贵州省部分学校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份贵州省部分学校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．直线被圆截得的弦的长度为（ ）
A．B．C．D．
5．已知A，B 分别为椭圆的右、上顶点，若的中点坐标为则 C 的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．2025年8月 27 日，中国艺术体操队在艺术体操世锦赛收获1金1 铜.如图，艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后得到的三条曲线与C 组合而成的图形，其中，分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形 ABDE 的周长为64，则（ ）
A．8B．6C．4D．2
7．在正方体中，棱的中点为O，则向量 在 上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8．已知是轴正半轴上一点，点，若圆上存在点，使得，则点的纵坐标的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，双曲线，双曲线，则（ ）
A． 的实轴长等于的虚轴长B．的虚轴长等于的实轴长
C．的离心率等于的离心率D．的焦距等于的焦距
10．在平行六面体中，，，且，则的值可能为（ ）
A．2B．4C．5D．6
11．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，，分别是的左、右顶点，为上不与，重合的动点．设的离心率为，为的内心，为内切圆的半径，延长交线段于点，则（ ）
A．直线和斜率的乘积为B．直线和斜率的乘积为
C．点到轴的距离为D．
三、填空题
12．抛物线 的准线方程为 .
13．已知点在平面内，点 均在外，且，则 P 到的距离为 .
14．若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知圆
(1)判断点 与圆M 的位置关系(需说明理由)；
(2)求圆 M 的半径和圆心M 的坐标；
(3)若圆M 与圆N: 外切，求R.
16．已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上一点， 与x轴垂直，且
(1)求C的方程;
(2)若直线与C交于A，B两点，求
17．如图，在四棱锥中，底面 是矩形，.
(1)证明：平面 平面.
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知动点 到点的距离比到直线的距离小，设的轨迹为曲线.
(1)求 的标准方程；
(2)若点 的坐标为，求的最小值;
(3)若过点的直线与 交于，两点，点 ，且，判断的条数，并说明理由.
19．已知椭圆 的离心率为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)过点的直线与椭圆交于， （异于点）两点，分别记直线 ，的斜率为，.
①当直线的斜率为时，求的面积;
②求的最小值.
1．C
根据空间中的点关于平面的对称的点横、纵坐标不变，竖坐标变为相反数求解.
【详解】点关于平面对称的点的坐标为.
故选：C.
2．A
求出直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角.
【详解】直线的方程为，
该直线的斜率为，故该直线的倾斜角为.
故选：A.
3．D
将双曲线方程转化为标准方程，结合双曲线渐近线方程的概念即可求出答案.
【详解】将双曲线化为标准方程为，
所以，，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
4．D
求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得结果.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
故直线被圆截得的弦的长度为.
故选：D.
5．B
由椭圆方程求出点的坐标，进而求得，代回椭圆方程并求得焦点坐标.
【详解】因为分别为椭圆的右顶点和上顶点，则，
令，得，故，令，得，故，
又的中点坐标为，所以，解得，
所以椭圆方程为，所以，则，
所以椭圆的焦点坐标为.
故选：B.
6．C
根据“四角花瓣”图形的对称性，得到四边形为正方形，求得边长为，求得点的坐标为，将点的坐标代入抛物线的方程，即可求解.
【详解】由题意知，“四角花瓣”图形是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后，
得到的三条曲线与组合而成的图形，
其中分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形的周长为，
根据“四角花瓣”图形的对称性，可得四边形为正方形，所以正方形边长为，
则点的坐标为，将代入抛物线的方程，可得，解得.
故选：C.
7．B
根据正方体的性质，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标及向量坐标，进而利用投影向量公式计算求解．
【详解】以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，
，
向量 在 上的投影向量为，故B正确．
故选：B．
8．D
设点，，，，根据垂直可得关于的方程有解，即，，结合正弦函数的值域可得，解不等式即可.
【详解】设点，，
又圆，即，
设圆上一点，，
又，且存在点满足，
则，
由，，
则有解，
即，其中，
化简可得方程有解，
又，
所以不等式，
又，所以恒成立，
即不等式为，
解得，又，
所以，
故选：D.
9．ABD
先根据已知双曲线方程，结合双曲线的性质，分别求出双曲线的实轴长、虚轴长、离心率和焦距，再分析选项的正误．
【详解】由题意得双曲线，则，
双曲线，则，
又，双曲线的实轴长为，
虚轴长为，焦距为，，
双曲线的实轴长为，虚轴长为，
焦距为，，
，即 的实轴长等于的虚轴长，故A正确；
，即的虚轴长等于的实轴长，故B正确；
，当且仅当时，，当时，，
双曲线的离心率不一定等于的离心率，故C错误；
，的焦距等于的焦距，故D正确．
故选：ABD．
10．BC
利用向量的平行四边形法则，将转化为之间的关系，结合向量的数量积公式即可求解.
【详解】如图，设，则，所以，，，
又，，所以，因为，所以的值可能为4和5.
故选：BC.
11．ACD
对于A，设出的坐标结合在椭圆上计算即可；对于B，举反例即可求解；
对于C,等面积法即可求解；对于D，由角平分线分线段成比例定理，得，则，所以．又的离心率，所以，D正确．
【详解】如图：
设，则．因为，，所以，A正确．
当为上顶点时，此时，则，B错误．
的面积，又，所以，C正确．
在中，连接，．因为是的内心，所以，分别平分和．由角平分线分线段成比例定理，得，则．因为，，所以．又的离心率，所以，D正确．
故选：ACD
12．
根据抛物线的方程，即可求得准线.
【详解】抛物线的标准方程为，且
解得，所以准线方程为.
故答案为：
13．
利用点到平面的距离公式求解即可.
【详解】因为平面的法向量可取为，向量，所以.
故答案为：
14．
将整理为，发现该曲线为双曲线的一支，在坐标系中画出该曲线及其渐近线，再结合双曲线的性质，数形结合即可确定的取值范围.
【详解】可整理为，其图象为双曲线的一支，其渐近线为.
过定点，过该定点且与渐近线平行的直线为与.
由双曲线的性质，并结合图象可知，当时，与双曲线的右支只有一个公共点.
故答案为：.
15．(1)点在圆外
(2)圆心，半径
(3)
（1）将圆方程化为标准式，通过点到圆心的距离与半径的比较判断位置关系；
（2）由圆的标准式直接得圆心和半径；
（3）利用两圆外切时“圆心距等于半径和”的性质求解.
【详解】（1）将圆的方程化为标准式：.
点到圆心的距离平方：，
因，故点在圆外.
（2）圆的标准式为，故圆心的坐标为，半径为.
（3）圆的圆心为，两圆心与的距离为.
因两圆外切，半径和等于圆心距，即，解得.
16．(1)
(2)
（1）根据双曲线的定义，可得a值，根据条件，可求得，即可得C的方程.
（2）将直线l与双曲线C联立，可得关于x的一元二次方程，求得两根，代入弦长公式，即可得答案.
【详解】（1）由双曲线的定义得，解得，
设焦距，则，
因为与x轴垂直，所以点P的横坐标为c，设点P的纵坐标为，
因为点P在双曲线C上，所以，解得，
因为与x轴垂直，且，所以，解得，
所以双曲线C的方程为.
（2）将直线l与双曲线C联立，得，
解得，
所以.
17．(1)证明见解析
(2)
（1）由面面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，根据面面角向量法计算即可求解.
【详解】（1）因为四边形是矩形，
所以，，
因为，，平面，
所以平面，平面，
因为平面 ，所以平面 平面 .
（2）由（1）可知，是直角三角形，
所以，
在中，，
所以是直角三角形，即，
因为，平面，
所以平面，
即两两互相垂直，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
所以平面的一个法向量为，
平面的一个法向量可以为，
设平面与平面夹角，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1)
(2)；
(3)直线的条数为3条，理由见解析.
（1）利用抛物线定义求解；
（2）设，由两点间距离公式结合二次函数性质计算即可；
（3）由题意可得在线段的垂直平分线上，设，直线的方程为，直线与曲线联立方程，由韦达定理结合中点坐标公式可得中点坐标为，分直线斜率存在与不存在两种情况求出垂直平分线所在直线方程，代入计算即可求解.
【详解】（1）由题意可得点 到点的距离比到直线的距离小，
即点 到点的距离与到直线的距离相等，
所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
故曲线的标准方程为；
（2）设，则，
令，则，
由二次函数性质可知，当时，有最小值为；
（3）因为，所以在线段的垂直平分线上，
设，直线的方程为，
则，则，，
所以，
则， ，
所以线段的中点坐标为，
若直线斜率不存在，则线段的垂直平分线为轴，
此时不在线段的垂直平分线上，不满足题意；
若直线的斜率存在，则线段的垂直平分线的斜率为，
此时垂直平分线为，
因为点在垂直平分线上，代入可得，
化简可得，即，解得或；
经检验，均符合题意.
综上，直线的条数为3条.
19．(1)
(2)①；②
【详解】（1）由已知椭圆的离心率为，即，化简可得，
则椭圆方程为，
又椭圆过点，则，
解得，
则椭圆方程为；
（2）
设，，
①由已知可得直线，即，
联立直线与椭圆，消去可得，
则，，
则，
又点到直线的距离，
所以；
②设，即
联立直线与椭圆，
消去可得，
则，
解得，
且，，
又，则，
所以，
同理可设，即可得，
又，，三点共线，则，
即，化简可得，即
所以，
当且仅当，即时等号成立，
又，所以当且仅当时等号成立，