四川省绵阳市2023_2024学年高一下学期入学考试数学试题含解析

这是一份四川省绵阳市2023_2024学年高一下学期入学考试数学试题含解析，共17页。
命题人：青树国 审题人：羊左佳佳
本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共4页，满分150分，时间120分钟．
注意事项：
1、答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位置上；
2、选择题的答案，必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；
3、请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔；
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出，，再求解即可求解.
【详解】由题意可得，，
所以，故A正确.
故选：A.
2. （ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式，结合特殊角的正切值，即可求得结果.
【详解】.
故选：B.
3. 设，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】若可判断A错；由赋值法可判断B，C错；通过分类讨论可验证D正确.
【详解】对A，当时，显然错误，故A错；
对B，当时，则，故B错；
对C，当时，，故C错；
对D，当时，，故；
当时，；
当时，
，所以，，故D正确.
故选：D
4. 如果“，”是“”成立（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件定义判断.
【详解】当 ，时，，故充分；
当时，，，故不必要，
故选：A
5. 若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可.
【详解】若函数存在1个零点位于内，
单调递增,又因为零点存在定理，
.
故选：A.
6. 数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图像可知，该函数为奇函数，根据奇偶函数的定义，得出A，B为奇函数，再根据函数图像中，判断出A对，B错；由图像得，判断出C，D错误，即可得出答案．
【详解】对于A，函数，
因为，所以函数为奇函数，
又，故A正确；
对于B，函数，
因为，所以函数为奇函数，
又，故B错误；
对于C，函数，
因为，故C错误；
对于D，函数，
，故D错误，
故选：A．
7. 已知是定义在R上的奇函数，，对，，且有，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意构造函数，可以证明它是偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，由即可得解.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，令，
则是定义在R上的偶函数，
且在上单调递增，，
由题意不妨设，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，，，
解得：，即关于的不等式的解集为.
故选：B.
8. 著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．黄金分割比，现给出三倍角公式和二倍角角公式，则与的关系式正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】考虑，结合整体代换即可求解.
【详解】因为，即，令，
则，，，
即，因为，所以，
即，整理得，
解得，因为，所以，
故.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错项得0分．
9. 下列幂函数中满足条件的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由题意知,当时,的图象是凹形曲线,据此分析各选项中的函数图像是否满足题意即可.
【详解】由题意知,当时,的图象是凹形曲线.
对于A,函数的图象是一条直线,则当时,有,不满足题意；
对于B,函数图象是凹形曲线,则当时,有,满足题意；
对于C,函数的图象是凸形曲线,则当时,有,不满足题意；
对于D,在第一象限内,函数的图象是一条凹形曲线,则当时,有,满足题意.
故选:BD.
10. 若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值9B. 的最小值是
C. ab有最大值D. 的最小值是
【答案】AB
【解析】
【分析】根据基本不等式求最值后判断．
【详解】，当且仅当时等号成立，A对；
，当且仅当即时等号成立，B对；
，则，当且仅当即时等号成立，C错；
由，则，而，
所以，当且仅当时等号成立，D错.
故选：AB
11. 已知函数，若函数有5不同的零点，则实数的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】首先由方程，求得或，再画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围，即可求解.
【详解】令，
，解得：或，
如图，画出函数的图象，
时，与的图象有4个交点，
所以与的图象只能有1个交点，则，得，
由选项判断或成立.
故选：CD
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
12. 空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态．这些曲线在数学上称为悬链线．悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这些曲线对应的函数表达式可以为（其中a，b为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（ ）
A. 若，则为偶函数
B. 若，则函数的最小值为2
C. 若，则函数的零点为0和
D. 若为奇函数，且使成立，则a的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，直接由偶函数定义判断即可；对于B，令即可判断；对于C，令结合指数对数互换即可判断；对于D，将不等式等价转换为关于在上面有解，结合基本不等式即可得解.
【详解】对于A，若，定义域为全体实数，关于原点对称，
且此时，即为偶函数，故A正确；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，若，则，令，
解得或，即或，所以函数的零点为0和，故C正确；
对于D，若为奇函数，则，即，经检验符合题意，
由题意不等式在上有解，
而在上有，
所以在上有解，
不妨设，则，
所以关于在上面有解，
由基本不等式得，等号成立当且仅当即时等号成立，
综上所述，a的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：D选项的关键是首先将不等式转换为关于在上面有解，由此即可顺利得解.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷中的横线上．
13. 函数（且）的图象经过点，则函数的反函数______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求得，再求其反函数即可.
【详解】由题可得：，故，其定义域为，值域为；
因为，解得，故的反函数为.
故答案为：.
14. 函数的图像的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】由相邻两支长度可确定周期求出，进而得解.
【详解】由题可知，，求出，则，.
故答案为：
15. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围.
【详解】当时，，此时，
当且时，，
此时，且，所以不满足；
当且时，，
由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时，
若要满足的值域为，只需要，解得；
当且时，因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，且时，，时，，
所以此时，此时显然能满足的值域为；
综上可知，的取值范围是，
故答案为：.
16. 同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式．已知实数满足，，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】可将拼凑成，结合单调性和同构思想易得，将代入即可得解.
【详解】易判断为增函数，，
，
即，，
所以，.
故答案为：5
四、解答题：共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）1.
【解析】
【分析】（1）由幂运算及对数运算性质化简，，lg23×lg34=lg24=2，整理即可；
（2）由同角三角函数关系式及诱导公式化简即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
18. 设集合，
（1）化简集合，并求当时，的真子集的个数；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），真子集的个数255；（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的单调性即可求出P＝{x|﹣2≤x≤5}，从而得出x∈Z时，P＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，从而得出P的真子集个数；
（2）根据P∩Q＝Q得出Q⊆P，从而讨论Q是否为空集：Q＝∅时，k+1＞2k﹣1；Q≠∅时，，解出k的范围即可．
【详解】（1）由得，，∴，即，∴，
当时，则共个元素，故集合的真子集的个数为；
（2）∵，∴．
当时，满足，此时则有，即；
当时，由于，则有，解之得，∴．
综上所述：
【点睛】本题考查了指数函数的单调性，描述法的定义，集合真子集个数的计算公式，交集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
19. （1）已知，求的值；
（2）已知为第二象限角，，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简，可得，然后把原式化成齐次式，利用以求的正切函数求值；
（2）利用同角的三角函数的基本关系求值.
【详解】解：（1）∵，
∴由诱导公式化简得：，
∴，
∴
.
（2）∵，∴，
∴，
∴，
又∵为第二象限角，∴，
∴，∴.
20. 建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容．习近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）元．已知这种水果的市场售价为16元千克，且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为（单位：元）．
（1）求的函数关系式
（2）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是430元．
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，则化为分段函数即可，
（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
当时，，对称轴为,
当时，，
当时，
当且仅当时等号成立
答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是430元．
21. 已知函数的图象如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）若函数的图象在区间上恰好含10个零点，求实数b的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由图象确定函数周期求得，再利用特殊点坐标代入函数表达式，可求得，即得答案；
（2）函数的图象在区间上恰好含10个零点转化为与的图象在区间上恰好含有10个交点，结合正弦函数的性质列出不等式，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意可得，的最小正周期为，
故，
又图象过点，故，
则，即，
而，故，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，
令，
由，得，
因为函数的图象在区间上恰好含10个零点，
等价于与的图象在区间上恰好含有10个交点，
设，即与的图象恰有10个交点，
故，即.
22. 已知函数和函数.
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）是否存在非负实数，，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出，的值；若不存在，则说明理由；
（3）当时，求函数的最大值.
【答案】（1）
（2）存在，，
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意得在上恒成立，对分类讨论即可求解；
（2）由题意得，进一步可知它在上单调递增，由此即可列出方程组求解即可.
（3）由题意，进一步换元得，，通过对分类讨论即可求解.
【小问1详解】
∵函数的定义域为，
所以在上恒成立，
当时，恒成立；
当时，若在上恒成立，
则，得，
综上得：，故实数的取值范围；
【小问2详解】
因为函数，
即，
假设存在非负实数，，定义域为，值域为，
∴（），即，是的两根
解得，，所以当，时，定义域为，值域为.
【小问3详解】
，
当时，令，则，
对称轴为，
若时，函数在上递增，则；
若时，则：
若时，则；
若时，函数在上递减，则；
故.
【点睛】关键点睛：第三问的关键是通过平方关系将函数化成关于的二次式子，进一步通过换元分类讨论即可顺利得解.