江西省九江市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份江西省九江市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．在中，为上靠近点的三等分点，，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
6．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（ ）
A．11B．13C．14D．15
7．如图，在正三棱锥中，分别为棱的中点，且.若，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）

A．B．C．D．
8．函数的部分图象如图中实线所示，为函数与轴的交点.圆与的图象从左至右依次交于A，B，C，D，E，F六点，且在轴上，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知复数，则下列说法中正确的有（ ）
A．的虚部为2B．
C．为纯虚数D．
10．如图，已知正方体中，为线段上的动点，为线段的中点，则下列四个结论正确的是（ ）
A．对任意点，平面
B．三棱锥的体积为定值
C．直线与所成的角不可能等于
D．存在点，使平面
11．球面三角是研究球面三角形的边、角关系的一门科学.从十六世纪起由于天文学、航海学、测量学等方面的发展，球面三角逐渐形成了独立学科．球面上的三个点，每两点之间用球的大圆劣弧相连接，三段弧所围成的球面部分称为球面三角形.如图，球的半径为1，A，B，C为球面上三点.平面中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.球面中，，的弧长分别记为线段OA，OB，OC与球面围成的封闭几何体叫作球面三棱锥，记为球面.设，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则球面的体积
三、填空题
12．已知向量，则 .
13．已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积是 .
14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则 .
四、解答题
15．已知函数的最小正周期为是曲线的一条对称轴.
(1)求；
(2)求的单调递增区间.
16．如图，圆台的轴截面为等腰梯形，上下底面半径分别为1，2，B为底面圆周上异于A，C的点，为BC的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求圆台的体积.
17．如图，在中，内角A，B，C所对的边分别为为BC上一点，.
(1)若，求的面积；
(2)若，求．
18．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面，为的中点，，.

(1)求证：平面平面；
(2)求四棱锥的体积；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知函数，称为的“伴随向量”，为的“伴随函数”（为坐标原点）.
(1)求的伴随向量；
(2)若为单位圆上两点，的伴随函数为，求最小时，的最大值；
(3)若为抛物线上位于第一象限内一点，的伴随函数在处取得最大值，求的取值范围.
1．D
利用诱导公式即可求解.
【详解】.
故选：D.
2．B
根据复数的除法算出，确定实部与虚部，即可知其在复平面内对应的点和对应的点所在象限.
【详解】，则复平面内对应的点为，该点位于第二象限.
故选：B.
3．A
根据向量的加法法则和减法法则表示即可.
【详解】.
故选：A.
4．D
根据直线与平面的平行关系判断AB两个选项，根据直线与平面的垂直和平行关系判断CD两个选项.
【详解】对于A：若，则可能有，A错误；
对于B：若，则也可能异面或相交，B错误；
对于C：若，则与不一定垂直，且，则与不一定垂直，C错误；
对于D：若，则，又，则，D正确.
故选：D.
5．C
应用两角和差的正弦公式，再结合正弦函数的单调性即可判断大小.
【详解】，
，
在上单调递增，，即.
故选：C.
6．B
根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求解即可.
【详解】依题意，得为偶函数，
则，即.
故选：B.
7．C
证明过的三条侧棱两两互相垂直，可将正三棱锥补成正方体，根据正方体体对角线即为正方体外接球直径，求正方体的外接球的半径，即为该正三棱锥外接球的半径，运用球的体积公式求解即可.
【详解】分别为棱的中点，则，
，，
而正三棱锥中，对棱互相垂直，即，
又，平面平面，
，
过的三条侧棱两两互相垂直，
因此可将正三棱锥补成正方体，正三棱锥的外接球即是正方体的外接球，
由，正三棱锥的外接球，
故选：C.
8．B
AF为圆的直径，可得判断A；由题意可得，可求得，判断C；利用，可求得判断C；由题意得不出，可判断B.
【详解】根据的图象以及圆的对称性，可得A，F关于对称，且AF为圆的直径，
，故A正确；
同理B，E关于对称，，
故C正确；
，故D正确.
由题意可得A，F关于对称，B，E关于对称，所以为圆的直径，
而，，故，
若，则，故，
而，故，
故，而，故，故矛盾，故不垂直于，
故，故B错误.
故选：B.
9．BC
根据题意可得，然后逐项计算判断即可.
【详解】，
所以的虚部为，
，.
故选：BC.
10．ABD
证明出平面平面，由面面平行的性质可判断A选项；利用锥体体积公式可判断B选项；利用异面直线所成角的定义可判断C选项；推导出平面，结合中位线的性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，连接、、、，如下图所示：
在正方体中，，，
故四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
因为，、平面，故平面平面，
因为平面，因此平面，A对；
对于B选项，因为平面平面，平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离为定值，
而为定值，故为定值，B对；
对于C选项，因为，，故四边形为平行四边形，
所以，所以与所成的角为或其补角，如下图所示：
易知为正三角形，显然当时，，C错；
对于D选项，连接、、，如下图所示：
因为四边形为正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，、平面，所以平面，
当为的中点时，因为为的中点，此时，故平面，D对.
故选：ABD.
11．ABD
由，可得，可判断A；利用，计算可判断B；对于C，由已知可得，举出反例可判断C，对于D，先求得三棱锥的体积，由球面的体积即可判断D.
【详解】对于，
由，得，即，故A正确；
对于由，得，故B正确；
对于C，，∴，
即，
又，
∴，，
取，满足，
此时，故C错误；
对于D，，
则平面的面积为，
此时三棱锥为边长为1的正四面体，取的中点，连接，
过点作⊥平面，交于点，
其中，，故，
故到平面ABC的距离，
所以三棱锥的体积，
则球面的体积，故D正确.
故选：ABD.
12．
利用向量数量积的坐标运算求解即可.
【详解】.
故答案为：
13．/
设出圆锥的相关参数，根据侧面积公式和圆心角公式列出方程组，解出底面圆半径和母线长，再利用勾股定理算出高，代入圆锥的体积公式即可.
【详解】解：设圆锥底面圆半径为，母线长为，高为，
由题意，根据侧面积公式和圆心角公式得，解得，，
，
因此该圆锥的体积是.
故答案为：.
14．
利用三角内角和定理与正弦定理可得，进而利用三角恒等变换可得，进而可求得，再利用正弦定理可求得.
【详解】，
由正弦定理及，得，即，
，
即，
.又，故，
.
故答案为：.
15．(1)2，
(2)
（1）根据周期可先求，再利用对称轴可求；
（2）由（1）得，再利用整体法求单调区间即可.
【详解】（1）依题意，得，
由，得，
.
（2）由（1）得，
，
令，得
的单调递增区间为.
16．(1)证明见解析
(2)
（1）取AB的中点，连接，通过证四边形为平行四边形，即可证得平面；
（2）连接，由，可知，求出， 证明，由勾股定理求得圆台的高，即可得到体积.
【详解】（1）取AB的中点，连接，
为BC的中点，，且，
又，且，
四边形为平行四边形，
，
又平面平面，
平面.
（2）连接，
是中点，，
，
又在圆台中，底面，平面，
所以，，
分别记圆台的上下底面圆半径为,
则，
.
17．(1)
(2)
（1）由题意可得，利用，可求得，可求面积；
（2）设，则，利用余弦定理可得，求得，利用正弦定理可得，进而利用余弦定理可求得.
【详解】（1），则，
是直角三角形，
在.中，，
，
.
（2）设，则，
在中，由余弦定理，得，解得.
即，
在中，由正弦定理，得，即，
，
在中，由余弦定理，得，
.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）先由已知的线面垂直推出线线垂直，再由等边三角形三线合一的性质得另一组线线垂直，两组线线垂直得线面垂直，从而得面面垂直；
（2）先计算出等边三角形的边长和面积，代入三棱锥的体积公式即可计算三棱锥的体积，分析可知，四棱锥的体积是三棱锥的体积的2倍；
（3）通过作出辅助线，找到直线与平面所成角的平面角，运用直角三角形中非直角的角的正弦公式计算即可.
【详解】（1）平面，平面，
，
为等边三角形，为的中点，
，
又，平面，
平面，
又平面，
平面平面.
（2）由（1）知平面，
，，
又为的中点，根据三线合一的性质，，
平面，平面，
，根据勾股定理，
，
，
，
.
（3）过点作于，连接，

由（1）知平面平面，平面平面，
平面，
直线与平面所成角即为，
又，，
根据相似三角形对边成比例，在Rt中，，
，，
，，
，即直线与平面所成角的正弦值为.
19．(1)；
(2)；
(3).
（1）利用两角和的正弦公式化简，再根据“伴随向量”的定义可直接求解；
（2）由，可知三点共线，根据最小时，，然后可得的最大值即为，求出即可；
（3）根据辅助角公式的含义可得，再利用换元法可求范围.
【详解】（1）
，
的“伴随向量”.
（2）由，知三点共线，
为单位圆上两点，最小时，
此时，
依题意，设，则，其中,
所以，的最大值即为
为单位圆上两点，，故的最大值为.
（3）设，其中，
则
其中
当，即时，取得最大值，
此时
令，由，得当且仅当时等号成立，
函数在上单调递减，，
即的取值范围是.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
D
C
B
C
B
BC
ABD
题号
11









答案
ABD