2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区名校九年级上学期12月月考数学试卷（解析版）

这是一份2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区名校九年级上学期12月月考数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ）
A. 任意掷一枚硬币，正面朝上
B. 若、是实数．则
C. 两数相乘，积为正数
D. 运动员投篮时，连续两次投进篮筐
【答案】B
【解析】A、任意掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A不符合题意；
B、若a、b是实数．则，是必然事件，故B符合题意；
C、两数相乘，积为正数，是随机事件，故C不符合题意；
D、运动员投篮时，连续两次投进篮筐，是随机事件，故D不符合题意；
故选：B．
2. 已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】圆内接四边形对角互补，
，．
：：：：，设，，．
，
解得．
．
故选：B．
3. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在中，当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
故选C．
4. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交，l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交，l1，l2，l3于点D，E，F，若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是( )
A.6B. 8
C. 9D. 12
【答案】D
【解析】∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∵DF＝DE＋EF＝9
∴AC＝×AB＝12.
故答案选D.
5. 如图，在中，，如果把的各边都扩大到原来的3倍，则的值（ ）
A.扩大到原来的3倍B. 缩小到原来的
C. 扩大到原来的2倍D. 不变
【答案】D
【解析】∵在中，，
∴．
如果把的各边都扩大为原来的3倍，
∴，
∴的值不变．
故选：D．
6. 已知、、是抛物线上的点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵抛物线的开口向上，对称轴是直线，
∴距离对称轴越远的点的纵坐标越大，
∵、、是抛物线上的点，
又∵，
∴．
故选：B．
7. 如图1是圆形干果盘，其示意图如图2所示，四条隔板，，，
长度相等，横纵隔板互相垂直交于隔板的三等分点，测得，则该干果盘的半径为（ ）
A.B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图，过点O作于点K，连接，
则，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
则该干果盘的半径为．
故选∶A．
8. 如图，在的、边上分别取点E、F使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定E、F的方法，正确的有（ ）
A.0种B. 1种
C. 2种D. 3种
【答案】D
【解析】①由尺规作图可得四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②由尺规作图可得，
又∵，
∴；
③由尺规作图可得平分，是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
即正确的有3种．
故选：D．
9. 如图，将以直角顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转
得到，延长，交于点F，设，则的值为（ ）
A.B.
C. D.
【答案】D
【解析】在中，，
设，则，
由旋转的性质得∶，，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴和都是直角三角形，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴
故选∶D．
10. 已知点，，均在二次函数图象上，若，则下列选项不成立的是（ ）
A. 若且，则
B. 若且，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】∵函数，
∴对称轴为，顶点纵坐标为，
即顶点坐标为，
∵，
∴点为顶点，即，
选项A：若且，则函数图像开口向下，函数值越小则离对称轴越远，
∴，即，成立；
选项B：若且，则函图像象开口向上，函数值越大则离对称轴越远，
∴，即，但选项结论为，不成立；
选项C：若，即，
则有两点关于对称轴对称，即，成立；
选项D：若，即，
∵，，则，成立．
故选：B．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 抛物线的对称轴是直线______．
【答案】
【解析】抛物线是顶点式形式，其中，，，
因此对称轴是直线．
故答案为．
12. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，估计该麦种的发芽概率为________．（精确到0.01）
【答案】0.95
【解析】观察发现：随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定到常数 0.95 附近，所以该麦种的发芽概率约为 0.95 ．故选C．
13. 已知点是线段的黄金分割点，，则线段的长为________．
【答案】
【解析】点是线段的黄金分割点，，
，
，
故答案为：．
14. 如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________．
【答案】或
【解析】∵函数与的图象交于，两点，
∴由函数图象可知：关于x不等式（即）的解集是或；
故答案为或．
15. 如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点O落在弧的中点C处．若折痕，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】连接，如下图所示：
∵点为弧的中点，结合垂径定理，
∴垂直平分，
∴，，
又∵折叠的性质，故，，
∴，故四边形为菱形，
又∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在矩形中，点E是上一动点，连接AE，点F为点B关于直线AE的对称点，连接，若，当时，________．
【答案】或
【解析】过点作的垂线，交于点，交与点，
设，，则．
(1)如解图①，在中，，则，
在中，，则，
解得：，，∴，，，
∵，∴，
∵，∴，
又∵，
∴△∽△，
∴，∴，∴，
∴；
(2)如解图②，在△中，，则，
∴在中，，则，
解得：，．∴，，．
同理可得，
∴，∴，
∴，∴．
综上所述，当时，或．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 计算：
（1）若，求的值．
（2）．
解：（1）∵，
∴设，
∴；
（2）
．
18. 如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足．
（1）证明：；
（2）若，，求的长．
解：（1）是角平分线，
，
又，
；
（2），
，
，
，，
．
19. 旅客在某网站购高铁票，系统会随机分配座位．李某和张某打算购票，如图所示一排中座位编号为A，B，C，D，F，若系统已将两人分配到同一排，在同一排分配各个座位的概率一样．
（1）“分给李某座位A”是随机事件，这一事件的概率是________；
（2）试用列表法或画树状图法求分给这两人相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率．
解：（1）“分给李某座位A”是随机事件；
分给李某座位有5种等可能情况，其中分给李某座位A的概率为；
（2）根据题意画树状图如下：
共有种等可能情况，其中相邻座位的情况数有种，
∴分给李某和张某相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率是．
20. 如图，为的直径，是弦，且于点．连接，，．
（1）求证：．
（2）若，求和的长．
解：（1）证明：为的直径，是弦，且，
，
，
，
，
；
（2）为的直径，是弦，且，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
，，
，
，
，
．
21. 如图，某大楼的顶部有一块广告牌，小背在山坡的坡脚A处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为．已知山坡的坡度为，米，米．
（1）求点B距地面的高度；
（2）求广告牌的高度．（结果保留根号）
解：（1）过B作于H，
中，，
∴，
∴米；
（2）∵，
∴四边形是矩形．
∵由（1）得：米，
∴米，
中，，
∴．
中，，米，
∴米．
∴（米）．
答：宣传牌高约米．
22. 新年临近，一款马年吉祥物玩具深受大家喜爱，玩具进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个，现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元
（1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）将玩具的销售单价定为多少元时，商家每天销售玩具获得的利润元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围．
解：（1）根据题意得，
规定销售单价不低于元，且不高于元，
，
即．
（2）根据题意得，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为．
答：将玩具的销售单价定为元时，商家每天销售玩具获得的利润元最大，最大利润是元．
（3）根据题意可知剩余利润为元，
捐款后每天剩余利润不低于元，
，
即，
解得，
，
．
答：捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是．
23. 已知二次函数（a，b为常数，）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移4个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求n的取值范围．
解：（1）二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
解得．
二次函数的表达式．
（2）点向上平移4个单位长度，向左平移个单位长度，
平移后的点为，即．
点两次平移后落在的图象上，
．
整理得．
解得，．
，
．
（3），
抛物线开口向上，顶点坐标为．
对称轴为直线，
当，y随x的增大而减小；当，y随x的增大而增大．
当时，．
分三种情况：
当时， y随x的增大而减小；
当时，y的值最大，即最大值为；
当时，y的值最小，即最小值为．
二次函数的最大值与最小值的差为4，
，解得．
当时，则时，y的值最大，即最大值为；
当时，y的值最小，即最小值为．
此时二次函数的最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，则时，y的值最小，为，
当时，y的值最大，即最大值为，
二次函数的最大值与最小值的差为4，
．
解得，．
，
不符合题意，舍去．
综上，n的取值范围．
24. 如图，为的直径，弦于点C（C为线段上一点），F为上一点（点C，F均不与端点重合），连接，，射线交于点H，与射线交于点G，且．
（1）求证：．
（2）若，，求的值．
（3）当点B为中点时，
①求证：；
②求的值．
解：（1）∵弦于点C，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
设，则，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）①证明：如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
∴，，
∵，∴，
∴，
∵点B为中点，
∴是中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，∴，
又∵，
∴，
②．
试验种子数n（粒）
5
100
500
1000
3000
5000
发芽频数m
4
92
476
951
2851
4750
发芽频率
0.800
0.920
0.952
0.951
0.950
0.950
A
B
C
过道
D
F