四川省南充市2026届高三数学上学期10月月考试题含解析

这是一份四川省南充市2026届高三数学上学期10月月考试题含解析，共17页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径 0， 已知向量 满足 ，若 ，则， 展开式中 的系数为， 已知集合 ， ， ，则等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4，本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 样本数据 的中位数是（ ）
A. 7 B. 9 C. 11 D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】根据中位数的定义求解即可.
【详解】该组数据共 5 个，已按从小到大的顺序排列，中位数为排在最中间的数，即第 个数，是 7，
故选:A.
2. 已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. 5 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：先利用复数乘法法则求 ，然后利用模的运算公式求解；
方法二：直接利用复数模的性质计算.
【详解】方法一： ，所以 .
方法二： .
故选：C.
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3. 函数 图象的一条对称轴是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦函数对称轴求出的对称轴函数 图象的对称轴，然后逐项判断即可.
【详解】因为函数 图象的对称轴为直线 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
结合选项可知函数 图象的一条对称轴是 .
故选：B.
4. 已知向量 满足 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量垂直得到 ，进而由向量数量积运算法则求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，又 ， ，
所以 ．
故选：D
5. 已知双曲线 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A. B. 4 C. D. 2
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【答案】C
【解析】
【分析】由所给 ，结合双曲线中 进行计算即可.
【详解】由题意知 的焦距为 ，所以 的离心率为 .故选 C.
6. 展开式中 的系数为（ ）
A 210 B. C. 10 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项求出含 的项即可得出结果.
【详解】已知展开式中第 项为 ，
令 ，解得 ；
所以含 的项为 .
因此展开式中 的系数为 .
故选：D
7. 已知 三个内角 所对的边分别为 ，点 是线段 上一点，且 平分
，若 ，则 （ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 平分 ，即 ，进而得 ，利用三角形的面
积公式即可求解.
【详解】因为 平分 ，所以 ，
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又 ，所以 ，
即 .
故选：B.
8. 已知 ，则 的大小关系不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别构造函数 ，分析其单调性.该函数在 上单调递增，在 上单调递
减，进而结合单调性分析 、 、 大小关系，从而可判断 可能的大小关系.
【详解】对 两边取对数，得 ，即 .
构造函数 （ ），求导得 .
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
又 .
由题意有 ， ， ，
由 ，得 或 ；
因为 ，所以 内存在 ，使得 ，
由 得 或 ；
因为 ， ，
所以 内存在 ，使得 ，
由 得 或 ；
当 或 时， ；
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当 或 时， ；
当 或 时， ；
综上所述， 的大小关系不可能是 .
答案：A
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知集合 ， ， ，则（ ）
A. B.
C D. 集合 有 64 个真子集
【答案】AB
【解析】
【分析】根据集合交并补运算的定义即可求解 ABC，根据真子集的个数公式即可求解 D.
【详解】因为 ， ，所以 ，故 A 正确；
又因为 ，所以 ，所以 ，故 B 正确；
因为 ， ，所以 ，故 C 错误；
集合 中有 6 个元素，所以集合 有 个真子集，故 D 错误.
故选：AB.
10. 在一个随机试验中，随机事件 发生的概率分别为 ，则下列说法正确的
是（ ）
A. 与 是对立事件
B. 若 与 相互独立，则
C. 若 与 相互独立，则
D. 若 ，则
【答案】BCD
【解析】
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【分析】利用对立事件的概念判断 A；利用独立事件乘法公式和概率性质计算 判断 B
和 C；利用条件概率公式计算判断选项 D.
【详解】选项 A：虽然 ，
但 不一定成立（即事件 包含的样本点与事件 包含的样本点有可能重复），
故 与 不一定是对立事件，错误；
选项 B：若 与 相互独立，则
，正确；
选项 C：若 与 相互独立，则 与 相互独立，
所以 ，正确；
选项 D：若 ，则 ，所以 ，
所以 ，正确.
故选：BCD
11. 已知函数 的定义域为 （ 不恒为 0）， 为偶函数，则（
）
A. 为偶函数 B. 的图象关于点 对称
C. D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对 A，根据条件可得 ， ，即可求解；对 B，利用 A 中结果，
得 ，即可求解；对 C，利用 的周期性，即可求解；对 D，结合条件，利用
和 的周期性，得 ，进而可得 ，即可求解.
【详解】对于选项 A，因为 ，所以 ，
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两式相减，得 ，所以 的一个周期为 4，
因为 为偶函数，所以 ，得到 ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 为偶函数，故 A 正确；
对于选项 B，因为 ，
所以 的图象关于点 对称，故 B 错误；
对于选项 C，由选项 A 知 的一个周期为 4，所以 ，
又由 ，令 ，得到 ，所以 ，则 ，故 C 正确；
对于选项 D，因为 ，所以 ，即
，
则 ，
所以 ，又 ，所以 ，
又 所以 ，故 D 正确．
故选：ACD．
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知等比数列 满足 ，则 __________.
【答案】40
【解析】
【分析】设等比数列 的公比为 ，利用等比数列的性质求得 ，进而得解.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
由题意得 ，即 ，解得 .
故 （或 ）
故答案为：40
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13. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，若 ，则 __________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据焦半径列式即可求得 .
【详解】因为抛物线 的准线为
所以点 到 的距离 ，
又 ，
所以 ，解得 .
故答案 ：4.
14. 在三棱锥 中， ，若三棱锥 外接球的表面积
为 ，则该三棱锥 的体积为______.
【答案】 或 1
【解析】
【分析】根据球的性质确定球心位置，根据球的表面积求出半径，利用勾股定理求出三棱锥的高，代入锥
体体积公式求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
即 为直角三角形，其外接圆的圆心 为斜边 的中点，
因为 ，所以点 在平面 上的射影为 的外心 ，
连接 ，根据球的性质可知三棱锥 外接球的球心 在 上，
连接 ，设三棱锥 外接球的半径为 ，则
因为球的表面积为 ，所以 ，
因为 ，
所以该三棱锥 的高为 或 ，
如图:
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所以该三棱锥 的体积为 或 .
故答案为： 或 1
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 近几年，新能源汽车的更新换代越来越引起人们的关注.某新能源车企想了解年轻司机与中老年司机对
新能源车和燃油车的喜好程度，随机抽取了 1000 名司机，得到的 列联表如下：
偏好新能源车 偏好燃油车 总计
年轻司机 300 200 500
中老年司机 200 300 500
总计 500 500 1000
（1）若从抽取的年轻司机中任选 1 人，求此人偏好新能源车的概率；
（2）依据 的独立性检验，能否认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联？
附： ，其中 .
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
【答案】（1）
（2）能够认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联.
【解析】
【分析】（1）根据古典概型计算概率即可；
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（2）由公式求得 ，结合表格数据对比判断即可.
【小问 1 详解】
由题意知年轻司机中，偏好新能源车的有 300 人，偏好燃油车的有 200 人，
所以从抽取的年轻司机中任选 1 人，此人偏好新能源车的概率为 .
【小问 2 详解】
零假设为 ：司机对两种汽车的偏好与年龄无关，
由表中的数据，得
依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
所以能够认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联.
16. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，利用等差数列通项的基本量运算列方程组，求出 ，即得数
列通项公式；
（2）利用裂项相消法即可求得 .
【小问 1 详解】
设等差数列 的公差为 ，
由 ①
由 ，
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即 ②
联立①②，解得 ，
则 的通项公式为 ；
【小问 2 详解】
，
则
.
17. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 在 上单调递减，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）求出函数 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）法一：求出函数 的导数，再由导数恒小于等于 0 求出范围；法二：令 ，将问题转化
为函数 单调递减，再利用导数转化为恒成立问题求出范围.
【小问 1 详解】
当 时， ，求导得 ，则 ，而 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
方法一：由函数 上单调递减，
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得 ， 恒成立，
则 在 上恒成立，令 ，
求导得 ，函数 在 上单调递减，
则 ，因此 ，
所以 的取值范围是 .
方法二：设 ，显然函数 在 上单调递增，则 ，
函数 ，令函数 ，
由 在 上单调递减，得 在 上单调递减，
则 ， 恒成立，而函数 在 上单调递减，
因此 ，
所以 的取值范围是 .
18. 如图，在四棱锥 中， ，四边形 是正方形，平面 平面
.
（1）证明： 平面 ；
（2）证明：二面角 的正弦值与二面角 的正弦值相等.
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由已知可得 ，利用面面垂直的性质可得 平面 ，进而可得 ，可
证结论；
（2）取 的中点 ，取 的中点 ，可证 ， ， ，以 为坐标原点，
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以 所以直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角 的正弦值和二
面角 的正弦值，可证结论.
【小问 1 详解】
因为四边形 是正方形，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，又 ，又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ；
【小问 2 详解】
取 的中点 ，取 的中点 ，
因为 ，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又因为四边形 是正方形，所以 ，
以 为坐标原点，以 所以直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方形 的边长为 2，
则 ，
则 ，
设设设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
又 是平面 的一个法向量，
所以 ，
所以 ，
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所以二面角 的正弦值为 ；
又 是平面 的一个法向量，
所以 ，
所以 ，
所以二面角 的正弦值为 ；
所以二面角 的正弦值与二面角 的正弦值相等.
19. 已知 为坐标原点，椭圆 的右焦点为 的长轴长为 4，直线 过点
且与 交于 两点.
（1）求 的标准方程；
（2）在 轴上是否存在一个定点 ，使得直线 关于 轴对称？若存在，求出点 的坐标；若不存在，
请说明理由；
（3）当 的斜率不为 时，直线 交 于另一点 ，直线 交 于另一点 ，证明：直线 过定点.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意列方程组即可求出；
（2）设 ，联立椭圆方程，韦达定理，结合斜率公式利用斜率相反化简求得 的坐
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标，即可求解；
（3）设 ， ，直线 与 轴的交点 ，设 ，
通过坐标运算得 ，且 ，设 ，同理可知 ，利用斜率坐标
公式化简得 ，从而有 ，代入化简得 ，即可求解直线 过的定点.
【小问 1 详解】
由题意可得， ，所以 ，
故椭圆 的标准方程为 ；
【小问 2 详解】
设 ，设 ，联立 ， 得， ，
设 ，则 ，
因为直线 关于 轴对称，所以 时， ，
所以 （ 也符合），所以
，
所以 ，所以 ，
化简得 ，与 无关，所以 ，故 ，
故存在 ，使得直线 关于 轴对称；
【小问 3 详解】
设 ， ，
由于 位于 轴两侧，根据直线的任意性，可知对任意的直线 均经过 轴，
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故直线 恒过的定点在 轴上，设直线 与 轴的交点 ，
设 ，则 ，所以 ，
又 ，两式相减得 ，
所以 ，代入 可得 ，所以 ，且
，
设 ，同理可知 ，且 ，
所以
，
所以 ，所以 ，
所以 ，
故 ，所以直线 恒过定点 .
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【点睛】
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