四川省绵阳市2026届高三数学上学期期中测试试题含解析 (1)

这是一份四川省绵阳市2026届高三数学上学期期中测试试题含解析 (1)，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第 I 卷（58 分）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知全集 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交集与补集运算即可得答案.
【详解】全集 ，
又 ， ，则 ，
所以 .
故选：A.
2. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由复数除法即可求解.
【详解】因为 ，所以 .
故选：A.
3. 设向量 ，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的模判断 A,利用向量垂直的性质判断 B, 利用向量平行的性质判断 C，利用向量数量积判
断 D．
【详解】向量 ，
对于 A， ， ，故 A 错误；
对于 B， ， ，∴ ，故 B 正确；
对于 C， 坐标间不存在倍数关系， 不平行，故 C 错误；
对于 D， ，故 D 错误．
故选：B．
4. 设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ， ，则
【答案】C
【解析】
【分析】ABD 可举出反例；C 选项，根据直线与平面垂直的性质得到 C 正确.
【详解】对于 A，若 ， ，则 或 ，故 A 错误；
对于 B，若 ， ， ，则 或 与 异面，即 B 错误；
对于 C，若 ， ，由直线与平面垂直的性质可得 ，故 C 正确；
对于 D，若 ， ， ，则 与 的关系为平行、相交或异面，故 D 错误；
故选：C
5. 已知直线 ， ，则“ ”是“直线 与 相交”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
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【答案】A
【解析】
【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系分别验证充分性，必要性即可得到结果.
【详解】由题意可得直线 与 相交，
则
当 时，满足 ，即“ ”是“直线 与 相交”的充分条件；
当直线 与 相交时，不一定有 ，比如 也满足，所以“ ”
是“直线 与 相交”的充分不必要条件.
故选:A
6. 式子 可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据组合数的运算性质，将目标式做合理转化为对应组合数形式，即可得结果.
【 详 解 】 由
.
故选：D
7. 已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 ，可得 ，根据等差数列通项公式即可求解.
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【详解】因为 ，所以 ，
又因为 ，所以数列 为首项 ，公差为 3 的等差数列，
所以 ，所以 .
故选：D
8. 点 A 是曲线 上任意一点，则点 A 到直线 的最小距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】动点 在曲线 ，则找出曲线上某点的斜率与直线 的斜率相等的点为距离
最小的点，利用导数的几何意义即可
【详解】不妨设 ，定义域为：
对 求导可得：
令
解得： （其中 舍去）
当 时， ，则此时该点 到直线 的距离为最小
根据点到直线的距离公式可得：
解得：
故选：A
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
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9. 已知函数 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的最大值为 2 B. 的最小正周期为
C. 的图象关于直线 对称 D. 的图象关于点 对称
【答案】ABC
【解析】
【分析】将 解析式经过恒等变换后化为 ，再对其性质逐一判断即可.
【详解】因为 ，
所以 的最大值为 2，故 A 正确.
最小正周期是 ，故 B 正确.
将 代入，可得 ，则其图象关于直线 对称，故 C 正确.
当 时， ，所以 的图象关于点 对称．故 D 错误.
故选: ABC.
10. 若方程 所表示的曲线为 ，则下面四个说法中错误的是（ ）
A. 若 ，则 为椭圆
B. 若 为椭圆，且焦点在 轴上，则
C. 曲线 可能是圆
D. 若 为双曲线，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用二元二次函数与圆锥曲线的关系数，逐一分析判断各选项即可.
【详解】因为方程 所表示的曲线为 ，
AC.当 ，取 时，方程为 ，表示圆，故 A 错误，C 正确；
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B.若 为椭圆，且焦点在 y 轴上，则 ，即 ，故 B 正确；
D.若 为双曲线，可得 ，解得 或 ，故 D 错误.
故选：AD.
11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数
分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点
个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列 ，正方形数构成数列 ，则下列说法
正确的是（ ）
A.
B. 1225 既是三角形数，又是正方形数
C. 若 ，则数列 的前 100 项和为
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由数列的性质可判断 A；再由累加法分别求出数列 ， ，分别令 和 ，
看有无正整数解即可判断 B；设 ，结合等差数列的求和公式可得 C；将 放缩后用裂项相
消求和即可判断 D；
【详解】三角形数构成数列 ：1，3，6，10，…，
则有 ，
利用累加法，得 ，得到 ， 时也成立；
正方形数构成数列 ：1，4，9，16，…，
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则有 ，
利用累加法，得 ，得到 ， 时也成立.
对于 A， ，故 A 错误；
对于 B，令 ，解得 ；
令 ，解得 ；故 B 正确；
对于 C，当 n 为偶数时：设 ，
则
，
代入 可得数列 的前 100 项和为 ，故 C 正确；
对于 D， ，
所以 ，故 D 正确；
故选：BCD.
第Ⅱ卷（92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 记 为等差数列 的前 n 项和．若 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】因为 是等差数列，根据已知条件 ，求出公差，根据等差数列前 项和，即可求得
答案.
【详解】 是等差数列，且 ，
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设 等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前 项和公式：
可得：
.
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了求等差数列的前 项和，解题关键是掌握等差数列的前 项和公式，考查了分析
能力和计算能力，属于基础题.
13. 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足 f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则 f(e)＝__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用求导法则求出 的导函数，把 代入导函数中得到关于 的方程，求出方程的解
即可得到 的值，最后将 代入解析式即可.
【详解】求导得 ，把 代入得： ，
解得： ，∴ ，故答案为 .
【点睛】本题要求学生掌握求导法则，学生在求 的导函数时注意 是一个常数，这是本题的易错
点．
14. 游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，
且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为 ，停在不同区域的概率为 ，某游客连续转动
指针三次，记指针停在绿色区域的次数为 ，若开始时指针停在红色区域，则 ______.
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【答案】
【解析】
【分析】依题意画出数形图，即可求出 的分布列，即可求出数学期望；
【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：
则 的分布列如下：
0 1 2 3
故 .
故答案为：
【点睛】本题考查概率的计算，随机变量的分布列和数学期望，解答的关键是画出树形图.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列{ }中， =1，前 n 项和 ．
（Ⅰ）求
(Ⅱ)求{ }的通项公式．
【答案】
【解析】
【详解】本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和的相结合的综合运用．
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【点评】试题出题比较直接，没有什么隐含的条件，只要充分利用通项公式和前 n 项和的关系式变形就可
以得到结论．
16. 如图所示的几何体是一个半圆柱，点 P 是半圆弧 上一动点（点 P 与点 B，C 不重合），E 为弧 的
中点， .
（1）证明： ；
（2）若平面 与平面 所成的锐二面角的平面角为 ，求此时点 D 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理证得 ，根据线面垂直的判定证明 平面 ，从而
利用线面垂直的性质定理得证；
（2）建立空间直角坐标系，设点 P 的坐标，求出两个平面的法向量，根据锐二面角大小结合数量积夹角公
式求出点 P 的坐标，代入点到平面距离的向量公式直接求解.
【小问 1 详解】
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连接 BP，在半圆柱中，因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又因为 BC 是直径，所以 ，
又 平面 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
【小问 2 详解】
依题意可知，以线段 BC 的中点 O 为坐标原点，
以 为 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，连接 OP，
设 ，则 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，则 ，令 ，则 ，
所以 ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ， ，
所以 ，令 ，则 ，
所以 ，
因为平面 PCA 与平面 所成的锐二面角的平面角为 ，
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所以 ，
令 ，则 ，平方化简得 ，
即 ，又由 ，可解得 或 （舍去），
所以 ，所以平面 PCA 的一个法向量 ，且 ，
所以点 D 到平面 PCA 的距离 .
17. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其
尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
.
（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之外的零件数，求
及 X 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外 零件，就认为这条生产线在这一天的
生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9 96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 ， ，其中 xi 为抽取的第
i 个零件的尺寸， .
用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差 s 作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生
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产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到 0.01）.
附：若随机变量 Z 服从正态分布 ，则 ， ，
.
【答案】（1） ， （2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）需要. ,
【解析】
【分析】（1）依题知一个零件的尺寸在 之内的概率，可知尺寸在 之外的
概率为 0.0026，而 ，进而可以求出 的数学期望.
（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在
之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；
（ii）计算 ，剔除 之外的数据，算出剩下数据的平均数，即为 的估计值，剔除
之外的数据，剩下数据的样本方差，即为 的估计值.
【详解】（1）抽取的一个零件的尺寸在 之内的概率为 0.9974，
从而零件的尺寸在 之外的概率为 0.0026，
故 .
因此 .
的数学期望为 .
（2）（i）如果生产状态正常，
一个零件尺寸在 之外的概率只有 0.0026，
一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在 之外的零件
概率只有 0.0408，发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由 ，
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得 的估计值为 ， 的估计值为 ，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 之外，
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除 之外的数据 ，
剩下数据的平均数为 ，
因此 的估计值为 .
，
剔除 之外的数据 ，
剩下数据的样本方差为 ，
因此 的估计值为 .
【点睛】本题考查正态分布的实际应用以及离散型随机变量的数学期望，正态分布是一种重要的分布，尤
其是正态分布的 原则，审清题意，细心计算，属中档题.
18. 已知 是抛物线 上一点， 是抛物线的焦点，已知 ，
（1）求抛物线的方程及 的值；
（2）当 在第一象限时， 为坐标原点， 是抛物线上一点，且 的面积为 1，求点 的坐标；
（3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于 的两个点分别记为 ，问抛物线的准线上是否存在
一点 使得， .
【答案】（1） ，
（2） 或 或
（3）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据焦半径可求出抛物线方程进而可求 ；
（2）设点 的坐标为 根据 的面积为 1，得出 边上的高为 ，利用 到直线 的
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距离公式可得， ，再把点 的坐标代入抛物线方程即可求解；
（3）将 转化为以 为直径的圆与准线的位置关系来进行判断.
【小问 1 详解】
由题意 ，解得 ，因此抛物线的方程为
点 在抛物线上可得 ，故
【小问 2 详解】
设点 的坐标为 边上的高为 ，我们知道 的面积是： ，
所以， ，
直线 的方程是 ，利用 到直线 的距离公式可得： ，
化简得： ，由于点 在抛物线上，即 ，
代入条件可得： ，
可以得到 或 ，
解这个方程可以得到 或 ，
代入拋物线方程可以得到： 或 或
综上所述，点 的坐标有三个可能的值：
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【小问 3 详解】
不存在，理由如下：
因为由（1）（2）知点 ，则 的斜率为 ，
所以平行于 的两个点分别记为 ，其斜率 ，
所以可得
则 的中点 ，
若 ，则点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
到准线 的距离等于 ，因为
所以，以 为圆心 为半径的圆与准线相离，故不存在点 满足题设条件.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线的关于求点坐标的问题，往往需要设点的坐标，根据题目的已知条件寻找所
设的点横纵坐标关系等.
19. 已知函数 ， ．
（1）设 ，请判断 是否存在极值?若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（2）当 时，若对于任意 ，不等式 恒成立，求 k 的取值范围．
【答案】（1）不存在极值，理由见解析
（2）
【解析】
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【 分 析 】（ 1） 对 求 导 可 得 ， 再 导 可 得
，分类讨论当 、 时 的单调性，进而可得 的单
调性，结合极值的定义即可求解；
（3）将原问题转化为 在 上单调递增，即 在
上恒成立，等价于对于任意 不等式 恒成立，利用导数求出 即可求解.
【小问 1 详解】
由 ，
则 ，
令 ，
则 ，
当 即 时， ，此时 单调递减；
当 即 时， ，此时 单调递增，
所以 ，即对任意 ，都有 ，
所以 在 上单调递增，即 不存在极值.
【小问 2 详解】
当 时， ，
对于任意 ，不等式 恒成立，
等价于对于任意 ，不等式 恒成立，
等价于函数 在 上单调递增，
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等价于导函数 在 上恒成立，
等价于对于任意 ，不等式 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减，
所以 ，即 ，
即 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：
形如 的恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令 ，利用导数求得函数 单调性与最小值，只需
恒成立即可；
2、参数分离法：转化为 或 恒成立，即 或 恒成立，只需利用导
数求得函数 的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数 的图象在 的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
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