2025-2026学年浙江省杭州名校九年级上12月月考数学试卷（解析版）

这是一份2025-2026学年浙江省杭州名校九年级上12月月考数学试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了实数8的相反数是，下列图形中，不是轴对称图形的是，下列命题中，是假命题的是，计算的结果是，已知，若，，则与的周长比是，在平面直角坐标系中，将直线等内容，欢迎下载使用。
1.实数8的相反数是（ ）
A.B.8
C.D.
【答案】A
【解析】实数8的相反数是．
故选A．
2.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】．是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．不是轴对称图形，故该选项符合题意；
．是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故选：C．
3.下列命题中，是假命题的是（）
A.若，则当时，
B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.方程有两个相等的实数根
D.对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】B
【解析】A选项：当时，不等式两边同除以负数a，不等号方向改变，得，故本选项的命题是真命题；
B选项：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题没有限定“在同一平面内”这一条件，故本选项的命题是假命题；
C选项：方程的判别式，方程有两个相等的实数根，故本选项的命题是真命题；
D选项：对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项的命题是真命题．
故选：B．
4.计算的结果是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】．
故选D．
5.已知，若，，则与的周长比是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】∵，，，
∴ 相似比 ，
∴ 与 的周长比为 ，
故选：A．
6.在平面直角坐标系中，将直线（m为常数）关于y轴对称后得到的直线经过点，则m的值为（ ）
A.1B.
C.D.2
【答案】B
【解析】直线关于轴对称后，解析式为．
将代入，得，即，解得．
故选：B．
7.将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】画树状图为：
共有12种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的结果有2种，
∴两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是．
故选：B．
8.已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】∵点和在函数图象上，
∴，即，
同理，
∴和是方程的两个根，
由根与系数的关系，得，
∴．
，
．
∴．
故选：B．
9.如图、在中，，，，点D在线段上，以为边作等边三角形，点E和点A分别位于两侧，连接，．以下结论错误的是（ ）
A.B.
C.D.直线
【答案】C
【解析】，
是等边三角形，
是等边三角形，
即：
A正确，不符合题意；
，，
B正确，不符合题意；
即
当且仅当平分时有
C不正确，符合题意；
，
，
在的垂直平分线上，
，，
在的垂直平分线上，
直线
D正确，不符合题意；
故选：C．
10.如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（ ）
A.B.12
C.D.
【答案】D
【解析】如下图，连接AD，交EF于N，连接OC，取ON的中点M，连接MH，过点M作MQ⊥AB于Q，交AO于点K，作MP⊥OA与点P，
∵直线y=x−3分别与x轴、y轴相交于点A、B，
∴点A（4，0），点B（0，-3），
∴OB=3，OA=4，
∴，
∵四边形ACDO是正方形，
∴OD//AC，AO=AC=OD=4，OC=4，∠COA=45°，
∴∠EDN=∠NAF，∠DEN=∠AFN，
又∵DE=AF，
∴△DEN≌△AFN（ASA），
∴DN=AN，EN=NF，
∴点N是AD的中点，即点N是OC的中点，
∴ON=NC=2，
∵OH⊥EF，
∴∠OHN=90°，
∴点H在以ON直径的圆上运动，
∴当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，
∵点M是ON的中点，
∴OM=MN=，
∵MP⊥OP，∠COA=45°，
∴OP=MP=1，
∴AP=3，
∵∠OAB+∠OBA=90°=∠OAB+∠AKQ，
∴∠AKQ=∠ABO=∠MKP，
又∵∠AOB=∠MPK=90°，
∴△MPK∽△AOB，
∴，
∴，
∴MK=，PK=，
∴AK=，
∵∠AKQ=∠ABO，∠OAB=∠KAQ，
∴△AKQ∽△ABO，
∴，
∴，
∴KQ=，
∴QM=KQ+MK=+=，
∴点H到AB的最大距离为+，
∴△HAB面积的最大值=×5×(+)=，
故选：D．
二． 填空题（共 6 小题）
11.任意写出两个大于 6 小于 7 的无理数 __________ ．
【答案】
，（答案不唯一）
【解析】
，，
且，，
和都是大于6小于7的无理数．
故答案为，（答案不唯一）．
12.人类能听到的声音的最高频率是，海豚能听到的声音的最高频率是人类能听到的声音的最高频率的7.5倍． 大约为，请 将“150000”用科学记数法表示_______________．
【答案】
【解析】150000 可表示为 ．
故答案为： ．
13.如图，一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集是________．
【答案】
【解析】把代入，得，
解得，
∴点A的坐标为，
∴当时，，
∵时，，
∴不等式的解集为．
故答案为：．
14.如图，已知点与某建筑物底端相距米（点与点在同一水平面上），某同学从点出发，沿同一剖面的斜坡行走米至坡顶处，斜坡的坡度（或坡比），在处测得该建筑物顶端的俯视角为，则建筑物的高度约为__________（精确到米，参考数据：，，） ．
【答案】
【解析】作于点，作于点，作，如图，
设，，
由勾股定理，得，
解得：，
不合题意，舍去，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∵，，
，
∴，
∴．
故答案为：．
15.如图，抛物线的开口向下，与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列结论：①；②如果方程有两个实数根、，则；③；④如果，则．其中正确的结论有______．
【答案】①②④
【解析】∵抛物线与x轴交于点和点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
∵抛物线开口向下，
∴，
∴；
把点A的坐标代入抛物线解析式可得，
∴，故①正确；
∵方程有两个实数根、，
∴方程有两个实数根、，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴；
∵当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，故③错误；
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，故④正确；
故答案为：①②④．
16.如图，在中，，，，在边上，且，连接，，则的最小值是__________.
【答案】
【解析】
过点作，使得，连接，如图所示：
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
过点作，并延长使得，连接，如图所示，
根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当点三点共线时，有最小值，最小值为的长，
设，则有，
∵，，，
∴在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为，即的最小值为，
故答案为．
三． 解答题（共 8 小题）
17.先化简，再求值：，其中．
解：原式
，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴原式．
18.如图，在四边形中，，，于点F，交于点E，连结，若平分．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
解：（1）证明：∵，
∴．
∵平分，且，
∴．
∴在和中，
∴；
（2）∵，
∴．
∵平分，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴．
19.为了提高学生的计算能力，某校举行了数学计算比赛，现从七八年级中各随机抽取15名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成4组：A．，B．，C．，D．）
下面给出部分信息：
七年级学生的数学成绩在C组中的数据为：83，84，89．
八年级抽取的学生数学成绩：68，77，76，100，81，100，82，86，98，90，100，86，84，93，87．
七年级抽取的学生的竞赛成绩频数分布直方图
（1）填空：________，________．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共3000人参加了此次竞赛活动，请你估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有多少人？
解：（1）由直方图可知，七年级的数学成绩15个数据按从小到大的顺序排列，第8个数落在C组的第二个，
∵七年级的数学成绩在C组中的数据为：83，84，89，
∴中位数，
∵八年级抽取的学生数学成绩中100分的最多，
∴众数；
故答案为：84；100；
（2）根据以上数据，我认为八年级学生计算能力较好．
理由：从平均分的角度，八年级的平均数87.2高于七年级的平均分87，
∴从平均分的角度八年级学生计算能力较好；
从中位数的角度看，八年级的中位数86高于七年级的中位数84，
∴从中位数的角度八年级学生计算能力较好；
从众数的角度看，八年级的众数100高于七年级的众数98，
∴从众数角度八年级学生计算能力较好；
从方差的角度看，八年级的平均数高于七年级的平均数，且同时方差小于七年级，所以从方差的角度八年级学生计算能力较好．
（3）（名），
答：估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有1200人．
20.[问题背景]
如图，在中，分别是和的中点，连接交于点，且．
[探索求证]
（1）求证：四边形为菱形；
[问题解决]
（2）在的延长线上取一点，连接，使得．若，求的长．
解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
点、分别是、的中点，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形；
（2）由（1）可知四边形是菱形，
，，，
，
，
，
∵四边形是菱形，，，
，，
，
，
如下图所示，过点作于点，
则，
，
，
解得：，
在中，，
，
在中，，
的长度是．
21.已知，是反比例函数图象上的两点．
（1）若，，求的值．
（2）若，关于原点中心对称，求的值．
（3）当，，时，求取值范围．
解：（1）当，时，
，，
；
（2）∵，关于原点中心对称，且都在函数图象上
∴，，，
∴
（3）∵，，
∴，
∵时，图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
∵，，
∴点和点不在同一象限内，
∴点在第三象限，点在第一象限，
∴，且，
解得：．
22.发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线．
（1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米．
①求抛物线的函数解析式；
②石块能否飞越防御墙？
（2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围．
解：（1）①∵发石车发射点点离地面高3米，
∴，
∵抛物线为，且石块在空中飞行的最大高度为米，
∴，把代入，
得：，
解得，
所以抛物线的解析式为；
②∵墙高为6米，∴当时，，
解得（舍去）或，
∵，
∴，
∴，
∵墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，且，
∴石块能飞越防御墙；
（2）由题意，得，
把，代入解析式，
得：，解得：，
把，代入解析式，
得：，解得：，
∴若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B，C），则．
23.已知，二次函数．
（1）若该图象过点，求函数的顶点坐标；
（2）当时，y的最大值是，求a的值；
（3）当时，若，，在函数图象上，且，求m的取值范围．
解：（1）把点代入中，得，
解得，
∴，
∴顶点坐标为；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，
∵当时，y的最大值是，
∴当时，，
∴把代入中，得，
当时，∵当时，y的最大值是，
∴当时，，
∴把代入中，得，
∴综上所述，a的值为或；
（3）∵当时，，，在二次函数图象上，
此时抛物线开口向上，对称轴为直线，
故函数图象上的点离对称轴越近，函数值越小，
∵，
∴B点离对称轴的距离小于A点离对称轴的距离，A点离对称轴的距离小于C点离对称轴的距离，
即，
化简得，
由，两边平方得，
解得；
由，两边平方得，
解得，
∴m的取值范围．
24.如图，为的直径，弦于点为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若
①若，求的长；
②若，求与之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下即，求的最大值．
解：（1）如图：连接，
∵是直径，
∴，
∵弦于点，
∴，即，
∴，即．
（2）①如图：连接，
∵是直径，弦于点，
∴，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，，
∴，
∵是直径，弦于点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：．
②∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，∴，∴，
∴相似比为，
∴，即，
∵和是等高三角形，∴，即，
∴，
∴与之间的函数关系式．
（3）在中，，
∵，
∴，即：，解得：，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，即：，解得：，
∴，
∵，即最小值为
∴，
∴的最大值为．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七
87
a
98
99.6
八
87.2
86
b
88.4