江西省九江第一中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江西省九江第一中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题（原卷版+解析版），共23页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 命题“”的否定是， 下列说法中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟
命题人 审题人：黄志明 杨艳萍
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知幂函数 在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ）
A. B. C. D.
4. 如图是一个古典概型的样本空间和事件，其中，，下列结论正确的是（ ）
A. B. 事件与互斥
C. D. 事件与相互独立
5. 函数的定义域是，值域是，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 一个袋子中有4个球，其中有2个白色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4），这4个球除颜色和标号外完全相同，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值B. 有最大值
C. 有最小值D. 有最大值
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某高中学校高一年级参加“三新”联考，现从高一（1），（2），（3）班共120名学生的数学成绩中随机抽取30份，若按性别比例分层随机抽样，则男生数学成绩抽取18份，被抽取的女生平均分为100分，方差为5，男生平均分为110分，方差为10.则下列结论正确的有（ ）
A. 样本容量为30
B. 120名学生的数学成绩中男生有72人
C. 估计高一年级数学平均分为106分
D. 估计高一年级数学方差为7
10. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 已知正数满足，则的最小值为4
B. 已知函数的定义域为，则的定义域为
C. 函数在区间单调递减，则的取值范围是
D. ，使得时，恒成立
11. 已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，则（ ）
A
B. ，使得
C. ，都有
D. 在上单调递减
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 求值：___________．
13. 已知函数为上的奇函数，且在上单调递增，，若，则的取值范围是______.
14. 已知函数，若，则的最小值为__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
16. 已知函数．
（1）若的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数的值域为，求实数的取值范围；
（3）若函数的值域为，求实数的值．
17. 某校环保社团组织高二年级所有学生参加一项环保知识竞赛初赛，从所有成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了40名同学的测试成绩，按分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示.
（1）求出成绩在频率并将频率分布直方图补充完整；
（2）若规定，成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？
（3）从样本成绩在内的同学中任取2人的测试成绩，求两人的成绩都在的概率.
18 已知函数.
（1）当时，求值域；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
19. 若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”.
（1）从以下4个函数中任选2个，判断其否存在“飘移点”，并说明理由.
①； ②（为常数）； ③； ④.
（2）构造一个定义域为的函数，满足以下3条：
①存在“飘移点”；
②既不是一次函数，也不是二次函数；
③在上连续且单调递增.
（3）已知函数
①当时，若在上存在“飘移点”，求实数的取值范围；
②当时，若在上存在“飘移点”，求实数的取值范围.
③若在上没有“飘移点”，试写出一个满足条件的组合（无需证明）.
九江一中2025-2026学年上学期高一期末考试
数学试卷
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟
命题人 审题人：黄志明 杨艳萍
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合交集的概念及运算法则计算即可.
【详解】由题意知.
又，
所以.
故选：B.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题“”为存在量词命题，该命题的否定为“”.
故选：D.
3. 已知幂函数 在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得.
【详解】由题可得，解得或，
又在区间上单调递增，所以，故，
所以过定点.
故选：B
4. 如图是一个古典概型的样本空间和事件，其中，，下列结论正确的是（ ）
A. B. 事件与互斥
C. D. 事件与相互独立
【答案】A
【解析】
【分析】对A，根据容斥原理判断；对B，根据互斥定义判断；对C，由古典概型概率计算公式计算；对D，由相互独立的定义判断.
【详解】对于A：由可得，A正确；
对于B：由可知，事件与不互斥，B错误；
对于C：由图知，，所以，C错误；
对于D：因为，
所以，D错误；
故选：A.
5. 函数的定义域是，值域是，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得二次函数的对称轴，以及函数的最小值，由，即可得到所求的范围．
【详解】，可得对称轴为，
且且为最小值，
又由，
函数的定义域为，值域为，
可得，
即有的取值范围是，
故选：A．
6. 一个袋子中有4个球，其中有2个白色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4），这4个球除颜色和标号外完全相同，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用古典概率模型求概率即可得到答案.
【详解】试验的样本空间，所以.
记“摸出的2个球颜色相同”为事件，
则，所以，
所以，故摸出的2个球颜色相同的概率为.
故选：C.
7. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出函数图象，利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可.
【详解】由恰有5个零点，
则关于的方程恰有5个相异实根，
令，问题转化为满足的恰有5个不同的解.
作出函数的图象，如图所示，
由图易得：当时，关于的方程仅有一个实根，且，
此时仅有1个实根，不合题意；
当时，仅有两个相异实根，
而各仅有1个实根，不合题意；
当时，仅有3个实根，
且各仅有1个实根，
且两实根均小于，则有三个实根，必有，
所以.
又，所以，此时的5个实根互不相等，
即恰有5个零点；
当时，仅有2个相异实根，且，
此时仅有1个实根，有2个实根，不合题意.
所以实数的取值范围为.
故选：C
8. 已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值B. 有最大值
C. 有最小值D. 有最大值
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本函数的图象与性质，得出的图象，再结合条件及图象，即可求解.
【详解】因为，
当时，，易知在区间上单调递增，且，
当时，，对称轴为，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
图象如图所示，
由，得到或（舍），
又在区间上既有最大值，又有最小值，由图知，，
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某高中学校高一年级参加“三新”联考，现从高一（1），（2），（3）班共120名学生的数学成绩中随机抽取30份，若按性别比例分层随机抽样，则男生数学成绩抽取18份，被抽取的女生平均分为100分，方差为5，男生平均分为110分，方差为10.则下列结论正确的有（ ）
A. 样本容量为30
B. 120名学生的数学成绩中男生有72人
C. 估计高一年级数学平均分为106分
D. 估计高一年级数学方差为7
【答案】ABC
【解析】
【分析】对A，根据样本容量的概念判断；对B，根据分层抽样的定义计算；对C，根据分层抽样的平均数公式计算；对D，根据分层抽样的方差公式计算.
【详解】对于A，从中随机抽取30名，则样本量为30，故A正确；
对于B，设120名学生的数学成绩中男生有人，因为按性别比例分层随机抽样时男生抽取18人，
所以，解得，所以120名学生的数学成绩中男生有72人，故B正确；
对于C，按性别比例分层随机抽样，男生数学成绩抽取18份，则女生数学成绩抽取12份，
设高一年级数学平均分为，所以，故C正确；
对于D，估计高一年级数学方差，故D错误.
故选：ABC.
10. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 已知正数满足，则的最小值为4
B. 已知函数的定义域为，则的定义域为
C. 函数在区间单调递减，则的取值范围是
D. ，使得时，恒成立
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，利用基本不等式求解判断；对B，根据抽象函数求定义域判断；对C，根据复合函数单调性求解判断；对D，取，根据指数函数､幂函数､对数函数增长速度的差异即可判断.
【详解】对于A，因为，且，
则，
当且仅当，即时取等号，故A正确；
对于B，若函数的定义域为，则，故，
所以的定义域为，令，解得，
所以的定义域为，故B错误；
对于C，因为在区间单调递减，又是增函数，
所以在单调递减，所以，所以的取值范围是，故C正确；
对于D，对于任意，比较指数函数、幂函数和对数函数的增长速度可知，
当足够大时，一定有，
所以存在，使得时，恒成立，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，则（ ）
A.
B. ，使得
C. ，都有
D. 在上单调递减
【答案】ACD
【解析】
【分析】赋值即可求解判断A；分析易得当时，，再赋值得到，即可判断B；结合基本不等式及赋值即可判断C；根据函数单调性的定义判断D.
【详解】由题意，对任意的，都有，
令，得，
又，所以，则，故A正确；
当时，，所以，
又，所以，则，
所以，都有，故B错误；
因为，所以，
令，则，
所以，故C正确；
设，则，
由B知，当时，，，都有，
因为，所以，所以，且，
所以，即，
所以在上单调递减，故D正确．
故选：ACD．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 求值：___________．
【答案】6
【解析】
【分析】利用对数、指数的性质和运算规则，先分别求出各项的值，再合并计算．
【详解】，，，
．
故答案：6．
13. 已知函数为上的奇函数，且在上单调递增，，若，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知函数为上单调递增，根据奇函数性质结合函数单调性运算求解即可.
【详解】因为函数为上的奇函数，且在上单调递增，
则函数在上单调递增，可知函数为上单调递增，
且，，则，
若，即，
可得，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知函数，若，则的最小值为__________.
【答案】5
【解析】
【分析】由已知可得，即，结合函数单调性可知，再结合基本不等式可得最值.
【详解】由，则，即，
又是上的增函数，是上的增函数，
所以是上的增函数，则，，
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为5.
故答案为：5.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由，得，利用函数单调性得.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）因为，所以，分和两种情况求解即可；
（2）由是的充分不必要条件，得到A是B的真子集，再根据题目列不等式求解即可.
【小问1详解】
因为，所以；
当时，则 ，得到；
当时，需满足，解得，
这三个条件没有交集，因此时无解；
综上所述，的取值范围为.
【小问2详解】
因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集；
则或，解得.
实数的取值范围是.
16. 已知函数．
（1）若的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数的值域为，求实数的取值范围；
（3）若函数的值域为，求实数的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由给定条件可得不等式的解集为R，再由求解即得.
（2）由函数的值域为R，结合对数函数性质可得函数的值域包含，再利用二次函数性质列式求解.
（3）由函数的值域为，结合对数函数性质可得函数的值域为，再求出二次函数值域列式求解.
【小问1详解】
由函数的定义域为R，得不等式的解集为R，
则，解得，
所以a的取值范围为.
【小问2详解】
由函数的值域为R，得函数的值域包含集合，
因此，解得：或.
所以实数a的取值范围是.
【小问3详解】
由函数的值域为，得函数的值域为，
而，因此，解得，
所以实数的值是.
17. 某校环保社团组织高二年级所有学生参加一项环保知识竞赛初赛，从所有成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了40名同学的测试成绩，按分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示.
（1）求出成绩在的频率并将频率分布直方图补充完整；
（2）若规定，成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？
（3）从样本成绩在内的同学中任取2人的测试成绩，求两人的成绩都在的概率.
【答案】（1）0.3，作图见解析
（2）86分 （3）
【解析】
【分析】（1）利用频率直方图的性质求的频率并补充直方图；
（2）找出排名前的同学的成绩所在区间，通过比例计算该区间内的具体偏移量，最终求解最低入围成绩；
（3）由题可得样本成绩在[50,70)内的学生数为6，其中成绩在有2人，在有4人，列举出样本空间，利用古典概率公式计算.
【小问1详解】
∵频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，
∴成绩在的频率为，
则，补全频率分布直方图，如下：
【小问2详解】
的频率为，
的频率和为，
∴排名前的同学的成绩位于内，且设为，
则，解得，
∴进入决赛的同学成绩应不低于86分.
小问3详解】
由题，样本成绩在[50,70)内的频率为，
所以样本成绩在[50,70)内的学生数为，
其中成绩在内有2人，设为，在内有4人，设为，
所以从这6人中任取2人的结果如下：
，
所以两人的成绩都在的概率.
18. 已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）令，结合二次函数的性质求出函数的值域.
（2）利用换元法及基本不等式求出的最小值，再借助恒成立条件建立不等式求解.
【小问1详解】
令，由，得，
，
当时，取最小值为；当时，取最大值为3，即，
所以函数的值域为.
【小问2详解】
依题意，，
令，则，且，于是
，
而，当且仅当，即时取等号，，
即当时，，由恒成立，
得，解得，
所以实数的取值范围.
19. 若函数定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”.
（1）从以下4个函数中任选2个，判断其是否存在“飘移点”，并说明理由.
①； ②（为常数）； ③； ④.
（2）构造一个定义域为的函数，满足以下3条：
①存在“飘移点”；
②既不是一次函数，也不是二次函数；
③在上连续且单调递增.
（3）已知函数
①当时，若在上存在“飘移点”，求实数的取值范围；
②当时，若在上存在“飘移点”，求实数的取值范围.
③若在上没有“飘移点”，试写出一个满足条件的组合（无需证明）.
【答案】（1）答案见详解
（2）等（答案不唯一）
（3）①；②；③满足条件的的一个组合（答案不唯一）.
【解析】
【分析】（1）假设有“飘移点”，按照“飘移点”的概念得到方程，判断方程是否有实数解即可求解；
（2）根据题目条件写出函数再证明即可.
（3）①当时，由在上存在“飘移点”化简得到，令，则，再利用基本不等式求解即可.
②当，存在“飘移点”则转化为函数在上存在零点进行求解即可，
③将在上没有“飘移点”转化为方程在上无实根求解即可.
【小问1详解】
下面对4个函数逐一进行判断
①因为恒成立，故存在“飘移点”；
②由，则，
故当时，（为常数）存在“飘移点”；
故当时，（为常数）不存在“飘移点”；
③因为，则，故存在“飘移点”；
④，整理得，
，则该方程无解，
∴函数不存在“飘移点”.
【小问2详解】
函数为，
，即，解得或满足①，连续且在上单调递增满足②③.
【小问3详解】
①当时，对于，则
，即，
，则，
令，则，
，
又，当且仅当，即时等号成立，
则，所以
，即，
故的取值范围为.
②当，则，
即，
即在上存在零点.
当时，，解得，故不合题意；
当时，
（i） 解得
（ii）当对称轴，则，故开口朝上，
所以（*）
由，得到
由于，在单调递减，所以，故*不等式组无解.
所以实数的范围是.
③问题转化为对任意方程，
即在上无实根.
当，即时，方程为，
因为，所以
故时，在上没有“飘移点”.
组合为如.