浙江省杭州市钱塘区名校2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省杭州市钱塘区名校2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确．每小题3分，教数匠共30分）
1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、是一次函数，故此选项不符合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 下列成语或词语所描述的事件中，不可能发生的是（ ）
A. 水中捞月B. 旭日东升
C. 守株待兔D. 夕阳西下
【答案】A
【解析】A．“水中捞月”是不可能事件，因此选项A符合题意；
B．“旭日东升”是必然事件，因此选项B不符合题意；
C．“守株待兔”是随机事件，因此选项C不符合题意；
D．“夕阳西下”是必然事件，因此选项D不符合题意；
故选：A．
3. 已知的半径为8cm，点P在上，则的长为（ ）
A. 2cmB. 4cmC. 8cmD. 16cm
【答案】C
【解析】∵的半径为8cm，点P在上，
∴．
故选：C．
4. 盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确是（ ）
A. 一定是红球B. 摸出红球的可能性最大
C. 不可能是黑球D. 摸出黄球的可能性最小
【答案】B
【解析】由题意可得，
摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为：，摸出黑球的概率为：，
故选B；
5. 抛物线的顶点坐标是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故选：D．
6. 一台机器原价200万元，若每年折旧率是，两年后这台机器约为万元，则与的函数关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意知．
故选：D．
7. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，将绕点顺时针旋转到，
，
，
，
故选：B．
8. 如图，、是的弦，且，若，则的度数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
9. 如图，内接于，其外角平分线交于，于，于，则结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A. ①B. ①②
C. ①③④D. ①②③④
【答案】C
【解析】∵A、B、C、D四点共圆，
∴，
∵外角平分线交于，
∴，
又∵，
∴，
∴，故①说法正确；
∵是平分线，，，
∴，
∴，
∴，
∴，故②说法错误；
∵，，
∴，
∴，
∴
，故③说法正确；
，故④说法正确；
故选：C．
10. 已知，且都为正数，若满足，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
①当时，，
∴，与已知矛盾，不合题意，
∴；
②∵，，，
∴，，，
若，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，与已知矛盾，不合，
∴，
同理可得，，
∴，即
故选：．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11. 若二次函数的图象过点，则_______
【答案】2
【解析】将点代入二次函数得：，
．故答案为：2．
12. 一个袋子中装有5个白球和若干个红球（袋中每个球除颜色外其余都相同）．某活动小组想估计袋子中红球的个数，分20个组进行摸球试验．每一组做400次试验，汇总后，摸到红球的次数为6000次．估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是_______．
【答案】
【解析】由题意知，红球的概率为：，
故答案为：．
13. 已知直角三角形的斜边长为，则该三角形的外接圆半径为______．
【答案】
【解析】∵直角三角形的斜边长为，
∴直角三角形的外接圆半径为．
故答案为：．
14. 将函数化为的形式， 得____________．
【答案】
【解析】
故答案为：．
15. 若关于方程．在范围内有两个不同的实数根，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
解得；
整理得，
令，可看作抛物线与的交点情况，
∵，∴抛物线开口向下，顶点坐标为，
当时，，其关于对称轴的对称点为；
当时，，其关于对称轴的对称点为；
函数图象如下，
在范围内，当时，直线与抛物线有两个交点，
综上，实数的取值范围是，
故答案为：．
16. 如图，点在以为直径的半圆上，，点在的中点，平分交于点，的交点为，则_______度；当时，则的长为_______．
【答案】①. 135 ②.
【解析】∵点F是的中点，
∴，
∵平分，
∴
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴；
连接，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
根据勾股定理可得
，即，
∴（负值已舍），
∵点F是中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：，
三、解答题（本大题有8个小题，共72分）
17. 国庆节期间，小明前去黄龙体育中心观看了男子足球比赛，在场馆里可利用门票随机兑换亚运纪念品，一张票可以随机兑换一个纪念品，分别有明信片、小扇子和遮阳帽，小明有两张票，打算去随机兑换，请你帮助小明算一算．
（1）小明用两张票随机兑换的纪念品有几种可能性？请用列表或画树状图表示．
（2）小明用两张票去随机兑换，恰好得到两张明信片的概率是多少？
解：（1）将明信片、小扇子和遮阳帽分别记为A，B，C，
列表如下：
共有9种等可能的结果．
（2）由表格可知，刚好得到两张明信片的结果有1种，
∴刚好得到两张明信片的概率为．
18. 如图，一个弓形零件，高为，长．
（1）请用直尺和圆规画出弓形所在圆的圆心．
（2）请计算弓形所在圆的半径长．
解：（1）如图，点即为所求；
（2）设，的垂直平分线交于点C，交于点D．
，
，
∵，
∴，
在中，则有，
解得，
∴弓形所在圆的半径长为．
19. 如图，二次函数（为常数）的图象的对称轴为直线．
（1）求的值．
（2）给出一种平移方案，使该二次函数的图象经过原点，并写出平移后图象所对应的二次函数的表达式．
解：（1）．
∵图象的对称轴为直线，
∴，
∴；
（2）∵，∴二次函数的表达式为，
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点，
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为（答案不唯 一）．
20. 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）若的度数为，求的度数．
（1）证明：连接，如图，
∵为半圆的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵的度数为，且，
∴的度数为，
∴的度数为，
∴,
∵，
∴．
21. 已知二次函数的图象经过点和点，且有最小值为．
（1）求当在什么范围时，随的增大而增大；
（2）求当时，的取值范围．
解：（1）∵和点是抛物线与x轴的交点，
∴函数图象的对称轴为直线，
又因为有最小值为，
∴抛物线的开口向上，
∴当时，随的增大而增大；
（2）由题意画出函数图象如图，
当时，或．
22. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成三个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图），养殖场的总面积为．
（1）求关于的函数关系式和自变量的取值范围：
（2）当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
解：（1）由图形和题意可知，竖直方向的小矩形的长为两个水平方向的矩形的宽的2倍，则两个水平方向的矩形的长为竖直方向的矩形的宽的2倍，
∴大矩形的长为，则大矩形的宽为，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴当时，值最大为，
答：当时，矩形的面积最大为．
23. 在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）．
（1）当时，
①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式；
②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：；
（2）已知该函数的图象经过点，．若，，求a的取值范围．
（1）证明：①∵，
∴该函数解析式为．
∵该函数图象的对称轴为直线，
∴，
解得：．
∵该函数图象过点，
∴，
解得：，
∴该函数解析式为；
②∵该函数解析式为，且其图象与x轴有且只有一个交点，
∴方程有且只有一个实数解，
∴，
整理，得：，即，
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵该函数的图象经过点，，
∴，，
∴，
整理，得：，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，即．
∵，
∴，
解得：．
24. 以为直径作三角形的外接圆，的角平分线交圆O于点，连接．
（1）若，求的度数．
（2）若，求与的长．
（3）猜想与的数量关系，并说明理由．
解：（1） ∵是直径，
∴
∵，
∴
∵
∴．
（2）如图1，连接，作于E，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，解得：，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
由勾股定理得，，解得：，
由勾股定理得，，
∴，
∴的长为，的长为．
（3），理由如下；
如图2，连接，作于E，
同理（2），，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，，
同理（2），，
由勾股定理得，，
∵，
∴．
A
B
C
A

B
C