2025-2026学年贵州省部分学校高二上学期10月联考数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年贵州省部分学校高二上学期10月联考数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(1,−2,−1)，b=(2,−1,−3)，则a−b=( )
A. (−1,−1,2)B. (−1,−1,−4)C. (−3,3,4)D. (1,1,−2)
2.若直线l：ax+ 3y−3=0的倾斜角为60°，则a=( )
A. −3B. −1C. 1D. 3
3.点(−1,2,5)关于x轴对称的点的坐标为( )
A. (−1,−2,−5)B. (1,2,5)C. (−1,2,−5)D. (1,−2,−5)
4.点(−2,1)到直线2x−y−5=0的距离是( )
A. 2B. 103C. 2 5D. 10 33
5.已知直线l的一个方向向量为n=(1,−3,2)，且直线l经过A(2,a,−1)，B(1,2,b)两点，则a−b=( )
A. −4B. −2C. 2D. 4
6.如图，△SAB是圆锥SO的轴截面，SA= 2AB,C是半圆弧AB的中点，D是线段OB的中点，则异面直线SA与CD所成角的余弦值是( )
A. 147
B. 1020
C. 77
D. 1010
7.已知A(2m2,1)，B(m3+3m,m+1)(m≠0)两点在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是( )
A. [12,+∞)B. [2,+∞)C. (0,12]D. (0,2]
8.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AA1=2AC=2，D是线段B1C上的动点，则点D到直线AB的距离的最小值是( )
A. 2 55B. 45C. 4 65D. 2425
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1：(a+1)x+2y+2=0和直线l2：x+ay−a+3=0，则下列结论正确的是( )
A. 若l1//l2，则a=1B. 若a=1，则l1//l2
C. 若l1⊥l2，则a=−13D. 若a=−13，则l1⊥l2
10.已知向量a=(1,2,−2),b=(−1,−3,2)，则下列向量中，使{a,b,c}是空间的一个基底的是( )
A. c=(2,3,4)B. c=(2,1,−6)C. c=(−1,−4,2)D. c=(−2,−5,4)
11.已知A(6,9)，B(3,3)，P是直线l：x−y−2=0上的动点，则( )
A. |PA|+|PB|的最小值为 66B. |PA|+|PB|的最小值为 65
C. |PA|−|PB|的最大值为3 5D. |PA|−|PB|的最大值为2 11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E是棱C1D1的中点，则AC⋅BE=______．
13.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AP=4，AB=AD=3，AB⊥AD，∠PAB=∠PAD=60°，E是棱PC的中点，则|AE|=______．
14.已知A，B是直线l：ax+(2a+1)y−3a−1=0上的两点，且|AB|=8，P(−3,4)，则△PAB的面积的最大值为______，此时，a= ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，E，F，G，H分别是棱BC，CD，BB1，DD1的中点．
(1)求点C1，G，D1的坐标．
(2)证明：E，F，G，H四点共面．
(3)证明：AC1⊥平面EFG．
16.(本小题12分)
已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,1)，B(−3,−1)，C(1,7)．
(1)求BC边上的高所在直线的方程；
(2)已知过点A的直线l与x，y轴的正半轴分别交于M，N两点，若△OMN(O为坐标原点)的面积为92，求直线l的一般式方程．
17.(本小题12分)
如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，AA1=2AB=4，∠A1AB=∠A1AD=60°，E是棱AA1的中点，点F在棱CC1上，且CF=3FC1，设AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)用向量a，b，c表示向量AC1与EF；
(2)求向量AC1与EF夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是棱PD上的动点．
(1)设E是棱PD的中点．
①证明：PB/​/平面ACE．
②求点E到平面PBC的距离．
(2)求平面PBC与平面ACE夹角的最小值．
19.(本小题12分)
将边长为2 2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得A到达A′的位置，连接A′C得到三棱锥A′−BCD，且E是棱A′C的中点．
(1)证明：BD⊥A′C；
(2)若二面角B−A′C−D的余弦值为−15，求三棱锥A′−BCD的体积．
(3)求直线BE与平面A′BD所成角的正弦值的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：向量a=(1,−2,−1)，b=(2,−1,−3)，
则a−b=(−1,−1,2)．
故选：A．
利用向量坐标运算法则求解．
本题考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由直线l：ax+ 3y−3=0，
可得−a 3=tan60°= 3，解得a=−3．
故选：A．
根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：点(−1,2,5)关于x轴对称的点的坐标为(−1,−2,−5)．
故选：A．
根据空间坐标系坐标轴对称点的性质求解．
本题考查空间坐标系的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：点(−2,1)到直线2x−y−5=0的距离是：|−4−1−5| 4+1=2 5．
故选：C．
利用距离公式求解即可．
本题考查点到直线的距离公式的应用，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为A(2,a,−1)，B(1,2,b)，
所以AB=(−1,2−a,b+1)，
因为直线l的一个方向向量为n=(1,−3,2)，
可得AB//n，
所以−11=2−a−3=b+12，解得a=−1，b=−3，
则a−b=2．
故选：C．
利用直线l的一个方向向量n与AB共线即可求解．
本题考查向量共线的充要条件的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：因为△SAB是圆锥SO的轴截面，
SA= 2AB,C是半圆弧AB的中点，D是线段OB的中点，
连接OC，则OC⊥OB，
又SO⊥平面ABC，所以OC，OB，OS两两垂直，
故建系如图：
设AB=4，所以SA= 2AB=4 2，所以SO=2 7，
则A(0,−2,0)，C(2,0,0)，D(0,1,0)，S(0,0,2 7)，
所以SA=(0,−2,−2 7),CD=(−2,1,0)，
设异面直线SA与CD所成的角为θ，
则csθ=|cs〈SA,CD〉|=|SA⋅CD||SA||CD|=24 2× 5= 1020．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：因为m≠0，所以m3+3m−2m2=m(m2−2m+3)=m[(m−2)2+2]≠0，
所以直线的斜率为k=m+1−1m3+3m−2m2=1m2−2m+3=1(m−1)2+2，
又因为(m−1)2+2≥2，
可得k∈(0,12].
故选：C．
由A，B两点在的坐标，可得直线的斜率的表达式，再由二次函数的性质可得斜率的取值范围．
本题考查直线的斜率的范围的求法及二次函数的性质的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：因为直三棱柱ABC−A1B1C1中AB⊥AC，所以AB，AAC，AA1两两垂直，
如图，以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
因为AB=AA1=2AC=2，所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，B1(2,0,2)，C(0,1,0)，
则AB=(2,0,0),AC=(0,1,0),CB1=(2,−1,2)，
设CD=kCB1=(2k,−k,2k)(0≤k≤1)，
则AD=AC+CD=(2k,1−k,2k)，
可得|AD|= (2k)2+(1−k)2+(2k)2= 9k2−2k+1，|AB|=2，
AD⋅AB=4k，
故点D到直线AB的距离d= AD2−(AD⋅AB|AB|)2= 9k2−2k+1−4k2= 5(k−15)2+45≥2 55，
即点D到直线AB的距离的最小值是2 55．
故选：A．
以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设CD=kCB1可得AD=AC+CD=(2k,1−k,2k)，利用点到直线距离的向量公式求解即可．
本题考查用空间向量的方法求点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：直线l1：(a+1)x+2y+2=0和直线l2：x+ay−a+3=0，
由l1//l2，得a(a+1)−2=02(−a+3)−2a≠0，解得a=−2或a=1，则A错误，B正确；
由l1⊥l2，得a+1+2a=0，解得a=−13，则C，D正确．
故选：BCD．
根据直线和直线平行的系数关系可列出方程组求出a，进而判断A，B；根据直线和直线垂直的系数关系列出方程即可求出a，进而判断C，D．
本题主要考查两直线平行和垂直的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：对于A选项，因为a=(1,2,−2),b=(−1,−3,2)，c=(2,3,4)，
若a，b，c共面，则可设c=x1a+y1b，
则x1−y1=22x1−3y1=3−2x1+2y1=4，此方程组无解，所以向量a,b,c不共面，
所以{a,b,c}是空间的一个基底，所以A选项正确；
对于B选项，因为a=(1,2,−2),b=(−1,−3,2)，c=(2,1,−6)，
若a，b，c共面，则可设c=x2a+y2b，
则x2−y2=22x2−3y2=1−2x2+2y2=−6，此方程组无解，
所以向量a,b,c不共面，
所以{a,b,c}是空间的一个基底，所以B选项正确；
对于C选项，因为a=(1,2,−2),b=(−1,−3,2)，c=(−1,−4,2)，
若a，b，c共面，则可设c=x3a+y3b，
则x3−y3=−12x3−3y3=−4−2x3+2y3=2，解得x3=1y3=2，
所以向量a,b,c共面，
故{a,b,c}不是空间的一个基底，所以C选项错误；
对于D选项，因为因为a=(1,2,−2),b=(−1,−3,2)，又c=(−2,−5,4)，
所以c=b−a，则向量a,b,c共面，
故{a,b,c}不是空间的一个基底，所以D选项错误．
故选：AB．
利用空间向量基底的概念一一分析选项即可．
本题考查空间向量共面定理的应用，属中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：设点B关于直线对称的点为B(x,y)，
则y−3x−3=−1x+32−y+32−2=0，解得x=5y=1，即B′(5,1)，
连接AB′，与直线l交于点M，如图所示：
当点P与点M重合时，|PA|+|PB|=|PA|+|PB′|=|AB′|，
|AB′|= (6−5)2+(9−1)2= 65，
当点P与点M不重合时，|PA|+|PB|=|PA|+|PB|>|AB|=65，
综上，|PA|+|PB|的最小值为 65，故A错误，B正确；
连接AB并延长，交直线l于点N，如图所示：
当点P与点N重合时，|PA|−|PB|=|AB|，|AB|= (6−3)2+(9−3)2=3 5，
当点P与点N不重合时，|PA|−|PB|0,b>0)，则M(a,0)，N(0,b)，
因为直线l过点A(2,1)，所以2a+1b=1，①
因为△OMN的面积为92，所以12ab=92，②
联立①②，解得a=6b=32或a=3b=3，
所以直线l的方程为x6+y32=1或x3+y3=1，
即直线l的一般式方程为x+4y−6=0或x+y−3=0．
(1)利用BC边上的高所在直线与直线BC的位置关系可求出斜率，再利用直线的点斜式方程即可求解；
(2)设出直线的方程，再利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查了直线的方程，考查了方程思想，属于基础题．
17.【答案】AC1=a+b+c，EF=a+b+14c；
11 130130
【解析】(1)连接AC，因为四边形ABCD是正方形，所以AC=AB+AD，
则AC1=AC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c，
因为E是棱AA1的中点，所以EA=−12AA1，
因为CF=3FC1，所以CF=34CC1=34AA1，
则EF=EA+AC+CF=−12AA1+AB+AD+34AA1
=AB+AD+14AA1=a+b+14c．
(2)因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD，即a⋅b=0，
因为∠A1AB=∠A1AD=60°，且AA1=2AB=4，
所以a⋅c=b⋅c=4，
则|AC1|= (a+b+c)2= a2+b2+c2+2a⋅b+2a⋅c+2b⋅c=2 10，
|EF|= (a+b+14c)2= a2+b2+116c2+2a⋅b+12a⋅c+12b⋅c= 13，
AC1⋅EF=(a+b+c)⋅(a+b+14c)
=a2+b2+14c2+2a⋅b+54a⋅c+54b⋅c=22，
因为AC1⋅EF=|AC1||EF|cs，
所以cs=AC1⋅EF|AC1||EF|=222 10× 13=11 130130，
即向量AC1与EF夹角的余弦值是11 130130．
(1)根据向量的线性运算法则，结合图形关系，计算即可得答案．
(2)根据(1)及题干条件，分别求出|AC1|、|EF|，根据运算法则，求出AC1⋅EF，代入夹角公式，即可得答案．
本题主要考查空间向量的线性运算，空间向量夹角余弦值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】π6
【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，
又四边形ABCD是正方形，所以AB，AD，AP两两垂直，
故以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
①证明：连接BD，交AC于点F，连接EF，如上图，
则B(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，F(1,1,0)，
所以PB=(2,0,−2),EF=(1,0,−1)，
则PB=2EF，又PB，EF不共线，
所以PB/​/EF，又EF⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，
所以PB/​/平面ACE；
②由题意，得C(2,2,0)，
设平面PBC的法向量为n=(x1,y1,z1)，BC=(0,2,0),PE=(0,1,−1)，
则n⋅BC=2y1=0n⋅PB=2x1−2z1=0，令x1=1，则y1=0，z1=1，所以n=(1,0,1)，
所以点E到平面PBC的距离d=|PE⋅n||n|=1 2= 22；
(2)由题意可得D(0,2,0)，则DP=(0,−2,2)，设DE=kDP=(0,−2k,2k)，0≤k≤1，
则E(0,2−2k,2k)，所以AE=(0,2−2k,2k),AC=(2,2,0)，
设平面ACE的法向量为m=(x2,y2,z2)，
则m⋅AC=2x2+2y2=0m⋅AE=(2−2k)y2+2kz2=0，令x2=k，则y2=−k，z2=1−k，所以m=(k,−k,1−k)，
设平面PBC与平面ACE的夹角为θ，
则csθ=|cs〈n,m〉|=|n⋅m||n||m|=1 2× 3k2−2k+1，
因为3k2−2k+1=3(k−13)2+23≥23，
所以1 3k2−2k+1≤ 62，所以csθ≤ 32，
因为0