贵州省贵阳市七校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份贵州省贵阳市七校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，向量，则（ ）
A．B．C．D．
2．若抛物线上有一点，其横坐标为2，则该点到焦点的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．如图，在斜三棱柱中，为棱BC上靠近的三等分点，为的中点，设，则用表示为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在等腰梯形ABCD中，与CD之间的距离为3，O为AB的中点，则等腰梯形ABCD的外接圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．在椭圆上有一点，左、右焦点分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为8
B．存在点使得
C．满足的点有且只有4个
D．如果线段的中点在轴上，此时的面积为
7．如图，在四面体ABCD中，，且，点满足，则直线CE与AD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于P，Q两点.若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知直线和圆，则下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点
B．直线一定与圆相交
C．直线被圆截得的最短弦长为4
D．圆与圆有3条公切线
10．如图，在底面为直角梯形的直四棱柱中，，，动点满足,），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，点到直线AC的距离为
B．当时，直线AP与平面所成角的正弦值是
C．若，则点在平面内
D．若，则点在平面内
11．已知过点的抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过焦点作两条相互垂直的直线分别交于A，B和M，N四点，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线AB的斜率为1，则
B．若点平分弦AB，则直线AB的方程为
C．的最小值为
D．若，则
三、填空题
12．已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为 .
13．已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为 ．
14．椭圆上有一动点，左、右焦点分别为和，过作圆的切线，切点分别为A，B两点，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知直线过点且倾斜角为，圆的方程为.
(1)求直线的方程；
(2)已知直线与直线平行，且与圆相交所得弦长为2，求直线的方程.
16．如图，在四棱锥中，侧棱底面ABCD，底面ABCD是矩形，其中是PD的中点.
(1)求证：平面ACE；
(2)若点为PB的中点，求点到平面ACE的距离.
17．已知双曲线的实轴长为2，焦距为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积.
18．如图甲所示，已知在长方形中，，且为BC的中点，将图甲中沿折起，使得，如图乙.
(1)求证：平面平面AECD；
(2)若点为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若点是线段上的动点，且满足，若平面与平面AECD的夹角为，求的值.
19．如图，在矩形ABCD中，分别是矩形四条边的中点，点分别是OF，CF的等分点，直线和直线的交点为.
(1)若，求点的坐标并证明点在椭圆上；
(2)证明：点在同一个椭圆上；
(3)若.已知，过点作斜率为的直线交（2）中椭圆于S，T两点，直线分别交直线于P，Q两点，若，求的值.
1．D
应用向量线性关系的坐标运算求.
【详解】由，则，所以.
故选：D
2．B
根据抛物线的定义可求得.
【详解】因为抛物线的方程为，所以，所以，
所以点到焦点的距离与点到其准线的距离相等，
即，
故选：B．
3．A
根据两直线垂直得到方程，求出或，从而得到答案.
【详解】“直线与直线互相垂直”的充要条件为：
或.
因为“”是“或”的充分不必要条件，
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A．
4．D
应用向量加减、数乘的几何意义用表示出.
【详解】.
故选：D
5．A
由题意可知圆心在y轴上，设圆心，结合圆的定义可得，，即可得圆的方程.
【详解】由题意可知：，
由对称性可知圆心在y轴上，设圆心，半径，
因为，则，解得，
可得，所以所求圆的标准方程为.
故选：A．
6．C
首先根据椭圆方程求，再根据椭圆的定义和性质，即可判断选项.
【详解】椭圆中，△F1PF2的周长，故A错误；
当∠F1PF2最大时此时P在椭圆短轴的端点，此时三角形为等腰三角形边长分别为2、2、此时，故B错误；
时，，由椭圆的对称性可知存在4个点，故C正确；
如果线段PF1的中点在y轴上时，设的中点为，此时是的中位线，轴，△F1PF2的面积，故D错误.
故选：C．
7．B
设，，则，，求出，，则根据即可求解.
【详解】不妨设，，
则，，
由，则，
于是，
在中，由余弦定理，，则，
设直线与所成角为，则，
故选：B．
8．C
根据对称性以及得出四边形为矩形，再结合定义得出，，最后在中利用勾股定理即可.
【详解】连接，
因，且为线段的中点，则四边形为矩形，
则，
因，则，
则，，
在中利用勾股定理得，，则，
故椭圆的离心率为.
故选：C．
9．ABC
首先求出直线所过定点的坐标，进而根据直线与圆的位置关系即可判断选项B，C，根据圆心距与半径之间的关系可判断圆与圆之间的位置关系，进而判断选项D.
【详解】
对于A选项，直线的方程可整理为：，
因为故需使，即直线过定点，故A项正确；
对于B选项， 由A知直线过定点，而点在圆内，所以直线一定与圆相交，故B项正确；
对于C选项， 因为直线过定点，当OA垂直于时，圆心到直线的距离最大，
最大值为，此时直线被圆截得的最短弦长为，故C项正确；
对于D选项，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为，
所以两圆的圆心距为，
因为介于与之间，所以两圆相交，公切线有条，故D错误.
故选：ABC．
10．BCD
以A为原点，AD，AB，AA1所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量求得点到直线AC的距离判断A；利用向量求出直线AP与平面所成角的正弦值判断B；根据空间向量共面定理判断C、D.
【详解】对于A：如图，以A为原点，AD，AB，AA1所在直线分别为轴建系，
则，，，，，
所以，
则，
故，故A错误；
对于B：根据A选项可知. 又，
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，则，所以.
设直线与平面的夹角为，则，故B正确；
对于C：当时，，由共面向量定理知，共面，
所以点在面内，故C正确；
对于D： ，
所以，共面，
所以点在面内.故D正确.
故选：BCD．
11．ACD
将Q的坐标代入抛物线得的值，从而得到抛物线C的方程及焦点，易知直线AB，MN的斜率存在且不为0，设的坐标，对于A选项，利用点斜式求出直线的方程，将直线代入抛物线，得到关于的一元二次方程，，利用韦达定理得到，利用公式求出；对于B选项，设直线AB的方程为，代入，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理得到，，由为AB的中点，利用中点坐标公式求出的值，从而得到直线的方程；对于C选项，利用弦长公式求出，同理得到，计算，利用基本不等式得解；对于D选项，由得到，利用数量积公式得解.
【详解】
将的坐标代入，得，解得，
故抛物线C的方程为，，
由题意可知直线AB，MN的斜率存在且不为0，
设，
对于A选项，直线的斜率为1，过，
直线的方程为，代入，得，
整理得，，
，，故选项A正确；
对于B选项，设直线AB的方程为，代入，得，
整理得，恒成立，
，，为AB的中点，，
直线的方程为：，故选项B错误；
对于C选项，由B选项知，
同理，，
，
当且仅当时取等，故选项C正确；
对于D选项，准线与轴的交点，，
由B选项知，，
，，，
，，
，
，，故选项D正确.
故选：ACD．
12．
根据题目条件求出代入即可求出标准方程.
【详解】，代入由右焦点得，，
代入，故，
故双曲线的标准方程为.
故答案为：
13．
根据切线长定理结合勾股定理转化为求圆心C与点P距离最小值即可得解．
【详解】依题意，圆的圆心，半径，过点P作圆C的切线为切点，
连接，如图3：显然，在中，，
因此，要切线长最短，当且仅当线段长最短即可，
而线段长是定点C与直线l上任意一点P之间的距离，
于是得线段长的最小值是点C到直线l的距离d，
而，因此，，
所以切线长最短为．
故答案为：．
14．/
设，利用数量积的定义求出，再令，结合对勾函数求最值.
【详解】设，由题意可得，，
则
令，则，
因，，即，则，
由对勾函数可知在上单调递减，
则当，有最小值，最小值为.
故答案为：
15．(1)
(2)或
（1）根据题意可知直线的斜率为1，结合直线的点斜式方程运算求解；
（2）设的方程为，，求圆心到直线的距离，结合垂径定理求弦长，运算求解即可.
【详解】（1）因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为，
且直线过点，
所以直线的方程为，即
（2）因为直线与直线平行，可设的方程为，，
因为圆的方程为，可知半径，圆心为，
则圆心到直线的距离为，
且直线与圆相交所得弦长为，解得或，
所以的方程为或.
16．(1)证明见解析
(2)
（1）连接AC，交BD于O，连接EO，先由三角形中位线得PB//EO，再利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴，y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ACE的一个法向量，利用空间点到平面的距离公式求解即可.
【详解】（1）如图，连接AC，交BD于O，连接EO.
因底面ABCD是矩形，则，
又因是PD的中点，所以.

又平面，平面，
则平面.
（2）因为底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AB、AD、AP两两相互垂直.
以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴，y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，E是PD的中点，
所以 ，
则，
设平面ACE的一个法向量为，
那么，所以，
令，则，所以，
于是，
所以点Q到平面ACE的距离为.
17．(1)
(2)
（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到双曲线的标准方程；
（2）根据题意，得到直线为，联立方程组，得到，利用弦长公式和点到直线的距离公式，求得弦长和三角形的高，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为双曲线的实轴长为，焦距为
可得，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）解：由直线过点且倾斜角为，可得直线的方程为
联立方程组，整理得，
设，则且，
由弦长公式，可得，
又由原点到直线的距离为，
所以的面积为.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：在矩形中，因为，且为的中点，
可得，所以，所以，所以，
因为，，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，过点作直线垂直于平面，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，以所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，
则.，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
又由平面的一个法向量 ，
设平面与平面所成夹角为，则，
所以平面与平面AEF所成夹角的余弦值为.
（3）解：由，可得，其中，
则，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
又由平面的一个法向量，
设平面与平面所成夹角为，则，
解得，
19．(1)，证明见解析
(2)证明见解析
(3)或
【详解】（1）当时，
直线①， 直线②，
联立①②，得的坐标为
把的坐标代入椭圆方程， 有
在椭圆上.
（2）设，则.

则直线 ①，
则直线②，
在直线上，是方程①，②的解，
①②，得，化简得点在同一个椭圆上 .
（3）
当时，椭圆：，
将椭圆向右平移两个单位长度，则椭圆
即是
平移后，
设显然，且直线不过原点，
设直线过，
则直线.
所以，可变为，整理得
因为，所以两边同除以，得，即
因为点坐标满足此方程，则是方程的两根，
，则
直线，直线，直线，
分别联立解得， .
则=.
所以，解得.