四川省绵阳市2026届高三数学上学期入学考试试题含解析

这是一份四川省绵阳市2026届高三数学上学期入学考试试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本大题共 8 小题，共 40 分.
1. 已知集合 ， ，下列结论成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据子集的概念、交集和并集运算、补集运算分析选项是否成立.
【详解】对于 A：集合 ， ，不满足 ，则 A 错；
对于 B： ，则 B 错；
对于 C： ，则 C 正确；
对于 D： ，则 D 错.
故选：C.
2. 已知复数 z 满足： （i 为虚数单位），且 z 在复平面内对应的点位于第三象限，则复数 z 的虚
部为（ ）
A. 2i B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，依题意利用复数的乘方和复数相等的充要条件，列出方程，求解即得复数 ，
从而可得其虚部.
【详解】设 ，则 ，
可得 ，解得 或 ，
因 z 在复平面内对应的点位于第三象限，故 ，
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即 ，故复数 z 的虚部为 .
故选：C.
3. 设 ， ， ，若 ，则 与 夹角的余弦值为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题意求出 ,再代入公式 即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ,
又因为
所以 解得 .
所以
所以 .
故选：B.
4. 已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（ ）
A.
B. ；
C.
D. .
【答案】B
【解析】
【分析】根据面面平行的判定定理可判定 A，根据面面平行的性质定理可判定 B，根据线面平行的判定定理
可判定 C，根据线面平行的性质定理可判定 D.
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【详解】选项 A：由面面平行的判定定理可知，由于 m，n 不一定相交，故 A 错误；
选项 B：由面面平行的性质定理可知 B 正确；
选项 C：由线面平行的判定定理可知，m 可能在 内，故 C 错误；
选项 D：由线面平行的性质定理可知，m，n 可能异面，故 D 错误；
故选：B.
5. 直线 分别与 轴， 轴交于 两点，点 在圆 上，则 面积的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出 ，即可求出 ，再求出圆心到直线的距离，即可求出三角形的高的取值范围，从
而得到面积的取值范围；
【详解】解： 直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，
令 ，得 ，令 ，得 ，
， ， ，
圆 的圆心坐标为 ，半径 ，则圆心 到直线 的距离
，点 在圆 上，所以三角形的高 ，即
，所以
故选：A
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6. 已知等差数列 的公差为 2，前 项和为 ，且 成等比数列.令 ，则数列 的
前 50 项和 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 成等比数列结合公差为 2，求得 ，得到 ，再利用裂项相消法求解.
【详解】因 ， ， ，
由 成等比数列，得 ，解得 ，
所以 ，
则 ，
则 .
故选：D.
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7. 已知 ， ，直线 与函数 的图象在 处相切，设
，若在区间 ， 上，不等式 恒成立，则实数
A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值
【答案】A
【解析】
【分析】求得 的导数，可得切线的斜率，解方程可得 ， ，求出 的导数和单调性，
可得最值，解不等式即可得到 的最值．
【详解】解： ， ，
，又点 在直线 上，
， ，
， ， ，
当 ， 时， ，
在 ， 上单调递增，
（1） ， 在 ， 上单调递增，
或 ，
的最大值为 ，无最小值，
故选：A．
【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，
注意运用函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
8. 设 ， ， ，则 的
大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】利用两角和差正余弦公式、二倍角公式和诱导公式化简可得 ， ，
，由正弦函数单调性可得结果.
【详解】
；
；
；
，
故选：D.
二、多选题：本大题共 3 小题，共 18 分，全选对得 6 分，选对但不全得部分分，有选错得 0
分.
9. 下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性进行大小比较即可，对于 D，可以用作商法，再对无
理数放缩进行大小比较即可.
【详解】利用 是单调递增函数，可得 ，故 A 正确；
利用指数函数 单调性可知： ，
利用幂函数的单调性可知： ，所以 ，故 B 错误；
利用指数函数单调性可知： ，
利用对数函数单调性可知： ，所以 ，故 C 正确；
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利用作商法 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，故 D 正确；
故选：ACD
10. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为矩形，且 ，
则（ ）
A. 平面 平面 B. 点 到平面 的距离为
C. 二面角 的正切值为 D. 若平面 与平面 的交线为直线 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据面面垂直的判定定理证明 A，利用等体积法计算点 到平面 的距离，即可判断 B，过点
作 交 于点 ，连接 ，则 即为二面角 的平面角，即可判断 C，根据
线面平行的性质判断 D.
【详解】对于 A：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 为矩形，所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ，故 A 正确；
对于 B： 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，又 ，
所以 ， ， ，
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所以 ，又 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
所以 ，即 ，解得 ，故 B 错误；
对于 C：在平面 中过点 作 交 于点 ，连接 ，
因为 平面 ，由三垂线定理，可得 即为二面角 的平面角，
又 ，所以 ，
所以 ，即二面角 的正切值为 ，故 C 正确；
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又平面 与平面 的交线为直线 ， 平面 ，所以 ，故 D 正确；
故选：ACD
11. 已知双曲线 C 经过点 ，且与椭圆 有公共的焦点 ，点 M 为椭圆 的上顶点，
点 P 为 C 上一动点，则（ ）
A. 双曲线 C 的离心率为 B.
C. 当 P 为 C 与 的交点时， D. 的最小值为 1
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意中的点求出双曲线方程，结合离心率的定义即可判断 A；根据双曲线的渐近线，结合图
形即可判断 B；根据椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理计算即可判断 C；由两点距离公式，结合二次函数
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的性质即可判断 D.
【详解】A：由题意， ，设双曲线的标准方程为 ，
将点 代入得 ，所以双曲线方程为 ，
得其离心率为 ，故 A 正确；
B：由 A 选项的分析知，双曲线的渐近线方程为 ，如图，
，所以 ，得 ，故 B 错误；
C：当 P 为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知，
，解得 ，
又 ，在 中，由余弦定理得 ，故 C 正确；
D：设 ，则 ，
所以 ，
当 时， ，故 D 正确.
故选：ACD.
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第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共 3 小题，共 15 分.
12. 若正数 ， 满足 ，则 的最小值为______．
【答案】16
【解析】
【分析】“1”
根据式子结构，利用“1”的妙用求出最小值.
【详解】∵正数 ， 满足 ，
∴ ，当且仅当 也即
当 时取“ ”．
故答案为：16.
13. 直线 ： 截圆 的弦为 ，当 取最小值时 的值为
__________．
【答案】1
【解析】
【分析】由于直线 恒过 ，所以当直线 与定点和圆心连线的直线垂直时， 取得最小值，从
而可求出 的值
【详解】直线 ： 恒过 ，圆 的圆心 ，半径为 ，所以
定点与圆心的距离为： ，
所以则 的最小值为： ，
此时直线 与定点和圆心连线的直线垂直．可得 ．
故答案为： ．
14. 已知数列 满足 ， ，且 ， ，设数列 的前 项
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和为 ，则 __________（用 表示）.
【答案】
【解析】
【分析】分别求得当 为奇数和 为偶数时，数列的通项公式，再用分组求和法求得数列前 项的和.
【详解】当 是奇数时， ， ，所以 ， ， ，…， ，…是首项为 1，公差
为 6 的等差数列，因此 ；当 是偶数时， ， ，所以 ， ， ，…，
，…是首项为 4，公比为 3 的等比数列，因此 .综上， ，所以
， 即
.
【点睛】本题考查等差、等比数列的通项公式与求和公式，考查化归与转化的数学思想.属于中档题.
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.
15. 已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）若 ， ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数周期性计算即可得；
（2）由题意可得 ，再利用 范围结合同角三角函数基本关系计算即可得.
【小问 1 详解】
由题意得
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，
而 ，故 的最小正周期为 .
【小问 2 详解】
由（1）可知 ，
又 ，所以 ，
由 ，得 ，
从而 ．
16. 已知曲线 在点 处的切线的斜率为 3，且当 时，函数
取得极值.
（1）求函数的极值；
（2）若存在 ，使得不等式 成立，求 的取值范围.
【答案】（1）极大值是 ，极小值是 ；
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ， ，求得函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，求
函数的极值；
（2）根据（1）的结果求函数的最值，不等式可得 ，即可求解 得到取值范围.
【小问 1 详解】
，由导数的几何意义可知， ，
且 ，得 ，
所以 ， ，得 或 ，
，得 或 ， ，得 ，
所以 的增区间是 和 ，减区间是 ，
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所以 的极大值是 ，极小值是 ；
【小问 2 详解】
由（1）可知， 在区间 单调递增，在区间 单调递减， ，
所以 在区间 的最大值为 ， ，
若存在 ，使得不等式 成立，则 ，
所以 .
17. 如 图 ， 四 棱 锥 的 底 面 为 平 行 四 边 形 ， 且
， 是 的中点．
（1）若 ，求 的值；
（2）求线段 的长．
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】小问 1 利用空间向量的线性运算即可，小问 2 运用空间向量线性运算结合中点的条件，建立方程，
求解即可.
【小问 1 详解】
，
【小问 2 详解】
，
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．
18. 已知椭圆 ， 分别为双曲线 的左，右顶点， 分别为
和 的离心率．
（1）若 ．
（ⅰ）求 的渐近线方程；
（ⅱ）过点 的直线 l 交 的右支于 两点， 与直线 交于 两点，记
坐标分别为 ，求证： ；
（2）从 上的动点 引 的两条切线，经过两个切点的直线与 的两条渐近线围成三
角形的面积为 S，试判断 S 是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析
（2）是，定值为
【解析】
【分析】（1）根据离心率可求 ，故可得（ⅰ）中方程；设直线 AB 的方程为 ，联立直线方程和
椭圆方程后利用韦达定理化简 后可得它们相等.
（2）设 ，求出切点弦的方程后再求出切点弦与渐近线的交点后可求得面积为定值.
【小问 1 详解】
（ⅰ）由题意得 ，所以 ，
解得 ，又 ，所以 ．
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故双曲线 的渐近线方程为 ；
（ⅱ）证明：设直线 AB 的方程为 ，
由 消元得： 且 ，
故 ，故 ，
所以 故 ，
又直线 的方程为 ，
所以 ，同理 ，
所以
，
故 ．
【小问 2 详解】
设两个切点为 ，由题意知 斜率存在，
直线 方程为 ，
联立 ，故 ，
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由 可得 ，
整理得到： ，
故 ，故 ，所以 ，
同理直线 方程 ，
由 过 P 点可得 可得直线 的方程为 ，
不妨设直线 与 x 轴交于点 ，与两条渐近线的交点分别为 ， ，
由 可得 ；同理
则围成三角形的面积为：
，
因 P 在双曲线 上， ，则 为定值．
19. 定义：若无穷数列 满足 是公比为 的等比数列，则称数列 为“ 数列”.设数列
中
（1）若 ，且数列 是“ 数列”，求数列 的通项公式；
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（2）设数列 的前 项和为 ，且 ，请判断数列 是否为“ 数列”，并说
明理由；
（3）若数列 是“ 数列”，是否存在正整数 ，使得 ？若存在，请求出所有
满足条件的正整数 ；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）是“ 数列”，证明见解析；（3）存在， ；
【解析】
【分析】
（1）计算 ，故 是公比为 1 的等比数列，计算得到答案.
（2） 是“ ”数列，化简得到 ，即 ，得到证明.
（3） 是公比为 2 的等比数列， ，利用累加法得到 ，得到 ，计
算得到答案.
【详解】（1）由题意可得 ，
由数列 为“ 数列”可得 ，即 ，
则 是公比为 1 的等比数列，即 ，
则 是首项为 1，公差为 3 的等差数列， ；
（2） 是“ ”数列，，
理由如下： 时，由 ，可得 ，
两式作差可得 即 ，
则 ，两式作差可得 ，即 ，
由 ，可得 ，则 ，
则 对任意 成立，则 为首项是 ，公比为 3 的等比软列，
则 为 数列；
（3）由 是 数列，可得 是公比为 2 的等比数列，
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即 ，则 ，由 ，可得 ，则 ，
则 ，
则 ，若正整数 满足 ，则 ，
由 ，则 ，则 ，
若 ，则 ，不满足 ，
若 ，则 ，则 ，即 ，
则 ，则正整数 ，则 ；
因此存在满足条件的 .
【点睛】本题考查了数列的新定义，累加法求通项公式，解数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法
的灵活运用和理解能力.
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