四川省成都市2026届高三数学上学期10月月考试题含解析

这是一份四川省成都市2026届高三数学上学期10月月考试题含解析，共16页。试卷主要包含了 下列集合中表示同一集合的是， 已知 ， 为曲线 ， 下列各式中，等于 的是等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 下列集合中表示同一集合的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的定义及集合中元素的特性分别判断.
【详解】A 选项： 与 不是同一个点，A 选项错误；
B 选项：集合 是点集，集合 是数集，B 选项错误；
C 选项：根据集合中元素的无序性可知 ， 是同一个集合，C 选项正确；
D 选项：集合 是数集，集合 是点集，D 选项错误；
故选：C.
2. 已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数乘法和除法运算求得 ，进而求得 的模.
【详解】依题意 ，所以
.
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故选：A
【点睛】本小题主要考查复数乘法和除法运算，考查复数的模的计算，属于基础题.
3. 如图，长方体 中， ， ，那么异面直线 与 所成
角的余弦值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】可证得四边形 为平行四边形，得到 ，将所求的异面直线所成角转化为
；假设 ，根据角度关系可求得 的三边长，利用余弦定理可求得余弦值.
【详解】连接 ，
四边形 为平行四边形
异面直线 与 所成角即为 与 所成角，即
设
， ，
， ，
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在 中，由余弦定理得：
异面直线 与 所成角的余弦值为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行关系将问题转化为相交直线所成角，
在三角形中利用余弦定理求得余弦值.
4. 已知函数 满足 ，则函数 的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知求出 ，得 表达式，化简函数式后根据定义域和单调性可得正确选项．
【详解】由恬 ， ， ，
函数定义域是 ，在 上递减，在 上递增．
故选：C．
【点睛】本题考查对数型复合函数的图象问题，解题方法是化简函数后，由定义域，单调性等判断．
5. 已知圆 与圆 的公共弦与直线 垂直，且垂足为
，则圆 N 的半径为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
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【分析】先求公共弦方程，再根据直线垂直结论得到 ，解得 .将点 的坐标代入
，求出 ，得到圆的方程即可.
【详解】因为圆 与圆 ，
所以它们的公共弦方程为 .
因为公共弦与直线 垂直，所以 ，解得 .
将点 的坐标代入 ，可得 ，
圆 可化为 ，故圆 N 的半径为 .
故选：B.
6. 已知 ， 为曲线 ： 焦点，则下列说法错误的是（ ）
A. 若 ，则曲线 的离心率
B. 若 ，则曲线 的离心率
C. 若曲线 上恰有两个不同的点 ，使得 ，则
D. 若 ，则曲线 上存在四个不同的点 ，使得
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的方程，结合椭圆、双曲线的性质逐项分析判断即可得解.
【详解】对于 A，当 时，曲线 是椭圆，离心率 ，A 正确；
对于 B，当 时，曲线 是双曲线，离心率 ，B 正确；
对于 C，当 时，曲线 是椭圆，其短半轴长 ，半焦距 ，
显然以线段 为直径的圆恰过这个椭圆短轴端点，即符合条件的 可以是 8，C 错误；
对于 D，当 时，则曲线是焦点在 x 上的双曲线，则 ，
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以线段 为直径的圆与双曲线有 4 个交点，即符合条件的点 有 4 个，D 正确.
故选：C
7. 已知等比数列 的首项为 1，公比为 2，则 =（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】数列 是首项为 1，公比为 4 的等比数列，然后可算出答案.
【详解】因为等比数列 的首项为 1，公比为 2，
所以数列 是首项为 1，公比为 4 的等比数列
所以
故选：D
8. 设函数 y＝xsin x＋cs x 的图象上点 P(t，f(t))处的切线斜率为 k，则函数 k＝g(t)的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】求出函数的导数，得到切线的斜率的函数的解析式，然后判断函数的图象即可．
【详解】 可得： ．
可得： ，
由于 ，函数是奇函数，排除选项 ， ；
当 时， ，排除选项 D．
故选：B
二､多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列各式中，等于 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据排列数公式依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项 A， ，故 A 错误.
对选项 B， ，故 B 错误.
对选项 C， ，故 C 正确.
对选项 D， ，故 D 正确.
故选：CD
10. 已知 ，则方程 表示的曲线可能是（ ）
A. 两条直线 B. 圆
C. 焦点在 轴的椭圆 D. 焦点在 轴的双曲线
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据直线、圆、椭圆和双曲线的定义以及方程一一判断求解.
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【详解】对 A，因为 ，所以可取 ，
则有 或 ，表示两条直线，A 正确；
对 B，因为 ，所以可取 ，
则有 ，表示圆，B 正确；
对 C，因为 ，所以可取 ，
则有 ，表示焦点在 轴的椭圆，C 正确；
对 D，因为 ，所以该曲线方程不可能为焦点在 轴的双曲线，D 错误；
故选:ABC.
11. (多选)已知函数 （ 且 ）的图象经过定点 ，且点 在角 的终边上，
则 的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先根据对数函数的图象求出定点 的坐标，再根据三角函数的定义求出 和 的值即可求
解.
【详解】因为函数 的图象经过定点 ，
所以 或 ，
当点 在角 的终边上时， ， ，
此时 ，B 正确；
当点 在角 的终边上时， ， ，
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此时 ，D 正确；
故选：BD
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 的定义域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得到关于 的不等式，解不等式可得函数的定义域.
【详解】由已知得 ，即 ，解得 ，
故函数的定义域为 .
故答案为： .
13. 如图，在三棱锥 P–ABC 的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，
则 cs∠FCB=______________.
【答案】
【解析】
【分析】在 中，利用余弦定理可求得 ，可得出 ，利用勾股定理计算出 、 ，可得出
，然后在 中利用余弦定理可求得 的值.
【详解】 ， ， ，
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由勾股定理得 ，
同理得 ， ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
，
中， ， ， ，
由余弦定理得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
14. 设椭圆 的两焦点为 ， .若椭圆上存在点 P，使 ，则椭圆的
离心率 e 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设 ， ，根据椭圆性质和余弦定理得到 ，利用均值不等式
得到 ，解得答案.
【详解】设 ， ，则 ， ，
即 ，
，即 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，即 ， .
故答案为：
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四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 研究 可能代表的图形.
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】根据给定条件，按 分类，再结合椭圆、圆、双曲线的特征分析判断.
【详解】当 时， ，方程 表示原点，
，方程 表示两条直线；
当 时，方程 ，
，方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
，方程 表示原点为圆心的圆，
，方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
，方程 表示焦点在 轴上的双曲线，
，方程 表示焦点在 轴上的双曲线，
，方程无实数解，其轨迹为空集.
16. 已知数列 满足 ，
（1）求证：数列 为等差数列;
（2）求数列 的通项公式与最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2） ，最大值是
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【解析】
【分析】（1）计算 ，根据等差数列的概念即得结论；
（2）由（1）可得 ，再研究其单调性，计算可得结论．
【小问 1 详解】
因为
，
所以数列 是以-1 为首项，3 为公差的等差数列.
【小问 2 详解】
由（1）可得 ，即
当 时，由反比例函数的性质知 单调递减，
所以 ，
又 ， ， ，
所以数列 的最大值是
17. 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，
，M，N 分别为 的中点， .
（1）证明： ；
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（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
【分析】（1）要证 ，可证 ，由题意可得， ，易证 ，从而
平面 ，即有 ，从而得证；
（2）取 中点 ，根据题意可知， 两两垂直，所以以点 为坐标原点，建立空间直角坐
标系，再分别求出向量 和平面 的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．
【详解】（1）在 中， ， ， ，由余弦定理可得 ，
所以 ， ．由题意 且 ， 平面 ，
而 平面 ，所以 ，又 ，所以 ．
（2）由 ， ，而 与 相交，所以 平面 ，因 ，所以
，取 中点 ，连接 ，则 两两垂直，以点 为坐标原点，如图所示，
建立空间直角坐标系,
则 ,
又 为 中点，所以 .
由（1）得 平面 ，所以平面 的一个法向量
从而直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
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【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明 ，可以考虑 ，
题中与 有垂直关系的直线较多，易证 平面 ，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由
第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．
18. 为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药.一段
时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药
者.
（Ⅰ）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；
（Ⅱ）从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求 的
分布列和数学期望 E（ ）；
（Ⅲ）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小.（只需写出结
论）
【答案】（1）0.3（2）见解析（3）服药者指标 数据的方差大于未服药者指标 数据的方差.
【解析】
【详解】（Ⅰ）由图知，在服药的 50 名患者中，指标 的值小于 60 的有 15 人，
所以从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标 的值小于 60 的概率为 .
（Ⅱ）由图知，A,B,C,D 四人中，指标 的值大于 1.7 的有 2 人：A 和 C.
所以 的所有可能取值为 0,1,2.
.
所以 的分布列为
0 1 2
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故 的期望 .
（Ⅲ）在这 100 名患者中，服药者指标 数据的方差大于未服药者指标 数据的方差.
【名师点睛】求分布列的三种方法：
（1）由统计数据得到离散型随机变量的分布列；
（2）由古典概型求出离散型随机变量的分布列；
（3）由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及 n 次独立重复试验有 k 次发生的概率求离散型随
机变量的分布列．
19. 已知函数 有极值，且导函数 的极值点是 的零点．（极
值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求 b 关于 a 函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：b²>3a;
（3）若 ， 这两个函数的所有极值之和不小于 ，求 a 的取值范围．
【答案】（1） ，定义域为 .（2）见解析（3） .
【解析】
【详解】试题分析：（1）先求导函数的极值： ，再代入原函数得 ，
化简可得 ，根据极值存在条件可得 ；（2）由（1）得 ，构造函数
，利用导数研究函数单调性，可得 ，即 ；（3）先求证 的两
个极值之和为零，利用根与系数关系代入化简即得，再研究导函数极值不小于 ，构造差函数
，利用导数研究其单调性， 在 上单调递减．而 ，故可得 的取值
范围．
试题解析：解：（1）由 ，得 .
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当 时， 有极小值 .
因为 的极值点是 的零点.
所以 ，又 ，故 .
因为 有极值，故 有实根，从而 ，即 .
时， ，故 在 R 上是增函数， 没有极值；
时， 有两个相异的实根 ， .
列表如下
x
+ 0 – 0 +
极大值 极小值
故 的极值点是 .
从而 ，
因此 ，定义域为 .
（2）由（1）知， .
设 ，则
当 时， ，从而 在 上单调递增.
因为 ，所以 ，故 ，即 .
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因此 .
（3）由（1）知， 的极值点是 ，且 ， .
从而
记 ， 所有极值之和为 ，
因为 的极值为 ，所以 ， .
因为 ，于是 在 上单调递减.
因为 ，于是 ，故 .
因此 a 的取值范围为 .
点睛:涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象的交点个数问题，一般先通过导数研究函数
的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，
归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．
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