贵州省部分学校2026届高三上学期12月联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份贵州省部分学校2026届高三上学期12月联考数学试卷（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“圆：的直径为4”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．在的展开式中，含项的系数是（ ）
A．B．C．130D．
4．设数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．将函数（）的图象向左平移4个单位长度后，所得图象与原图象重合，则（ ）
A．的最小值为B．的最大值为C．的最小值为D．的最大值为
6．某品牌酒产自陕西省宝鸡市．一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高．已知一箱原价800元的该品牌酒，储存（）年后的收藏价值（单位：元）满足函数关系式（为常数）．若储存6年后的此种品牌酒整箱的收藏价值为1200元，则此种品牌酒储存12年后整箱的收藏价值为（ ）
A．1600元B．1800元C．2400元D．2800元
7．若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（ ）
A．1B．2C．eD．
8．若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，，则（ ）
A．B．
C．是锐角D．
10．记数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．B．是等差数列
C．D．
11．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，，分别是的左、右顶点，为上不与，重合的动点．设的离心率为，为的内心，为内切圆的半径，延长交线段于点，则（ ）
A．直线和斜率的乘积为B．直线和斜率的乘积为
C．点到轴的距离为D．
三、填空题
12．复数的虚部是 ．
13．已知函数在上单调递减，则的取值范围是 ．
14．在棱长为3的正方体中，点满足，则正方体表面到点的距离为的点的轨迹总长度为 ．
四、解答题
15．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，是棱上靠近点的三等分点，是棱上靠近点的三等分点．
(1)证明：平面．
(2)证明：平面．
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
16．某不透明的瓶子中装有外观完全相同的5个荔枝味糖果和3个樱桃味糖果，每次随机摸出1个糖果．
(1)设每次都是不放回地摸糖果，连续摸2次，求第二次摸得荔枝味糖果的概率；
(2)若每次都是有放回地摸糖果，连续摸3次，单次摸得荔枝味糖果即送1个苹果味糖果，单次摸得樱桃味糖果即送0个苹果味糖果，所得苹果味糖果均不放入瓶中，设3次摸糖果后得到的苹果味糖果总个数为，求的数学期望．
17．已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点．
(1)求的方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值．
18．已知的内角，，的对边分别为，，．
(1)若，求角的大小．
(2)设为外接圆上的点，外接圆的半径为2，且平分，．
（i）当时，求的值；
（ii）证明：．
19．设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意，恒成立，求的取值范围；
(3)当时，若，且，证明：．
参考答案
1．A
【详解】，.
故选：A.
2．A
【详解】时，圆：，直径为4，充分性成立；
当圆：的直径为4时，则的半径为2，则，则，必要性不成立，
所以“”是“圆：的直径为4”的充分不必要条件．
故选：A
3．D
【详解】二项式的展开式的通项为，
由，可得，则含项的系数为．
故选：D.
4．C
【详解】由，得，所以．
因为，所以是公比为e的等比数列，所以．
故选：C
5．D
【详解】由题意得，则，即，．
因为，则当时，取得最小值为，当时，取得最大值为．
故选：D.
6．B
【详解】由题意可得，即，
所以此种品牌酒储存12年后整箱的收藏价值为元．
故选：B.
7．B
【详解】令，，则，．
设直线与曲线相切于点，
则，解得，所以公切线，即.
令，解得，所以，解得．
故选：B.
8．B
【详解】曲线，即（），表示双曲线的右支，其渐近线方程为，
直线过定点，直线与曲线，如图，
观察图形得，当且仅当时，直线与双曲线的右支只有一个公共点，
所以的取值范围为.
故选：B
9．AB
【详解】对于A：因为，，所以，故A正确；
对于B：，故B正确．
对于C：，所以为钝角，故C错误．
对于D：因为，
所以，故D错误．
故选：AB.
10．ABD
【详解】对于A，在中，取时，，故A正确；
对于B，当时，由①，得②，
则①②得，即，所以．
又，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，故B正确；
对于C，由B项，可得，故C错误；
对于D，因，
故，故D正确．
故选：ABD.
11．ACD
【详解】如图：
设，则．因为，，所以，A正确．
当为上顶点时，此时，则，B错误．
的面积，又，所以，C正确．
在中，连接，．因为是的内心，所以，分别平分和．由角平分线分线段成比例定理，得，则．因为，，所以．又的离心率，所以，D正确．
故选：ACD
12．4
【详解】因为，所以复数的虚部是4．
故答案为：4
13．
【详解】由题意可得解得．
故答案为：
14．
【详解】由题意知以为球心，为半径的球与正方体表面的交线长度即为所求，如图，
又由题可得三点在一条线上，且，
所以，，在线段取点N，使得，
所以，
所以在平面和平面上的轨迹是圆心为，半径为，圆心角为的两段弧，弧长均为；
在平面上的轨迹是圆心为，半径为3，圆心角为的弧，弧长为．
故轨迹的总长度为．
故答案为：
15．(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)
【详解】（1）连接，与相交于点，
因为是棱上靠近点的三等分点，是棱上靠近点的三等分点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）因为底面是正方形，所以⊥，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，
所以⊥平面，
又，所以平面；
（3）因为平面，平面，
所以，
又底面是正方形，故，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，所以，
则，
设平面的一个法向量为，
则，
令得，故，
显然平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角大小为，
则；
16．(1)
(2)．
【详解】（1）记“第一次摸得荔枝味糖果”为事件，“第二次摸得荔枝味糖果”为事件．
则,
故，
所以第二次摸得荔枝味糖果的概率为．
（2）由题可知，每次摸糖果，摸得荔枝味糖果的概率为，摸得樱桃味糖果的概率为．
记3次摸糖果后摸得荔枝味糖果的次数为，则．
因为3次摸糖果后得到的苹果味糖果总个数为，所以，所以，
所以的数学期望．
17．(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）根据题意可得，解得．所以的方程为．
（2）设，，直线的方程为．
由消去得，
所以即，，，
所以，解得，
所以直线的方程为；
（3）证明：因为点在上，所以或（舍去），所以，
由（2）得，，
所以．
因为，，
所以，即为定值．
18．(1)；
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）由题意可得，
根据正弦定理可得，所以．
因为，所以．
（2）（i）当时，为外接圆的一条直径，所以，则．
设外接圆的圆心为，则为的中点．连接，，，如图1所示．
易得，所以．
在中，根据余弦定理可得，则．
同理，在中，，
所以，即为方程的两个根，所以．
（ii）证明：如图2，过点作，交于点．
设，则，
，，则．
在中，根据正弦定理可得，即，所以．
19．(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1），令，解得或，
若，则，则在上单调递增；
若，则当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
若，则当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
（2）当时，由，得，即，
令，则，
令，则，故在上单调递增，
又，
则当时，，即，则在上单调递减；
当时，，即，则在上单调递增；
所以，
所以，即的取值范围为.
（3）（证法一）当时，，因，
若，，则，，与矛盾，，，
由（2）可知，则，则，
所以，
又，
所以.
（证法二）当时，．由，得，
显然，不同时为负数，由可得，都为正数，
因为，
所以，所以，
又
，