2025-2026学年浙江省杭州市钱塘区名校九年级上学期12月月考数学试卷（解析版）

这是一份2025-2026学年浙江省杭州市钱塘区名校九年级上学期12月月考数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共3分）
1.二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】二次函数图象的顶点坐标是，
故选：B．
2.如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】黄色区域圆心角：，
∴转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是：，
故选：C．
3.如图，在矩形中，，．若以点B为圆心，以4cm长为半径作OB，则下列选项中的各点在外的是（ ）
A.点AB.点B
C.点CD.点D
【答案】D
【解析】连接BD，
在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
∵∠B＝90°，
∴BD5，
∵AB＝3＜4，BD＝5＞4，BC＝4，
∴点D在⊙B外，点C在⊙B上，点A在⊙B内．
故选：D．
4.如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若，且，则线段的长度为（ ）
A.2B.
C.3D.
【答案】D
【解析】
∵，，
∴，．
∵与是以坐标原点为位似中心的位似图形，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
故选：D．
5.如图，是等边外接圆上的点，且，则的度数为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】∵是等边三角形，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
6.如图1是第七届国际数学教育大会()的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．如果已知， ，则的值是( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】中，， ，
∴，
在中，，
故选：C．
7.假设你是一名人工智能工程师，正在开发一个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量代表时间（天），代表某商品的日销量（件）．经过初步分析，你发现与之间的关系可以用二次函数来拟合（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】设二次函数解析式为，
把、和代入得，，
解得，
∴二次函数解析式为，
故选：．
8.西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线的半径为90cm，圆心角，则的长度为（ ）
A.cmB.cm
C.cmD.cm
【答案】B
【解析】根据弧长公式，
可得的长度为．
故选：B
9.如图，在中，，点为线段上一动点（不与点重合），连接，作，交线段于点．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：；
乙同学：若，则；
丙同学：当时，为的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A.只有甲同学正确B.乙和丙同学都正确
C.甲和乙同学正确D.三个同学都正确
【答案】D
【解析】在中，
，
，
，，
，
，
甲同学正确；
，，，
，
，
乙同学正确；
当时，
，
，
，
，
，
，
即为的中点，
丙同学正确；
综上所述：三个同学都正确．
故选：D．
10.已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：
①；②二次函数和图像关于轴对称；③；所有正确结论的个数是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】∵二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点，
∴，对称轴为直线，
即，
解得，故①正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴互为相反数，
∴二次函数和图像关于轴对称，故②正确；
如图，点在二次函数的图像上，点在二次函数的图像上，设，则点关于点的对称点的坐标为，
把代入，得，
把代入，得，
∴点在二次函数的图像上，
即点和点关于点对称，
∴，故③正确；
综上，正确的结论为①②③，共个，
故选：．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.如果，则_____．
【答案】
【解析】∵，
则．
故答案为：．
12.一个不透明的袋子中装有个小球，其中个红球、个白球，这些小球除颜色外无其他差别，小明同学从袋子中随机摸出个小球，则摸出的小球是红球的概率是_____．
【答案】
【解析】∵袋子中共有个小球，随机摸出个小球，共有种等可能情况，其中摸出红球的情况有种，
∴摸出的小球是红球的概率为，
故答案为：．
13.如图，在中，是直径，，垂足为，，，则的半径是________．
【答案】5
【解析】连接，如图所示：
，
，
设的半径为，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的半径为5．
故答案为：5．
14.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是________m．
【答案】10
【解析】
当时，得：
，
解得：，（舍去）
即铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是
故答案为：10
15.在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是________．
【答案】
【解析】如图，作的高，，
是锐角三角形，
，在的内部，
，，
在中，，，
，
，
又，
，
故答案为：．
16.如图，边长为的正方形内放置了个大小相等的小正方形，且，，，四个顶点分别在正方形的四条边上，则每个小正方形的边长是______．
【答案】
【解析】∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
设，，
则，，，，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴小正方形的边长是，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
17.计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
18.第八届养正教育集团学科文化节即将举行，特设立了抽奖环节．设有四张除正面图案不同外，其余都相同的卡片，正面印有“诚、毅、勤、朴”图案．卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上．
（1）若小正同学随机翻开一张，求抽到“诚”图案的概率．
（2）这四张卡片分别对应价值为40元，35元，30元，25元的4件奖品，若小景同学连续抽取两张卡片（不放回），请通过列表或树状图分析两次抽取奖品总值不低于65元的概率．
解：（1）总共有4张卡片，分别是“诚”、“毅”、“勤”、“朴”．
抽到“诚”图案的情况只有1种，
因此，抽到“诚”图案的概率为：．
（2）四张卡片标上对应的价值：“诚”40元，“毅”35元，“勤”30元，“朴”25元．
用列表法来分析所有可能的抽取组合（不放回抽取）：
总共有12种可能的抽取组合．
找出总值不低于65元的组合：（诚，毅）、（诚，勤）、（诚，朴）、（毅，诚）、（毅，勤）、（勤，诚）、（勤，毅）、（朴，诚），共8种．
因此，两次抽取奖品总值不低于65元的概率为：．
19.如图，中，，为上任意一点，，．
（1）求证：；
（2）若，且的面积为，求四边形的面积．
解：（1）证明：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
20.如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上．
（1）若，求的度数；
（2）在（1）的条件下，若，求的长．
解：（1）如图：连接，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
21.如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)
（1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
解：（1）如图2，过点C作，垂足为N
由题意可知，，
在中， ，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
22.在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个．
（1）如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？
（2）若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？
解：（1）设每个毛绒玩具售价定为元，，
该毛绒玩具每天的销售量为，
根据题意得，
解得，，
尽可能让利于顾客，
，即每个毛绒玩具售价定为元；
（2）设每天销售玩具所获利润为元，
，
获利不得高于进价的，
，
解得，
，
当时，随着的增大而增大，
当时，最大，此时，
若获利不得高于进价，每个毛绒玩具售价定为元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是元．
23.已知二次函数（为常数）的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1．
（1）求的值；
（2）设点在抛物线上，点在抛物线上．
①若，，求的值；②若，求的最小值．
解：（1）二次函数，
∴该函数的顶点横坐标为1，
∵二次函数（为常数）的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1，
∴二次函数（为常数）的顶点横坐标为2，
又二次函数，
∴，解得；
（2）①∵，且点在抛物线上，
∴，即，
∵，且点在抛物线上，
∴，
整理可得，
解得或；
②∵，且点在抛物线上，
∴，即，
∴点，即点
∵点在抛物线上，
∴，
即，
∵，则，
∴，
∴的最小值为2．
24.如图①，点是圆劣弧上的一个动点（不与点，重合），且满足，
（1）求证：为等边三角形；
（2）若，，求的长；
（3）如图②，是内一点，，，，点在劣弧上运动的过程中，，求的值．
解：（1）证明：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（2）如图所示，延长至点，使，则，连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
又由圆周角定理得，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，延长至点，使得，过点作于点，连接，
由（）知，是等边三角形，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作的延长线交于点，如图所示，
则，，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（）知为等边三角形，
∴，
∴．
第一次抽取
第二次抽取
总值（元）
诚 (40)
毅 (35)
75
诚 (40)
勤 (30)
70
诚 (40)
朴 (25)
65
毅 (35)
诚 (40)
75
毅 (35)
勤 (30)
65
毅 (35)
朴 (25)
60
勤 (30)
诚 (40)
70
勤 (30)
毅 (35)
65
勤 (30)
朴 (25)
55
朴 (25)
诚 (40)
65
朴 (25)
毅 (35)
60
朴 (25)
勤 (30)
55