则满足条件的5个样本编号为14，20，32，37，16，则第5个编号为16．
故选：D
4. 下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】定义域和对应关系均相同才是同一函数，从而对四个选项一一判断，得到答案.
【详解】对于A，，对应关系不同，与函数不是同一函数；
对于B，的定义域为，函数的定义域为，
定义域不同，所以与函数不是同一函数；
对于C，的定义域为，函数的定义域为，
定义域不同，所以与函数不是同一函数；
对于D，，与函数的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一函数.
故选：D
5. 设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的单调性比大小，即可求解.
【详解】由于单调递减，故，即，
由于函数为上的单调递增函数，故，故，
因此，
故选：A
6. 已知，若有三个零点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，把问题转化为方程在上有两个不等根求解.
【详解】当时，由，得，而函数在上单调递增，
又有三个零点，因此方程在上有两个不等根，
于是，解得，
所以的取值范围为.
故选：B.
7. 元宵节灯展后，悬挂的2串（5盏）不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，第一串最下面的花灯标记为，第二串最下面的花灯标记为，则花灯与花灯被相邻取下的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】还原情境，根据概率的乘法公式即可求解.
【详解】花灯与花灯被相邻取下的包括第一次取a第二次取x和第一次取x第二次取a，
概率为.
故选：B
8. 已知函数的零点为，函数的零点为，则下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于AB，根据零点的存在性定理即可判断；对于C，令，从而可得，再结合单调性即可判断；对于D，根据的单调性可得，从而可判断.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增.
又，
且在上是连续函数，
又当时，，
所以在上存在唯一零点，即，A正确；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增.
又，
且在上是连续函数，
又当时，，
所以在上存在唯一零点，即，B正确；
对于C，，令，
则，，
又，所以，即，
又在上单调递增，所以，C错误；
对于D，因为在上单调递增，且，
所以，D正确.
故选：C.
二.多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据：
若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是（ ）
A. 乙比赛成绩优秀的概率为
B. 甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数
C. 甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差
D. 为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛
【答案】AC
【解析】
【分析】由表格数据，计算乙比赛成绩优秀的概率判断A，应用平均数、方差公式求甲乙的平均数、方差，比较它们的大小即可判断BCD.
【详解】比赛成绩在以下（含）为优秀，由表中的数据，乙比赛成绩优秀的概率为，
故A正确.
为了好计算甲乙的平均数和方差，只需要根据秒数计算即可，
甲的平均数，
乙的平均数，
所以甲比赛成绩的平均数小于乙比赛成绩的平均数，故B错误.
甲的方差
.
乙的方差
，则，C正确.
由于甲的比赛成绩的平均值比乙比赛成绩平均值低（用时约少说明跑的快），
并且甲的方差小，数据稳定，故选派甲去参加比赛比较合适，D错误.
故选：AC
10. 已知符号函数下列说法正确的是（ ）
A. 函数为奇函数
B.
C.
D. 函数在上单调递减
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，运用奇偶性定义判断即可；对于B，利用指数函数的值域结合新定义判断即可；对于C，利用对数函数的值域结合新定义判断即可；对于D，求出时的函数解析式，根据二次函数单调性判断即可.
【详解】对于A，，当时，，
则，
当时，，则，
当时，，
所以为偶函数，错误.
对于B，因为，所以，正确.
对于C，当时，，所以，
所以，正确.
对于D，当时，，则，开口向下，
对称轴为，所以函数在上单调递减，正确.
故选：BCD
11. 已知，下列说法正确的是（ ）
A. 函数定义域为B.
C. 在为减函数D. 不等式的解集为
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，求得函数定义域为即可判断；对于B，分两种情况结合基本不等式即可判断；对于C，根据复合函数的单调性即可判断；对于D，求解不等式即可判断.
【详解】对于A，因为且，所以函数定义域为，A错误；
对于B，因为，
当时，，则，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，B正确；
对于C，令，则在上单调递增，且，
又在上单调递减，所以在上为减函数；
因为在上单调递增，且，
又在上单调递减，所以在上为减函数；
所以在上为减函数，C正确；
对于D，，令，
当时，解得或，所以或，
当时，，所以无实数解，
所以不等式的解集为，D错误.
故选：BC.
三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出，然后分和两种情况，得到方程，求解即可.
【详解】由得，所以，
所以或，解得.
故答案为：
13. 某车间10名工人生产某产品的数量（单位：件）分别为32，35，38，39，40，42，44，44，45，x，若所给数据的第50百分位数与第25百分位数的差为2，且，则______.
【答案】40
【解析】
【分析】分类讨论确定第50百分位数与第25百分位数，列式求解即可.
【详解】已知数据有10个，所以第50百分位数为第5项和第6项数据的平均值，第25百分位数为第3项数据，
若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和35，
则，不合题意；
若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和x，
则，解得，不合题意；
若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和38，
则，不合题意；
若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和38，
则，解得，不合题意；
若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和38，
则，解得；
若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为41和38，它们的差为3，不符合条件.
故答案为：40
14. 电除尘器是火力发电厂必备的配套设备，它的功能是将燃煤或燃油锅炉排放烟气中的颗粒烟尘加以清除，从而大幅度降低排入大气层中的烟尘量，这是改善环境污染，提高空气质量的重要环保设备.其除尘效率与驱进速度之间的函数关系为，其中为烟气量，总除尘面积，若在烟气量与总除尘面积一定的情况下，除尘效率时，驱进速度为；除尘效率时，驱进速度为，则______.（结果保留两位有效数字）
参考数据：.
【答案】1.7
【解析】
【分析】根据题意可得，结合指、对数运算求解即可.
详解】由题意可得：，整理可得，
两式相比可得.
故答案为：1.7.
四.简答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）求值：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】（1）利用对数的概念、对数运算性质及换底公式，指数幂的运算性质化简计算；
（2）结合指对互化，利用对数运算性质及换底公式求解即可.
【详解】（1）原式
；
（2）因为，所以
，
所以，
则.
16. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）记函数的值域为，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】（1）函数为奇函数，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）结合指数运算，利用奇函数定义证明即可；
（2）先根据指数函数的值域求出函数的值域，然后利用充分不必要条件的概念列不等式求解即可.
【小问1详解】
函数为奇函数，其理由如下：
因为的定义域为R，且，
所以，则函数为奇函数.
【小问2详解】
因为，所以，则，
所以，所以，所以集合，
“”是“”的充分不必要条件，
所以，则.
17. 某学校高一年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解高一年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表：
男生样本的频率分布直方图
女生样本的频率分布表
（1）求和的值；
（2）计算男生样本的平均数和方差；
（3）根据上述数据，估计高一年级全体学生身高的平均数和方差
【答案】（1），；
（2）平均数为169，方差为89
（3）平均数为166，方差为100.8.
【解析】
【分析】（1）根据频率和为1求，由频率公式求的值；
（2）根据平均数、方差公式求解；
（3）根据分层抽样的平均数、方差公式求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
因为的频数为4，频率为0.1，所以样本容量为40，
则，所以；
小问2详解】
由男生样本的频率分布直方图知，
平均数为，
方差为
；
【小问3详解】
由女生样本的频率分布表可知
平均数，
方差为
所以平均数为，
方差为.
所以估计高一年级全体学生身高的平均数为166，方差为100.8.
18. 已知.
（1）当时，求证：在上为减函数；
（2）若方程有且仅有一个实数根，求的最小值；
（3）若存在使得在上恒成立，求证：.
【答案】（1）证明见解析
（2）4 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据单调性的定义，按照步骤证明即可；
（2）先利用定义法判函数的单调性，然后利用基本不等式求出的最小值，由题意，将化为，利用基本不等式求最小值即可；
（3）结合（2）利用基本不等式得求出的最小值，，根据消去a即可证明.
【小问1详解】
当时，，
设，且.
则，
因为，所以，所以.
所以，
所以在为减函数；
【小问2详解】
因为，所以，
任取，，且，
则，
因为，，且，所以，，
当时，，所以，即，
当时，，所以，即，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
因为，当且仅当时等号成立，
因为方程有且仅有一个实数根，
所以，即，
则，当且仅当即时取等，
所以的最小值为4；
【小问3详解】
因为当时，，当且仅当时等号成立，
由题意知，，
所以，即.
19. “曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式.在平面直角坐标系中，其定义为：A，B的坐标分别为，那么称为两点间的曼哈顿距离.
（1）已知点.
（i）若点的横坐标为，且点在函数图象上，求；
（ii）若点在函数上运动，求的最小值；
（2）已知点在函数上运动，点，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（i）；（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）求出点坐标，代入曼哈顿距离公式求解即可；
（ii）由已知，求出曼哈顿距离，结合一次函数单调性求出分段函数的最小值；
（2）利用曼哈顿距离公式得，从与和的大小关系出发分类讨论，利用单调性求出最值列式求解.
【小问1详解】
（i）因为点的横坐标为，
且点在函数图象上，所以，
则；
（ii）因为点在函数上运动，所以，
则，
当时，；当时，；
当时，；所以当时，；
【小问2详解】
因为点在函数上运动，所以，
则，
因为的对称轴为的对称轴为，
所以现在从与和的大小关系出发分类讨论：
①当时，单调递减，最小值为；
在上单调递减，在单调递增，
此时，
由题意知，则；
②当时，在上单调递减，在单调递增，
此时；
又单调递增，则，
由题意知，则；
③当时，在单调递减，
在单调递增，此时（合题意），
综上，实数的取值范围是.甲
乙
组别
频数
频率
4
0.10
8
n
m
p
12
0.30
2
0.05