2025-2026学年浙江省杭州市名校九年级上学期12月月考数学试卷（解析版）

这是一份2025-2026学年浙江省杭州市名校九年级上学期12月月考数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 函数的图象的顶点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】二次函数 的顶点坐标为 ．
故选：A．
2. 某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷3次，都是反面朝上，则该同学抛掷第4次出现正面朝上的概率是（ ）
A. B.
C. D. 1
【答案】C
【解析】连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，前3次的结果都是反面朝上，
他第4次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：，
故选：C．
3. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A.B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，连接，由题意知三点共线，

由题意得：，
在中，根据勾股定理得，
即截面圆中弦的长为，
故选：D．
4. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是
A.55°B. 60°
B.C. 65°D. 70°
【答案】C
【解析】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，
∴∠ACD=90°-20°=70°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC=180°，
∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，
∴∠ADC=∠E+20°，
∵∠ACE=90°，AC=CE
∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°
在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，
即45°+70°+∠ADC=180°，
解得：∠ADC=65°，
故选C．
5. 如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为1的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留π）为（ ）
A.B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵六边形的内角和为：，
∴六个阴影部分所对圆心角的和为：720°，
∴阴影部分的面积相当于两个圆的面积之和，
∴阴影部分的面积为：2π×12=2π（）
故选B．
6. 在中，分别为所对的边则下列等式中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
则sin，即，故A正确，不符合题意；
，即，故B不正确，符合题意；
，即，故C正确，不符合题意；
，即，故D正确，不符合题意；
故选：B．
7. 已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、根据平行线分线段成比例定理得，故，故此选项错误；
B、根据平行线分线段成比例定理得，故，故此选项错误；
C、根据平行线分线段成比例定理得，故，故此选项错误；
D、根据平行线分线段成比例定理得故，故此选项正确．
故选D．
8. 如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（ ）
A.B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：B．
9. 已知二次函数，当时，的取值范围是，且该二次函数的图象经过两点，则的值可能是（ ）
A. 4B. 2
C. 0D.
【答案】A
【解析】
当时，的取值范围是，
二次函数开口向下（），且对称轴．
，
，
又，
点比点更靠近对称轴．
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离，
即，解得或．
选项中只有满足．
故选：A．
10. 如图，在中，，，，，记，，当不变，改变的过程中，下列代数式的值不变的是（ ）
A.B.
C. D.
【答案】C
【解析】过点和作的垂线，垂足分别为和，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∵不变，
∴设为定值，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
整理得，
∴为定值，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则n的值为_____．
【答案】16
【解析】由题意知，摸到红球的概率为，红球有4个，
因此袋中球的总个数约为（个），
∴袋中白球的个数．
故答案为：16．
12. 已知，则的值等于______．
【答案】
【解析】，
，
原式．
故答案为：．
13. 如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ________．
【答案】
【解析】如图，连接、，
∵五边形是的内接正五边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14. 如图，四边形内接于，连接，若，则的度数为___________．
【答案】
【解析】∵四边形内接于，，
∴，即：，
∵，则
∴．
故答案为： ．
15. 已知两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】∵，点是抛物线的顶点，
∴抛物线开口向下，即，点离对称轴越远，函数值越小，
∴．
当时，，不等式始终不成立，
当时，，不等式始终成立，即，
当时，，不等式始终不成立，即，
综上所述：，
故答案为．
16. 如图，在菱形中，点E为对角线上一点，将沿折叠，使得点A的对应点F落在边上，交于点G．
（1）若，则的度数为______．
（2）若设，则的值为______．（用含k的代数式表示）
【答案】 ①. ②.
【解析】（1）∵四边形为菱形，，
∴，，，
∴，，
∵将沿折叠，使得点A的对应点F落在边上，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）由（1）可知，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. （1）计算：
（2）一个扇形的弧长是，面积是，求扇形圆心角的度数．
解：（1）
；
（2）设扇形圆心角度数为，半径为，
则， 解得∴扇形圆心角的度数为．
18. 国产AI大模型DeepSeek的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解．请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“D．专家系统”的概率．
解：列表如下：
共有12中等可能结果，其中甲乙都没有选择“D．专家系统”的共有6种结果．
所以（甲乙都没有选择“．专家系统”）．
19. 二次函数的图象经过点，顶点坐标为
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当时，求的取值范围；
（3）直接写出将该抛物线向上平移几个单位后所得抛物线与坐标轴只有两个公共点．
解：（1）根据题意，设二次函数的表达式为，
将代入，得，，
解得，，
∴这个二次函数的表达式为．
（2）∵二次函数的表达式为．
∴当时，，
当时，
∵抛物线的顶点坐标为
∴y的最小值为，
∴当时，y的取值范围为；
（3）当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得，
∴与x轴只有一个交点即，
当时，，
∴与y轴有一个交点即，符合题意；
当经过原点时，向上平移3个单位长度，得到函数解析式为：，
当时，，
解得：，
所得交点为，符合题意；
∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴只有两个公共点．
20. 如图，在中，点、分别在、上，连接、，，且．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
解：（1）证明：∵，且，
，
，
．
（2）∵，
，
，
，
，
，
的值是．
21. 如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）连接，记度数为，的度数为．探究与的数量关系．
解：（1）证明：连接，如图：
为的直径
，即
又
；
（2）连接、，如图：
的度数为
为直径
即
与的数量关系为．
22. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，，）
（1）求酒精灯与铁架台水平距离的长度（结果精确到）；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．
解：（1）如图，过点E作于点G，
∵，，
，，
在中，，，
，
，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为；
（2）如图，过点B分别作，，垂足分别为H、P，则四边形是矩形，
在中，，，
，，
，
∵，
，
，
∵，，，
，
，
答：线段的长度约为．
23. [定义初窥]已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”；在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．
例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．
（1）的“升幂函数”的函数表达式为_____．
（2）点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，当时，求点的坐标．
[解构探微]
（3）点在函数的图象上，其横坐标为，点“关于的升幂点”为点，点在的“升幂函数”的图象上，其横坐标为．
①当点，点所在直线与轴平行时，求的值（用含有的代数式表示）；
②函数的对称轴为直线，它的图象上有两点，，若对于且，都有，直接写出的取值范围为_____．
解：（1）由题意得，；
故答案为：；
（2），设，
轴，
当时，，
即或，
解得，
点坐标为或．
（3）①，
，
即；
点，点所在直线与轴平行，
，
解得；
②，
，
，
，
，
，对称轴为直线，
∴抛物线过原点，抛物线与x轴的另一个交点为，
当，即时，点和点都在轴的下方，
，
，
当时，则点都在轴的上方，，
或．
24. 如图，在半径为3的作内接矩形，点E是弦的中点，，连结并延长交于点F，点G是的中点，连结分别交于点H、点P．
（1）证明：；
（2）求的长；
（3）若存在一个实数m，使得，试求出m的值．
解：（1）证明：连接，
，
，
，
，
．
（2）连接，分别交、于点、，
∵是的中点，
∵矩形内接于，
为的直径，
∵是弦的中点，，
∴，
∴，
∵半径为3，
∵，
（3）∵，
连接，
∵为的直径，
又，
，
，
，
．
乙
甲