四川省绵阳市2024届高三数学下学期入学考试理试题含解析

这是一份四川省绵阳市2024届高三数学下学期入学考试理试题含解析，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得的值，然后计算即可.
【详解】由题意可得，则.
故选：A.
2. 设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数乘法运算可得该复数在复平面内对应的点为，由复数的几何意义可解得.
【详解】根据题意可得，
所以在复平面内对应的点为，即在虚轴上，
因此可得，即；
故选：B
3. 执行如图所示的程序框图，输出的（）
A. 18B. 22C. 25D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据程序框图的功能，一一循环验证即可.
【详解】解：执行该程序框图，成立，
成立，
成立，
，不满足，
输出的.
故选：C
4. 已知向量，满足，，且，则（）
A. 5B. C. 10D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量数量积与模长关系计算即可.
【详解】由题意可知，且，
则，，
所以．
故选：C
5. 设等比数列的各项均为正数，前项和，若，，则（）
A. 31B. C. 15D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比数列的定义及其求和公式计算即可.
【详解】设的公比为，由题意可知，
则，
解之得，
所以.
故选：A
6. 逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把相关事件用字母表示，并分析事件的关系，结合对立事件求出概率，再利用条件概率公式计算即得.
【详解】记事件A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B：这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病，
则事件：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，继续饮酒2.4两不诱发这种疾病，
显然，，
所以.
故选：A
7. 设甲：，乙：，则（）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数的诱导公式与基本关系式，结合充要条件的判断方法即可得解.
【详解】当时，取，满足要求，
但，则甲不是乙的充分条件；
当时，，则，
所以，则甲是乙的必要条件；
综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.
故选：B.
8. 已知曲线，的一条渐近线与圆交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线的性质及点到直线的距离、圆的弦长公式计算即可.
【详解】易知圆心，半径，双曲线渐近线方程为，
所以有圆心到渐近线的距离，
解之得，显然由可得.
故选：C
9. 2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（）
A. 50B. 36C. 26D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】按照和分组讨论安排.
【详解】（1）按照分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
（2）按照分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
故共有种，
故选：A.
10. 已知函数的图象与直线有3个交点，则实数a的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用直线过定点以及正弦函数图象，求得在处的切线斜率并结合图象即可求得实数a的取值范围.
【详解】易知直线恒过定点，且周期为，也过；
画出函数的图象如下图实线部分所示：
若两函数图象有3个交点可知，直线的斜率；
若直线与相切，可得，
易知，则，
结合图象可知时满足题意.
故选：D
11. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）
AB. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别取的中点，连接，则可证明为异面直线SC与DE所成的角，分别在三角形中由勾股定理求出，和的长度，利用余弦定理计算得到答案.
【详解】如图所示：
分别取的中点，连接.
由且可得是等边三角形，
则且，且，故且，
所以四边形为平行四边形，故，
因为，所以为异面直线SC与DE所成的角（或其补角），
因为平面，平面，∴，，
故和均为直角三角形，
所以，，
，
由余弦定理得.
则异面直线与所成的角的余弦值为.
故选：B
12. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由、结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可得离心率.
【详解】由椭圆定义可知，由，故，，
点满足，即，则，
又，，
即，又，
故，则，即，
即平分，又，故，
则，则，
，
，
由，
故，
即，即，又，故.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题关键在于由、，得到平分，结合，从而得到.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数为偶函数，则实数______________.
【答案】
【解析】
【分析】先求定义域，判断定义域是否关于原点对称，再利用偶函数的定义，即是恒等式，求参数值即可．
【详解】函数的定义域是，定义域关于原点对称；
，
由于为偶函数，
得到恒成立；
即对于恒成立，
所以.
故答案是：.
14. 若x，y满足约束条件，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】作出可行域，确定目标函数取最小值时过可行域内的点，求出该点坐标，代入求值，可得答案.
【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示（阴影部分）：
平移直线，当直线过可行域内的点B时，直线在y轴上的截距最小，
即目标函数取得最小值，
联立，解得，
故目标函数的最小值为.
故答案为：
15. 如图，在平面四边形中，，，，则的最大值为_________；
【答案】3
【解析】
【分析】在中，求得，然后在中，由余弦定理求出的表达式，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的性质求解的最大值.
【详解】设，在中，．
在中，因为，
由余弦定理得
，
所以．
所以当，即时，最长，的最大值为．
故答案为：3.
16. 已知正四棱锥的顶点均在球的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球体积的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】由底面外接圆的半径、正四棱锥的高以及外接球的半径的关系，结合已知条件可得，故只需求出外接球半径的最小值即可.
【详解】设球的半径为，正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为，.
如图，球心在正四棱锥内时，由，可得，
即（*）.
球心在正四棱锥外时，亦能得到（*）式.
又正四棱锥的体积为，则，代入（*）式可得.
通过对关于的函数求导，即，
易得函数在单调递减，在单调递增，
则.从而，球的体积的最小值.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：关键是首先得到，从而通过导数求得外接球半径的最小值即可顺利得解.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分
17. 已知数列的前n项和为，，其中．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先得，由之间的关系得数列为等比数列，由此即可得解.
（2）由等比数列求和公式、错位相减法结合数列单调性即可得解.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
两式相减，得，又，
所以数列为等比数列，首项为2，公比为3，
所以数列的通项公式是.
【小问2详解】
由（1）知，，
，
则有，
两式相减得：
，
于是得，
因为且，，
当时，数列是递增数列，所以的最小值为18，
因此.
18. 如图，在三棱柱中，，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先由解三角形知识得，同理，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证.
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由向量夹角的余弦公式结合平方关系即可得解.
【小问1详解】
如图，连接，在中，，，，
由余弦定理，得，
所以，所以，
所以，
同理，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
【小问2详解】
由平面几何知识可知，，
以C为坐标原点，以，为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，得．
又平面的法向量为，
∴，
所以二面角的正弦值为．
19. 第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看.为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的，男生有10人表示不喜欢看足球比赛.
（1）完成下面列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？
（2）在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为，求的分布列和期望.
附：，其中.
【答案】（1）列联表见解析，认为喜爱观看足球比赛与性别有关联.
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意即可完善列联表，代入计算可得，可知喜爱观看足球比赛与性别有关联；
（2）可确定抽取的8人中男生2人，女生6人，即可得的可能取值为，分别求出其概率列出分布列可得期望值.
【小问1详解】
根据表格数据可知抽取女生共40人，喜欢观看足球比赛的女生为人，
可得得列联表如下：
根据列联表中的数据计算得
，
根据小概率值的独立性检验，即认为喜爱观看足球比赛与性别有关联.
【小问2详解】
按照分层随机抽样的方式抽取8人，根据抽样比可知其中男生2人，女生6人，
则的可能取值为，
，
，
所以的分布列为
期望值.
20. 已知抛物线上的点到焦点的距离为8，点到轴的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）取抛物线上一点，过点作两条斜率分别为的直线与抛物线交于两点，且，则直线是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由抛物线的定义求出，进而可得抛物线的方程；
（2）设直线的方程为，，代入抛物线方程化简得，利用根与系数的关系可得，再利用，列方程即可求出，进而可得直线l经过定点.
【小问1详解】
，准线为，点分别向轴和准线做垂线，垂足为，
则，，
所以，
又点在抛物线上，
所以，即，解得或（舍），
所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
点在上，所以，解得，所以，
设，
，同理，，
所以，即，
设直线为，
则，即，
所以，，
所以，
解得，代入到直线方程，
得，即，
当，即时，，
所以直线过定点.
【点睛】关键点睛：1.求抛物线方程的关键是利用抛物线的定义，点到准线的距离等于它到焦点的距离列出方程；
2.第二问的关键是设出直线的方程和、两点坐标，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理得出，，将用斜率公式表示出来即可，从而判断出所过的定点.
21. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，求证：当时，恰有两个零点.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数分类讨论函数单调性；
（2）由题意，当时，，令，借助导数研究函数的单调性，结合函数值的正负性和零点存在定理可证.
【小问1详解】
.
当时，在上单调递减.
当时，在上，有，在上，有,
故在上单调递减，上单调递增.
当时，在上单调递增.
当时，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减，上单调递增.
当时，在上单调递增.
当时，在上单调递减.
【小问2详解】
时，.
令，
则.
令.
i.时，恒成立，
在上单调递增.
又，
存在一个零点，使.
ii，
恒成立，
在上单调递减.
又，
.
存在零点，使.
，
.
在上单调递增，上单调递减.
又.
，
存在一个零点，使.
iii.，
恒成立.
在单调递减.
恒成立.
在没有零点.
iv.时，
下面来证明当时，.
设.
.
在上单调递增，
，
恒成立.
综上所述，在只有两个零点.
又是由向右平移一个单位所得，
在只有两个零点.
【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．
[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
22. 已知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）若直线的参数方程是（为参数，为直线的倾斜角），与交于A，两点，，求的斜率.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据题意结合极坐标与直角坐标之间的关系运算求解；
（2）由题意可知：直线l的极坐标方程为，根据极坐标的定义结合韦达定理运算求解.
【小问1详解】
由题意可得：圆C的普通方程为，
将，代入普通方程，
得，
故圆C的极坐标方程为.
【小问2详解】
由题意可知：直线过坐标原点，倾斜角为的直线，
在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，
设A，B所对应的极径分别为.
将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得，
于是，
可得，则，
且，则，可得，即，
所以l的斜率为.
[选修4—5：不等式选讲]（10分）
23. 已知函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）若，且，求的最小值．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）可借助零点分段法分类讨论计算或借助绝对值三角不等式计算；
（2）对原式化简变形后借助基本不等式即可得.
【小问1详解】
解法一：
当时，，
此时单调递增，所以的最小值为16；
当时，，此时单调递增，
故；
当时，，
此时单调递减，所以的最小值为，
综上，的最小值为8，故；
解法二：
，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为8，故；
【小问2详解】
，
当且仅当，即或时等号成立，
所以最小值为4．
男
女
合计
喜爱看足球比赛
不喜爱看足球比赛
合计
60
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
男
女
合计
喜爱看足球比赛
50
10
60
不喜爱看足球比赛
10
30
40
合计
60
40
100
0
1
2