四川省南充市2024_2025学年高二数学上学期10月月考试题含解析

这是一份四川省南充市2024_2025学年高二数学上学期10月月考试题含解析，共21页。试卷主要包含了 已知空间向量，，且，则， 已知事件A，B，且，则等内容，欢迎下载使用。
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的加减法即可得到答案.
【详解】.
故选：C.
2. 在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球，从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是 （ ）
A. 必然事件B. 随机事件C. 确定事件D. 不可能事件
【答案】B
【解析】
【分析】根据必然事件、随机事件、确定事件以及不可能事件定义，直接判断即可.
【详解】根据题意，从布袋中摸出一个球，有可能是黑球，也有可能是红球，
故摸出1个黑球是随机事件.
故选：B.
3. 把红、蓝、黑、白张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁个人，每人分得张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A. 对立B. 相等C. 相互独立D. 互斥但不对立
【答案】D
【解析】
【分析】利用互斥事件和对立事件的特征易判断得出结论.
【详解】因纸牌只有红、蓝、黑、白张，分给甲、乙、丙、丁个人，每人一张，
则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”在一次分法中不可能同时发生，故两事件互斥；
同时在一次分法中除了这两个事件，还有“丙分得红牌”，“丁分得红牌”这些可能事件，
故这两个事件不是对立事件.
故选：D.
4. 已知空间向量，，且，则（ ）
A. B. 16C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量平行的关系计算未知数，然后求解即可.
【详解】由题可知，解得，
所以.
故选：A.
5. 若构成空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量基底的概念，空间的一组基底，必须是不共面的三个向量求解判断.
【详解】对于A：因为，所以共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于B：因为，所以共面，不能构成空间的一个基底，故B错误；
对于C：设，则无解，所以不共面，能构成空间的一组基底，故C正确；
对于D：因为，所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误；
故选：C.
6. 已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，，，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，可先求得三个人都没有被录取的概率，接下来求至少有一人被录取的概率，利用对立事件的概率公式，求得结果.
【详解】甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为，
所以三人中至少有一人被录取的概率为，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关概率的求解问题，关键是掌握对立事件的概率加法公式，求得结果.
7. 已知向量，，则在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量公式计算可得答案.
【详解】向量在向量上的投影向量为
.
故选：A.
8. 正三棱柱中，，，O为的中点，M为棱上的动点，N为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段的表达式，利用函数求最值即可.
【详解】因为正三棱柱中，为的中点，
取中点，连接，如图，
以为原点，，，为轴建立空间直角坐标系，

则O0,0,0，，，，
因为是棱上一动点，设，且，
因为，所以，
于是令，.
所以，.
又因为函数在上为增函数，
所以当时，
即线段长度的最小值为
当时，，
即线段长度的最大值为，
所以线段长度的取值范围为.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 已知事件A，B，且，则（ ）
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果A与B相互独立，那么
D. 如果A与B相互独立，那么
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据事件关系及运算有、，由事件的相互独立知，结合事件的运算求、.
【详解】A：由，则，正确；
B：由，则，正确；
C：如果A与B相互独立，则，
，错误；
D：由C分析及事件关系知：，正确.
故选：ABD.
10. 下列事件中，是相互独立事件的是（ ）
A. 一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面”
B. 袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”
C. 掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4”
D. 掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”
【答案】AC
【解析】
【分析】对于AB：根据独立事件的定义分析判断；对于C：先求，根据独立事件的乘法公式分析判断；对于D：根据互斥事件与独立事件的关系分析判断.
【详解】对于选项A：把一枚硬币掷两次，对于每次而言结果都是相互独立的，
即其结果不受先后次序的影响．所有事件是相互独立事件，故A正确；
对于选项B：不放回地摸球，显然事件A与事件不相互独立，故B错误；
对于选项C：事件A为出现1，3，5点，，
“出现点数为3或4”，则，
“出现点数为3”，则，
因为，所以事件相互独立，故C正确；
对于选项D：可知两事件是互斥事件，所以事件不是相互独立事件，故D错误．
故选：AC.
11. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，，为的重心，为的中点．若，则下列结论正确的是（ ）
A. ．B.
C. 若，则向量共面D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合空间向量线性运算利用表示，结合空间向量基本定理求，判断A，表示，结合模的性质及数量积运算律求其模长，判断B，表示，结合向量共面定理判断C，由，可得，化简可求，判断D.
【详解】延长交与点，因为为的重心，
所以，
所以，
所以，
，
所以，又，
所以，
所以，A正确；
因为，
所以，
所以，
所以，
又，，
所以，，，
所以，
所以，B错误；
因为，
，，
设，则，，，
所以，，
所以，所以向量共面，C正确；
因为，
，
由可得，，
又，，，
所以，
所以，
所以，D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设向量，，若，则____________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为0计算即可.
【详解】因为，
所以，即，解得.
故答案为：4
13. 袋中有红球､黑球､黄球､绿球共12个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，则得到黄球的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】设事件分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，
根据题意结合互斥事件的概率加法公式，列出方程组，即可求得答案.
【详解】解：设事件分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，
则事件两两互斥，
根据题意，得，即，
解得，所以得到黄球的概率是.
故答案为：.
14. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为______.

【答案】
【解析】
【分析】利用空间线面位置关系、空间向量、向量法求空间中点到直线距离的公式、二次函数分析运算即可得解.
【详解】解：

如上图，取的中点为.连接 、、.
∵，点是的中点，∴.
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴ 平面又∵平面∴.
又∵底面是矩形，、是、中点，∴.
∴以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴
建立空间直角坐标系如图所示，由，，，
得，.
∴，，，则，，
设，则，，
，
∵，
∴向量的单位方向向量，
则，
因此点到直线的距离，
当时，取最小值，
∴线段上的动点到直线的距离的最小值为.
故答案为：.
【点睛】向量法求点到直线距离的步骤：
1.根据图形求出直线（或向量）的单位方向向量.
2.在直线上任取一点（可选择特殊便于计算的点），计算点与直线外的点的方向向量点.
3.点到直线距离.
四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）结合题目条件，借助线面垂直的判定定理可得平面，即可得，再利用线面垂直的判定定理可得证；
（2）建立适当空间直角坐标系后，可计算出直线的方向向量与平面的法向量，借助向量夹角公式即可得两向量夹角余弦值，即可得直线与平面所成的角的正弦值.
【小问1详解】
侧面为正方形，，
直三棱柱，
平面，
平面，
平面，
平面
平面；
【小问2详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
又由，
设平面的一个法向量为，
则有，
令，则，于是，
又由，
设直线与平面所成的角为，
所以，
故直线与平面所成的角的正弦值为.
【点睛】
16. 平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，；
（1）用向量，，表示向量，并求出线段的长度；
（2）请求出异面直线与所成夹角的余弦值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的运算即可用向量，，表示向量，再根据，，的长度以及夹角即可求出的模，即线段的长度；
（2）先用向量，，表示向量，，再根据向量的夹角求法求出向量，的夹角，即可求出异面直线与所成夹角的余弦值.
【小问1详解】
如图所示：
因为为中点，为中点，，，，
所以
；
因为平行六面体中，底面是边长为1的正方形，
侧棱，且，
所以，，，，
所以
，
所以，即线段长为.
【小问2详解】
因为，
则
，
，则，
，
则与所成夹角的余弦值为.
17. 如图，在正三棱柱中，分别是的中点.
（1）求点到平面的距离.
（2）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，点与点重合
【解析】
【分析】（1）使用空间向量法求解点到平面的距离即可；
（2）设在线段上存在一点，使平面，，再根据线面垂直，从而线线垂直，使用向量法求解即可.
【小问1详解】
取中点，过作的平行线为轴，则轴两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则令，则，，
所以平面的法向量为.
点到平面的距离为.
【小问2详解】
假设在线段上存在一点，使平面.
设，则，
，，.
平面，平面，
，，
，解得，
在线段上存在一点，使平面，此时点与点重合.
18. 某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.
小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
（1）求小明在第一轮得40分的概率；
（2）以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？
【答案】（1）；
（2）小明更容易晋级复赛.
【解析】
【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：，设小明只能答对4个问题的编号为：，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率；
（2）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小芳和小明晋级复赛概率，进行比较得出结论.
【小问1详解】
对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，
则有共种，
设小明只能答对4个问题的编号为：，
则小明在第一轮得40分，有共种，
则小明在第一轮得40分的概率为：；
【小问2详解】
由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，
则小明在第一轮得0分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分
当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；
；
当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳晋级复赛的概率分别为：
；
小芳晋级复赛的概率为：；
小明晋级复赛的概率为：；
，
小明更容易晋级复赛.
19. 如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
（1）求四棱锥的体积的最大值；
（2）若棱的中点为，求的长；
（3）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，得到当平面⊥平面时，P点到平面ABCM的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，求出，从而得到体积最大值；（2）作出辅助线，证明出四边形CNQM为平行四边形，从而得到；（3）作出辅助线，得到∠PGD为的平面角，即，建立空间直角坐标系，用含的关系式表达出平面PAM和平面PBC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到，结合的取值范围求出余弦值的最小值
【小问1详解】
取AM的中点G，连接PG，
因为PA=PM，则PG⊥AM，
当平面⊥平面时，P点到平面ABCM的距离最大，
四棱锥的体积取得最大值，
此时PG⊥平面，且，
底面为梯形，面积为，
则四棱锥的体积最大值为
【小问2详解】
取AP中点Q，连接NQ，MQ，
则因为N为PB中点，所以NQ为△PAB的中位线，
所以NQ∥AB且，
因为M为CD的中点，四边形ABCD为矩形，
所以CM∥AB且，
所以CM∥NQ且CM=NQ，
故四边形CNQM为平行四边形，
所以.
【小问3详解】
连接DG，
因为DA=DM，所以DG⊥AM，
所以∠PGD为的平面角，即，
过点D作DZ⊥平面ABCD，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
过P作PH⊥DG于点H，由题意得PH⊥平面ABCM，
设，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
设平面PAM的法向量为，
则，
令，则，
设平面PBC法向量为，
因为，
则
令，可得：，
设两平面夹角为，
则
令，，所以，
所以，所以当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为
【点睛】求解二面角的大小或最值，利用空间向量求解，可以将几何问题转化为代数问题，简洁明了，事半功倍.